Агаева, Ершова, Зотина (МУ, Лекции и Семинары по ТФКП), страница 5

в точках )в - ~+Ц ж3 . Дпя того в ряд нэ модупей подставим вместО 1а-1+ ь| его значение 3. Получим 3(Ы ' Г())'=Ь-.—.')' Исоледуам повод.ние П -го члена подученного ряда а Г ~ Ье+'07 В~ "ф я Так как предел й -го члена полученного числового ряда прн П-еоо отпнчен от нуля, то ряд рас: однтся, а следовательно, во всех г~ 1яичных точках расходитси данный степенной ряд. 3) Исспедуем поведение ряда в заданных точках %» Иь к Ь~ а -Й+Йь.

Подставим в ~Й-"Ь Ц . Получим «"3 ч.ь-1+Ч= )-ЗтЗЦ еГ9+8 = ЯГЕЛЬ, Точка %~ лежит вне круга, в точке Ь| ряд расходнтоя. Ц, ей-йь, Подставим в )'.-~+~4 . Получим ф-~ь-4+Ц = )1-Ц Й СЗ. йа лежит в круге сходнмостя, в точке кк ряд сходится абсо- шотно Цв 4-Нь. Попстаим в ~й-1+Ц . Получим ~Иь-~+~4ие. к3 лежит на гранина, в точке йн ряд расходнччж.

3. Я „; Ь~ 3 ~.; ж~а5- ' кЗ ~+2 я-,Й+ь ' „„, 9')"~па~) (ре~) Е "Й+1Л 3 ( ОЬЬ+Ю ~) ~' 2) По признаку даламбера »е' » И+О пе Ь +4 !К-ЬЦ » м ЗЗ'~~н4Ьз(п+Щй-2+~4" 3 3) Область сходимости 1 й-2+А< Ь, 4) На гранили ~И-2+Ц в3, получим / »~з4 3"Ф.4) Ь(П+4) К Ь+~%Ф=6 Применй/и интегральный призйз" 3~~„вЬЬ [„в К Следовательно, рид из модулей расходится. Проверим необходимый признах схопимости йа ф+.Я ч 4) — -о. Так как яеобходимый признак выполнен, на гранина могут быть как точки расходимостн, так н точки условной сходимости.

Ь) Схолнмссть в точкак йа,Хх/Хц. у4-от~„, [~/'|.-2+Ц= [4+~ь~ Д+Ц яд <3~ в ~, ряд сходится абсолютно. Зх зс-ь. [5-ь "2+Ц 3 Так как зта точка лежит на границе, а на гранила поведение ряда точно не определено, то точку Ях нужно подставить в данный степенной ряд Ъь ф+4) 0+4 ~/ 3" ~ (П+4) 0+4 „Р (-.4) С, ~Ч+55~,'а+7 "С:„Пт4 фП+~ "4-', Ь~М2О Полу енный ряд сходится, так хак по признаку Лейбкипа сходятся ряды, составленные нз действительиых И мнимых частей. Следовательно/ данный стеленной ряд в точке йа сходится условно.

У з.х/-2~,. [2+2~.-Л Цз[ЗЦеЗ Точке Ях также лежит на гранила, поэтому, подставив точхул,/ в степенной ряд, получим Этот ряд расходится. Следовательно, в точке Ьа ряд расходится. Конт ль Определять обне".ть сходямости степенных рядов и исследовать их поведение в данных точках Е<;%»,йэ. Я ~ ' 3~*Зс',Ь 0;я 3 Н)ай-«Эп г 01'т«) » а Е ° а ) х«хе кз.а 1' ) к3 й 3.

Ряди Лойана »4Э с„ 1, Определение, Ряд вида Е СаФ'4еЯ ~~ 0)а Е Си(Ь «)3" а»»» а»4 ~ а»е называется рядом Лорана, где ю С. а» ~ 0)а - главная часть ряда Лорана, а Е ~,е Сп9 Ю - правильная часть ряда Лоране. а»е 2. Об,.асть сходимости ряда Лорана. Ряд Л рана сходится в кольна ЪС )Й-0«~ К при ЪС'и, Если Ър Я, то рид Лорана расходится всюду, воли Ъ=О, КфО, то ряд Лораи~ сходится в обпасти 0 с )Ь-0«< )ч, ~~рая является кругом с вь колотой точкой О., 3. Определение области сходнмости ряда Лорана.

Лпя опредепения области сходимости ряда Лорана необходи- мо: 1) найти обнес-ь сходимости правипьной части ряда Лора- на. Так как правильная часть есть степенной ряд, то областью сходнмости будет круг )а Й) 4 К' 2) найти область сходимости главной части ряда Лорана. Лля етого составляется ряд ие модупэй этой части и применя- етса либо признак йапамбера> либо радикальный признак Коши. Областью сходимости главной части ряда Лорана будут точки, лежашие вне круга ~3-04?'1 ~ 3) еспи Ч,«. Й, то сушествуют обшие точки, в которых сх днтся и правильная часть, и гневная часть ряда Ло ана. Это н будет кольпо сходимостн ряд Л рана Ък )а "1Ц < Пример: определить область сходнмости данного ряда Лорана Ы", ~ (~-а+я" „.,,и"-11' ~й-2»1.)" 1) Исследуем на сходнмость правильную част, ряда Лорана Ь-2+ь)" . Для етого составим ряд нз модулей и приме ве й ним радикальный признак Коши При ~ Ь-2 +Ц кЪ ряд сходится.

Областью сходимости правигц ной части рида Лорана является круг с пентром в точка а-~ н радиусом 2. 2) Исследуем на сходимость главную часть ряда Лорана Я ~)в , Для ~того составим ряд из модулей и при „,„2" пз(й-2+0 мейим признак Даламбера ~в.1,З, 1~ о,,,1 2 (» амтв-2*я"' П7-ь7» При М-2+ Ц т 05 ряд у сходится. Главная часть ряда Лорана сходится вне круга радиуса 0,5 с пентрсм в точхе к-». 3) Возьмем пересечение ,Х областей сходнмостн правильной и главной частей ряда Лорана> получим хольпо 35» ~Ь-2 Ц с2, в тором сходится данный ряд Лорана (рис 421. Кон ольн ание М 13 Определить область сходнмости слепуюшнх рядов Лорана; ' „., Мй-1-ь) ...

3" дГ * ° '+1 Зщ1щщй ца йщй Нсследовать на сходимййть числовые ряды е, ~в Определить области сходимости даяных рядов и нсслвдоввтв их поведение в тсчкех ~- ~а+~'~в~й ~, и вэе 1й ЗТ. „° Ь, 1. Ь е~-З' ° а Ц-ЗЬ. +Ьь „., (у7-Зь)" Н, ЗЗ. T „~; Ь„ЯО; Х,л1+3Ь; Ьй з — ~~.3~ '~; 4" м й) Ойоеделить облет.

сходимости рядов Н йй. ) ~+-Щ" + Ц~ " )" ., $.) „,,6 х ~ Ъ Ь» ° е, в .-- — '' ).„„~~,;~ ЗАНЯТИЕ 6. Разложение функлий в ряды Тейлоре и Лорана 1. Теорема. Функпия Щ анелатичнея в области Р длн шобой точки Ю из онлести в круге 1л-0.~ СЧ., леликом лежашем в облас'ги Э, представляется в виде суммы сходишегося степенного ряда ® Я с„ф-а)", ,вае коэффиниенты которого вычисляются по формуле с„. ~'"~Ю ~,~~ЙЙ л 111,2й'~ ~ Р 0)л~» > гъ где 11 - 0,1,2,... Ряд квзывается рядом Тейлора. 2. Теореме.

Функпня ®, внапктнчная в кольни (.с ~Ь-асс К ляется в етом колене рядом Лорана (рис. 43) ~(3)=~; С" +ЯЕ„(~- )" ем ае 1 .(. ИМь Сч.' С,=~3: ~3,-а!- (.') ъаъ~а'. Р .43 3, Основные елементарнме функпии комплексного переменного представлятотся след кнпими радамер 33 3„а при 04М 4О (27) еаФ при Оа )Е(< сс (23) 046 С (3) пр 04!й14 ' (30) ри 0 ~ф ( (31) 3.— ~Ь ао р 341И 4 1 (34) Это бесконечная геометрическая прогрессия с комплекснымн членаь ~. 4. Определения: Фе ( а ЭН4 2. 8ЫЬв~ гйт( . а „~» яа 3, СО3% и ~„ (Д(ч), в.

ейск* ~,'+~т ,. ~.~.Е,~ ~ г л-1 7. Ь~~(еЬ) = Я О () при () В(д(4 1 (33) а ~ 1) Т к И, для фущащи»а»э ЗФ) называатся Особой точ- кой, если э этой точке нарущаэтск аяалитичность фупхпни. 2) Особая точка йэ длв функпни Ч4эф~) пазывавтся кео- аароеапной оообой точкой, ас»щ сущеотиует лекотсрап окрест- ность атой точки, э которой фупкккя аяелктячиа всюду, кроме точки %э» 6. Правило плк .ъазлсжевкэ фупкцви ~(х) в ряд по степе- ням ("ь-й). 1) Найдем все кзолироваянью особью точки дли данной функиии. Это тсчзи, в которых лабо фупкнкк вэ существует, либо не сущэствуют эе прокзводнвн, 2) На чартаиэ отметим псаучэнвые оссбыв точки (Нап)щ ьюр У,», $ь ! н точку Вэй . Так как рази»ькещ»а в ркд берет (йВ),, „а б р ру 3) Выдь щм облав»я.ащаитачности данной фупквии.

Дли этцго щаюадем окружности с вептром в ".очке 11 черве все найденные особыв точки, Если таких точ»щ пвз х» к аь» причем ~й» 01 Ц ~$ -(),'1 «К» к )(»4(»ч ° то вспучим три сбл»к»ти ака»п»тично- сти папкой фунюш )а-Щ ~ 11» круг1 П а»С ~М-МСйг щ Кк< ~Ь-44о»ь - колено, спкь окружиосчв которо»о иье- ев бес»ю»ю ю бо»какой радиуо Если точка Ъэ(1 аэляетси точпой авалвтичвос»и данной фуикпик, то в области 1 функэиа раскладывается э рвд Тейлора, а во П к щ р ряды Лорана., Еслк точка Ь(1 - оссбав точка дли данной фукккви, то эо всех трах областях фуккпия раскдады- эаэтса в ряды Лорана. 4) Найдем раз»яэкенвк в ркд данной функник в квжд»ьй из областей, Пркыарьп 1.

Фуккяюо $ф)к -й-~ раеасжвтэ в ряд по с»епеняы Ф-1). % +3%+2 1) йлк кажи»денни особых точек разложим знаменатель на »япюйвыа мжлкителк, э»»* — Л вЂ” . Ъ»+ Ь%+Й 5+4%+25 Особымк точкамк будут й»э-1, Цьэ-й, так вак в этих точ- ках нз сук»ествуе» фуккпия. 2) Построим ва комплэкской плоскости точки Ь» "- - 1 и Ь.„-2 в у %эаэ(, 3) Прсвэяем пэе окружности с нантром в точке к~» к че- рез особые точки й4а-1 н йкэ-Л а =1(-Н)~-й; Я,=1(-(-Х)!аЗ. Получим три облаотя (рнс. 44): ! й-(1кг; П й л ( й-() с$~ Ш ЗС)~-Цсо .

4) Для раеиоженгж данной Ф~нклнн в ряд прадогавнм данну~о функлню в вада суммы простыл дробей Рнс 44' (й+1 9+й) й+4 р,а ' ~агклуго проба Раэгкякнм г Ряд, яснолвзуя раэггоженн» (34) слв дующим образом„' гва ааа Полученный ряд скопятся в облавна ~ ~<,( (й-([с.Д т.а, в области 1. ' Получим раэгяиканне атой дроби в лруънх обпастяк, дгщ а к в знаменателе вынесем эа скобку выраженве й - ( Полученный дйд скддятйк в облаоти ~- к 4~ 41 нля )Е-г( ~Л > т.а, в обввстяк П н Ш. Аналсгнчнс 'Разлапы в Ркд атЧФФ> дробя ряд схоггнтггн й Фгнкжи1--аа'-~4( нкн М 443 * ™ в — 1 з Ипн г— .г Л г ' Гг-гКг Ъ) г ~ Ы г-г ) й а аг~ Ряд скоддтс.ю в облаотн ~- — Ь,( Ялн гй «!УЗ г ™ в в обпастя Ш. 1 й-4( $Ю" Й ~~а то найдем раэ«ости полученных радов в соответствуюп~их областях. Получим в областя 1 )в=К'9Ф--)."")Ф-"=).И~->"(ф —,') «« Ваф «е э области П ~ ~-6" 2" ~ ~ч~~ ле (~" эээ в областк щ «е В области 1 жэем ряд Тейлора, в областях П и Ш- рады лорана, 2.

Разложить в ряд по степенны Й Функлню ~(в) = -~— (рассматряваетсн та ветвь многозначной функпии которан вэ вещественной оси на плоскости И принвмает вепественнсе зна- чение). 1) Особымн точкамн функпии являются И~лО, так как ь этой точка не супюствуэт функпин Ьь -с«, ~з (+ Сй йлэ (- Ь43, ТОЧКИ КЬ ~З Ьц ' Найдеим НЗ урааиэиия с=+8э0 . В этих точках ие супыствует проиаводнаи.