Агаева, Ершова, Зотина (МУ, Лекции и Семинары по ТФКП), страница 3
Описание файла
Файл "Агаева, Ершова, Зотина" внутри архива находится в папке "Методички". PDF-файл из архива "МУ, Лекции и Семинары по ТФКП", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория функций комплексного переменного (тфкп)" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "высшая математика (тфкп и ои)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 3 страницы из PDF
Отыскание области аналитичнооти функции. Для определения области анапитн ности фун" лии $(К) не обходнмо: 1) выделить действительную н мнимую части функции 4Ф) Щ,у)+ьЧ (Х,ц); 2) проверить выполнение услбвий Коши-Римана1 3) множество тех точек, в котовых частные произвопиые дн. ди дЧ дЧ «~~ ~ ~ у "$ с1 шествуют н выполняю«ся условия Кошй Римана, и будет являться областью аналитичности данной функции. Примеры: найти область аналитичности функций. 1ЧэсИй 1) Выделим действительную н мнимую части функции СЛХэс6(Х+ЬЯ)э С)1ХСОЗУ+63ЬХбЬЛУ; 0. = Сй Х СОб Ц; Ч э Ь)1Х 3ЬП Ц, . 2) Проверим выполнение условий Коши-Римана 3) Так как частные .роизводные щ; у" > у ~ ~~ суди.
ди Вп щаитвуют во всех точках Е и условии Коши-Римана выполнены йи всех точках й, то функпия Иас)1 Ъ аналитична на всей ааыппексирй плйскости. 2. ~ф) 2~2', 1) ~Ф) 2 +2'"-(х- ~ц)+$ ьи)я Х-ьи+х'-ц'+2хц ь а Х+х'-ц'+ь Мха-~); иах+х'-у' Че2хи-и ) л) -~к1+2х ' $- а2х-1 . дх ф = -2и; -ду е2~,' фа Ь+ й~ не аналитична ни в одной точке.
$ф) а и + )- ° Ь)е «+щ ~~~ =Х+„—... у-„~--~; и ах+-" — . Ча и - — ~— к+и' ) = ю х'+и' дц ц1 ха фу ъ 2 дх ~х ~' ц. 3) 1) 9 (х'+ф' ' х ~х+ 3) Так как лишь только в точке а О частные производные не сушествувт, то данная функпия аналитична во Всех точках, кроме точки Ь О, Конт ольн ание % 7 Найти область аналитичности для слепуюшнх функпий: 1. ® = аЬ'-32.; ~4) аЬХ; 3. $3; = 3'Ф. В М „= ййхсойи; у ьл хйййЯ,' С)) Х9',ди ° $. а сНХ йьпу; ок Ъу х О г-~~' ди дч 0~а Х 6 3.
иэво нкпни пле но пе е ен а вле ие анели е нк и ее ит лцщф нлн мнимой '(ас1,'.и ()Ч Х О Ч вРХ. 3 -О д ' 1ц ц >рункшш Ч(Х,Ц) удовлетворяет уравнению Лапласа, следовательно, она гармоническая. бЧ,, ДЧ 2) найдем $ф) по Формуле (26) у 31 Д~ ь рх 1. Производная от функции комплексного переменного мо- жет быть найдена ) а'® .Ч11 „3Ч .йХ „~, ( 2) по й>ормуле $ф)а -1 а — - ь— "бУ. д~ й)( д~ ' (27) 3) фф) диффереипируется по.
обычным 'Формулам дифферен- цирования, известным для Функций действительного переменного, > например> (Ь(П Ь)абай >(Ь13) ~ и т,д, 2. Есш> функшш ~ф) аналитична в области О, то ее действительная и мнимая части являются гармоническими функ- а'~ аЪ пняь>и, т.е. удовлетворяют уравненшо Лапласа — + у- 0 ° дх' $ц' Условие гармоничности Функций 0(Х>1~) и Чф> Ц) является не- обходимым условием аналитичности функции $фв0ф,ф~(,Чф ф но не достаточным. 3. если дана одна гармоническая функпия 0ф,~) изн Чф1,ф> то можно восстановить аналитическую функцию ~(й)-0ф,ф+~.Чфф .4ействительно, пусть дана функпня И(Х>Ц) . Запишем йроизводди Щ ную от функции ~ф) по формуле (27) 1(й)в ~~-( )1) Зная $($), можно найти первообразную $ф) с помощью ин- тегрировал>ш.
Примерки 1 ° Убедиться в том> что существует аналитнчео- кая функш>я $ф) ° для которой функция Ч~ХЯ)аЗХ +2ХУ может быть мнимой частью и найти эту Функцию. 1 ) Необл,>днмым условием существования аналнтическои Функпни является тот факт, что ее действительная н мнимая ча- сти должны быть гармоническими функпиями. Проверим, являет- ся ли данная функшш Чф>ц) гармонической сти функции ~-„-а Е"СО31~; ~, = Е"СОЗЦ; дц— а-Е"ЫЛ1~; $-, = - Е"СО3~; 0Ь, д'О. Бг Д~г =О и$,ц)а Е СбЬУ -р --е функш . Й) Найдем ~~Я 1а)г г- -' $,Ва5Я ~й Ь~ПЦ.) 3) Выдепим ~ ~М.
Е"(С33~ '.3'П1))вЕ" а""иЕ"'""ЯЕ-' 4) Найдем функпию по ее производной ~Ю =~ЕЧх =Р'+С. б) Найдем С ~фь)-Е +Се~ ~ Ра4; С=О; = ~~3)аЕ ЙФС й Конт ольное за ание Х 8 Убедиться в том, что существует аналитическая функция, дпя которой известно либо О., либо Ч . Найти ету функцию. 1, Ча ОХСФ~ф Х>0 а. и.асО3Х СЙУ. зшагаг~ Вычислить значение функции ф(Й) в точ~е % 13. ф)=31)(Д--~-); йеа2+ у. Ыо 14. Я=Р 1Ф 15,~$)аЬЙЬ; Е,=-~-+'.. )а1б.~ф)=Ь(1~ЬЬЕ); Еоа 2' М 17.~Ь)=Ьф; 3.а —,", ~.18.
$3)аХЛЕ; ~.=В-Ь. ~~Ц =Рх+ Цз+2~)-3'+2(Х+ ' 1) -3'ее23. 3) Найдем функцию фЯ), интегрируя $ 1р) Ри=~~ь'+гй)й.-ь'3+3'+ С. 2. Убеднтьсн, что сушествует анапитическая функция ~)1а), дпя которой 1гф,~й)аЯ"С05Д является действитепьной частью, и найти вту функшпо, зная, что Я')ьь)а '[, 1) Проверим выполнение необкодимого условия анапнтично- Найти область анрлнтичности для следувкщх функдийн % 19.
Ь) чС05й 1ф 2О. ~~$)аЗЙ й1ф З1 фааЕ" л Убедиться в том, что существует аяалитическая фуккпия, для которой известно либо Оф>Ц), либо Чф,ф . Найти ету функдвзэ 1Н йз. Оф,фе2Х~-бХУ~-К. 1ф З4, Ч~й,Ц) СЬХЗ~ЛЦ +Ц.. ЗАНЯТИЕ 4. Геометрический смысл модуля н аргумента произ водной. Конформные отображения. Отображения, осуществляемые елементарнымк функлиями 6 1, Гсэ ет нчес й на 1. Ходуль производной в точке йе Ц '1%а)1 есть козф фипнент линейного раствжеиия в точке хе.
2. Аргумент производной в точке ке ФФЯ ~ 1,йе1 есть угол поворота касательной к кривой ь в точке яа при отобра женки ее в кривую 1 ~рно.,'Ж). для всех кривых, проходящих через 2а угол 1оворота будет постоянным, если фв) ч'О дрнмерьп определить коеффипиент линейного Рас™кения угол поворота при отображении данной функпней 'М з ФВ) в данной точке йе ° 1. Ч4 е Ь Ь, Ье а у" ~Г 1. 11 Найдем пронзводнув я вычислим ее значение в точке )М'=- 1М~й)з — - — =1-ь а 2) Найдем модуль производной в точке й»» 11а)~йД ~Н 7=0' Д- коэффициент растяжения.
3) Найдем аргумент производной в точке йэ ащ 1а4) з0хС$ф-1)з--~- л 4. следовательно, при отображении функцией 1»» э в точке ч" » у1. касательная к любой ликнни, проходящей через точку зэ, по- ворачивается на угол --ф., т.е. на ф цо часовой стрелке. 2 Ъч з Ь ' баэз+»' 1) ~4 вйй; 1а)Кэйр+4еб+2Ь, 2) )1Мфф~эД6+Й э%О "ЛЛО - коэффициент ли- нейного растяжения. 3) 0:ц) Ч'(й ) = аЪС1~ ~~ м ~Ь,5' сательной к любой линии, проходящей через точку йе, 3. Определить области, в» старых при отображении данной функцией происходит сжатие илн растюкение.
~11 = й'+Йй. Ч зййт2эйЬ 5). ~1М ~4 1 при ~ф+1~ < О»д Следовательно, внутри круга раднуоа 0,5 с центром в точке -1 происходит сжатие во всех точках, кроме точки к - -1, в ко- торой М/ Я О. ))цф)~)1 прн ~й+Ц~у0,5 Следовательно, вне этого круга в каждой точке происходит растяжение Конт ольн за а е ~Ф 3 Найти лннейнъ»й коэффн»щент растяжения и угол поворота для данных функций Ъ4х ~ф в данной то»ке хэ.
~~)зЫ~;~,зЫе1-в- 2, Ч =-~-; Е =1-Ьс 3 й-3 3. Определить область растяжении и сжатия при отображении Функпией Я =Ь1х-1Ф1), В 2, Кон мнью б е 1. Свойство консерватизма углов. Есин Ч4а ~ф) апанитична в точке яе н ).~%е) '4"- О, то две кривые С~ к 1ь, проходяшие через чючку хе ь отобра- жаются в кривые ) ~ и ) ь так~ т.о угон между касательными к ~ч и Фь равен угпу между касательными х ) 4 и )... Это свойство казываетсн свойством консерватизма угпов.
2. Опредепение. Отображекне И "- ф) называетсн кон- формным в точке Ее при у (Ье)40 ° есин оно обладает дву- мя свойствами: 1) свойством консерватизма углов, 2) постоянством растяжений. Зто означает, что с точиссчъю до бесконечно-мапых при таком отображении фигура переходит в подобную. 3. Теорема.
Йпя того, чтобы отебражеине фуикпни Ъ4=ф) быпо конформным, в точке йе необхеднмо н достаточно, чтобы Ч4в Щ быпа аналитична в точке йе н ~~йе) фО. 4. Свойства хонфсрмиых отображений. 1) теорема Римана. сушествует аналитическая функпия ~111) стобрежакнпан взаимно однозиачио и конформно одну одиосвнзпую обпасчь на другую, если ни одна нз этих областей не совпадает ° со всей расширенной ппосхрсяао нли с ппоокостью с одной выко- лотой точкой. 2) При отображении аналитической функпйей а) внутренние точки обвести переходят во внутренние точки; б) граничные точки переходят в граничные точни1 в) сохраняется направпвнне обхода гранины.
3. Главная задача конформных отображений - отыокание Функпни, отсбршхаюшей данную область плоскости а в данную обпасть плоскости И . Эта задача не является однозначной. йлн отыскания единственной анапитической функ.ии нужно задать допопннтепьные усповйя. пусть область Р плоскости а имеет гранину 6 .
Обпастьб ппоскости Ж имеет гранину ).. Нужно пайти аналитическую функнню ~®, отображаюшую21 в 6 н ь в Ь . Для единст- венности решения возможны спедуюшие дополнительные успения: 1) ка 4 сбр ж я в точку Чо, т.е, У% )вчФ и нзвеььен Угон аовоРота в точке й~, т,е. Фт$ чае) х ~ ° ЗО Ф 2) известен образ одной внутренней точки й~и О1 ф~)=ЧЙ и одной граничной точки йв з.1,~~())з) Мю/а, ~4~иб, ~у~а~ („а . 3) известны образы трех граничных точек й< йа Хьа~ 1(,з Ь.) а,з ~М; 1(,з ~М.) (-.
йз, емые о з е а 1. Линейная Функция ЧМ з ОЛ.+Ь, Так как Ю =О.ФО для любого И, то линейная Функции анапитичяа на всей комплексной плоскости н дает конформное отображение в каждой точке. Так как ~Ч зО, то !(ц дает коеФФипиент растяжения постоянный во всех точках, а аргумент О. дает угол поворота также постоянный во всех точках. Ззпишем О. в виде О= (МЯ~'~ ° еа Тогда Функция ЪЧ ОЛ з(МЮ' к осушнотвляет поворот на угол е(.