Агаева, Ершова, Зотина (МУ, Лекции и Семинары по ТФКП), страница 4
Описание файла
Файл "Агаева, Ершова, Зотина" внутри архива находится в папке "Методички". PDF-файл из архива "МУ, Лекции и Семинары по ТФКП", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория функций комплексного переменного (тфкп)" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "высшая математика (тфкп и ои)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 4 страницы из PDF
и растяжение в !О.) раэ (нпи преобразоваяие подобия с коэффициентом подобия (О.( н центром подобия в начале координат). Прибавление $ дает параллельный сдвиг на вектор О . 2, Функции чтз ~ конформна на всей расширенной комЫ- лексиой плоскости. Точке О соответствует бесконечно удаленнан точка> а бесконачйо удаленной точке - точка й О, 1) Функция И(ш ~ отображает скружнооть в окружность, волн прямуш считать окружностью бесконечно бош шогс радиуса~ 2) шункция Ии ~ осушествляет два симметричных отображения; относитечьяо оси ОХ и относительно единичной Окружвссчи Даммеедйющ: точки И и К1 называются симметричными относительно окружности с центром в начале коордкнат и радиусом ((, если ОМ ОМ~=Н (рнс.
29), Рнс. 29 ис. 31 нс. 33 7. Погврнфмическвя функння ~Мяй В конформнь вс.сну, кроме й "0 . Она осуществляет отображение>обрат~ ое тображению поквзвтельноя функини (рис. 33), Вврхйяя логун. скость 5т % ФО отображается в полосу ~-ао < (1с~ ) ( 0 бЧ4')~ 8. Круговой синус 1М-Ь(ПЬ отображает (рис. 34) вертикальную полосу ) - й.
ьхй и. в верхнюю полуплоскость (,ой~с ~11$ Ч4)~ О. Приморьи 1, Найти точки, и которых нарушается конформ- ость отображения фуикпией Ж =на ой - чи в ° Данная функпия аналитична во всех точках плоскости, зна- чит конформность будет каруп~аться и точках, в которых произ- водная обратится в ноль. Найдем проиоводную ~М'в ВЬ -бе-42 а и ее нули. М(вб(Ъ+Щ-2)=О в точках 'ка -4 и ва2, Сле- довательно, в атил точках нарушается конформнооть отображе- 2. Найти линейную функиию, отображающую треугольник АВС в треугольник А'В'С', если А(0.0), В(1,1), С(2,0), А*(2,2), В'(0,0).
С'(-2.2) (рис. 88), У Ч Из рис. 35 видно, что нужно произвести поворот Ь АВС >'ь на угол Тс . йля этого % умножнм на 3»с0$''ь ь>'.ь1пЮ е-Фу т,е, на -1. йалее произведем преобразование подобия, ко>ффипи- ент которого равен коаффнпиенту растяжения 2, так как >>л> "~~" ~ = 2 . Следовательно, -а умножим на 2, получим проме- жуточную функшпо Ч/>я "Й а > отображающую д АВС в л> А "В"С~. Теперь нужно осушествнть параллельный перенос всего треуголь- ника. Перенесем точку А в А', т,е.
добавим координаты точки А', получим искомую функцию ~»(в -23+2 +2 ь. 3. Найти дробно-линейную функшпо, отображаюшую пслуплсс- кость Йй Ь)0 в круг)~Ф1 4 ) так> чтобы точки -ь, О> ь перешли в точки -ь, >, ь (рис, 36), РЫс. Находим функшпо и виде 1»1в ай+5 , Составим уравнении сено- СЬ+ сительно коэффициентов, подставляя в функцию значения данныи точек к н соответствуюших им точек )а1, Получим -ш,+б -1, = 3 . 1.а ° аЬ5 с~ьб. Решая систему уравнений, получим Сей > оь 5 > Искомая функция имает в>щ '»Ч' = Ь+6 й 1 -'5й+0 4. найти функпню, отсбрвжвкнцую полукруг 1й1с 3,цсО, нв верхнюю полуплоскость Зй1 1М 3О (рис.
37). Окружность составлнет с осью ОХ прямой угол, следовательно, окружность н хорду нужно отобразить в пару перпендикулярных прямых, а именно, можно отобреэить денный полукруг в первую четверть плоскости Х . Выберем положительный обход области, т.е такой обход, чтобы область оствввлась слева Переводам окружность от точки -3 до точи. 3 в полуось О>х от точки О до бесконечно-удаленной точки. Тогда точке 3 должка ~ зрейти вес > а -3 - в О.
Получим +За+3 -ЗО. >11 З ажО' О, „ д.е-ЗС, бе+За, И= — у-р . Для определения — используем тот Факт, что хорда от точки 3 О. да точки -3 должна перейтн в полуось О», поетох4у отобразим любую точку хорды в любую точку полуоси ОУ, например тсч- О - ° ку 9~я Ь . Полу в 1.е-ф . Фун лня ЕеЬ Мх-Ь отобразит полукруг в 1 четверть плоскости Ъ4 . й-Ь Д'еперь рвэвернем 1 четверть полуплоскости ~М не вск> чолуплоскость >М Для етого угол нужно удвоить, в, следовательно, функп>по нужно возвести в квадрат Получим О.
Найти Функ'лпо, отображаюшую лунку Хг+~~~~, Х~+ (Ц-11)в2~ 1~ СО в верхнкко полуплоскосзь. Найдем угол между дугами данной лунки. Окружносц с пентром в начале координат составляет с оси ю ОХ угол ф . Найдем угол наклона к оси ОХ второй дуги. Для этого определим ц гд+2(ц-4)У' О; ~'е-+'„, ~'Р,О) н 4. Вторая луга составляет с осью ОХ угол ф следовательно, угол между дугами ф . Окружности, составлнющие угол $ мшкно перевести в прямые под таким же углом.
Переведем ниж- нюю окружность в полуось 011, точку -1 - в О, а точку 1- в оо Получим Ми — ° у . Вершною окружность переведем в О жй С э- ° луч йО, составляюший с осью Ой угол $ . Проиевош ную точку окружности переведем в такую точку луча, чтобы пощ„й+1 чить ~~ в 4 . Тогда функпия Мк — 1 отображает данную лунку С в область О ь Отчий ж .
Чтобы получить верхнюю полуплоскость К ) нужно этот угол умножить на 4, а, следовательно, функпню воз- вести в четвертую степень. Получим искоыую Функпню ~4а~З+~ Щ й-1) 6, Н йтн функщпо, отображаюшую полосу шириной 2, идущую под углом -$ к оси ОХ, на верхнкао подуплоскость (рис. 39). Рис. 33 3) Полученная полоса на верхнюю полу >лоскость. дет иметь вкд 1й(аЕ3 ! 1) Повернем полосу на угол -ч- . Пля этого й умножим "уй на Е „)~,а 3 х.~ ~)'.~~~~а (~ „~К), 2) Растянем полосу так, чтобы ее ширина равнялась 1>, Для этого функшпо 1Ф! умножим на Й и разделим на 2 )й»,.~Я,-~й~.~-~ ~ ~~ функпьей 1 (= с»'4 отображается Следовательно, искомая функпия бу- ~ф (»- Е'.) й )й(а Е Кот н аа еХ 0 1. Нэ>!ти линейную функцщо> отображающую а АВС в д А'В'С*, если А(-2,0), В(0>2), С(2,0), А'(2>0), В'(1>-1)> С'(0,0).
2. Найт-! такую дробно-линейную функпшо, отображающую полуплоскостьЭл>Е ЭО в круг (1!>») <2, чтобы точки -1,0,1 перешли соответственно в ттчки 2, -21, 2, 3. Найти функпню, отображающую по>в>круГ )а( ь», Ъй Й Э»> в верхнюю полуплоскость. 3ацание д>а»»сй( Найти линейный коэффнлиент растяжения и угол поворота при отображении с помощью функпин Ъ>»а~® в точке ке % 28, ~®аИ; йа»-~ . М 28, !А)х — ~аз Я~43 !.. % 27.
Определить, в каких очках нарушается конформность отображения функщ!я '»» а 32 -»3Ь +33Ь. Н> 23. Найти линейную функшао> отображающую»1> АВС в » А'В'С', ес.щ А(0,2), В(4 2), С(2>0), А'(-3,0), В'(-3,8), С'(0,3), уф 29, Найти таку.з дробно татяейную функпню, отображающую полуплоскость Йй аьО в круг )Ъ4 б 2, чтобы точки (,,0,ь перешли в точки -2(.,2,2(..
М ЗО. Найти фунхпию, отображаЮЩУЮ СЕГМЕНТ 1 Х~+Ц 4 (а) (уэЪ Х в верхнюю полуплоскость. Лч 31. Найти функшпо, отображающую лунку ~ !4 4 (; р Ц3+(.! 34;. )( в верхнюю подуплоскость. Ла 32. Найти функлчю, отображающую полосу шириной 3 и с~- стевляюшую о осью ОХ угол— (рис 40). и ЗАНЯТИЕ 3. Ряды в комплексной области 6 1. Чцсловый р~ядц с ко ны ле 1, Признаки сходнмости." Фв ао а) ряд с комплексными членами Е Сп Е (О.п+(ойв) ем ам сходится тогда (и только тог1ш), когда сходятся два ряда с действительными членами Е Оа, Е Ьп ' м4 па 4 б) ряд с комплексными члзнаьщ Е Сп= Е (Оп+За~ сходит- ам ам ся, воли сходится ряд нз модулей его членов, т.е.
ряд е в,)=ела„5~„ 2, Определення1 а) ряд называежя абсолютно сходящимся, если сходится ряд иэ модулей членов денного ряда; б) ряд называется условно сходяшнмсн, если он сходится, а ряд из модулей его членов расходится. Примеры исследовать на сходнмость следующие числовые рядьн 4+а.
лм Выдегчм пва ряда нз действнтельныккжленов с 1)х н с ам е С Е~ а э «» ~~-Щ«Я, ряд ~~, ес4ж ф й4 «'~, то расходится. Следовательно, внутри круга 1э а» «и данный ряд сходится абсожотно, вне круга ряд расходится,' так как расходится ряд яз моду~ей и предел сбшиго члена ряда отличен от нуля. На окружиооти мса"ут быть как точви оходимости, тэк к точки расходимости. 4. Исследование поведения ряда в заданных точках.
Пля исследования сходимости степенного ряпв в заданной точке нужно установить, где лежат эта точка. Если точка лежит внутрп круга сходимостн, то в нзй ряд сходится абсолкжио. Если топка чежнт вне круга сходнмости, то в яей ряд расходится. Если точка лэжчт на окружности> то в ней ряд может как сходвтьсж, так я расходиться. б. Исследование поведения степенного ряда на окружностигранипз облаоти схопнмоств. В граничных точках )э-б» ~й . Поэтому подставим в степенной ряд из модулей вместо ~й-й~ эго значение к . Получим знакополюжнтелькый числовой ряд ч ~ ~ а" . При ксслздю- с.~ Со~~К ванин этого рида возможны слепучощяе три случаю а Й ',) 1С4 ла сходнтся.
Тогда во всех точках, лежа- ва ших иа окружности )к "Щэ К, степен..ой ряд сходнтся абсолютно. й) Е1'4Й" р сх и ЬЕЩ'й ' И ~О т,е, йаэ ~~ еа не выполняется необходимый признак сходнмостн. Тогда степенной р ) х ру Р-а[ей б) Я ~Сэ~ Я, расходиччж и 6~~ ~Са~'й О, Т<к'да ЮИФ веем на гранила ькн"ут быть как точки расходимости так и точки условной сходкмостк. В етом случае данную точку нужно подставить в данный ряд и ~сслэдовать иа сходнмость полученный числовой ряд, Примврьп.
определить облаоть схолимости данньпс степенных рядов и исследовать сходнмость этих рядов в заданных точках э~ а ээ ~ ~~Щ.~-2Ц Ф" ПГЬ» 1) Составим ряд из модулей членов данного ряда 2) Применим к полученному ряду признах Даламбера НО ' .П Д+» Ь+»-2~. , Лмй л х '[и онов+~-ы" 3) Ряд будет сходнтьси, если попучанный предел будет меньше единиды, !й+(-2д» ( . !й+»-гЦ сг Следовательно, областью сход~..юсти даняого степенного ряда является круг с лентром в точке -»+Ы н радиуоом вэ2.
Внутри круга ряд сходится абсолютно. 4) Исследуем поведеяне ряда на гранила области сходимости, т.е в точках окружности (Ь+»-2» (эЙ . Подставим в ряд из модулей вместо1Ь+»-21.! ето значение 2, Получим ээ 2л ээ жЕ ~» 1»" П~~+» „., дТМ( Этот ряд сходнтсяе как ряд Дирихлэ ( у а»,5 у М ). Следова тельно, в любой греничкой точке данный ряд сходится абсолютно. Областью сжодимости данн»ко жда будет )й+»-Л4 ь2. 6) Выясним, как ведет себя данный ряд в точках Ь»,йх Ью В~э-»+ Фь . Подставим Ь в )й+»-ЛЦ вместо й, Получим )-»эФь~» 2~'-) Е .
Значит точка Е~ лежит на гранила. Следовательно, в точке и» степенной ряд сходится абсолютно. , Подстат з» Ех в ~~~»-Ль~ выест%, Полу чим ~»е»-2ь|= М Е4 . Так как точка Еклежнт вне 21 круз а сходнмооти, в этой точке ряд расходится, йьк (ейск . Подставим Ьз в !Ь+» 24 вместо Е . Получим И+Ыь(-24 в2. Точка лежи. на гранкпв н в н41' ряд сходятся абсолютно (рис. 41). Зк 2, ~ ~, / ~1-»+Ц ~ ~,э-2+Йа~ Йээ2-Е ' %ке»-М~ эм ~,,)д+» ! 1) Запишем ряд из модулей Я ~~ ) 1(к-(~4 „.,Ь.+»1 2) Применим к полученному знакоположнтельному ряду радикальный пряэиак Коши 3) Ряд будет скопиться, если подученный предел будет меньше едннипы ~~"- с1 ' ~~-4+"1сд Р Областые сходимости является круг с центром в точке 1-~, и радиусом 3. 4) Лсспепуем поведение ряда на гранина, т.е.