Агаева, Ершова, Зотина (МУ, Лекции и Семинары по ТФКП), страница 6
Описание файла
Файл "Агаева, Ершова, Зотина" внутри архива находится в папке "Методички". PDF-файл из архива "МУ, Лекции и Семинары по ТФКП", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория функций комплексного переменного (тфкп)" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "высшая математика (тфкп и ои)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 6 страницы из PDF
2) По троим окружность с пентром в точка й«О (тэк как разложение находнтсн по степеням Е ) и радиусом 2 (так как ~0-(.2)~ ээ' ). На этой охружности бупут лежать о1:обые тсч ки Ек, Ьь, Ь|, так как мслуж у всех этих точек одинакав и равен 2. 3) Эта окружность делит всю комплексную плоскость на двэ области". область 1, Ос')к) 'Й - круг с выколотым нентром (хо~иле, у которого внутреннян окружносль имеет радиус равный нулю, а внешняи - 2); область П Дул - кольна, у которого радиус внешней окружности бесконечен.
И полученных кольпах данная функиня аналитична и, следовательно, раскладывается в ряд Лорана (рис. 46). 4) найдем этн разложения, используя фо«рмулу (32). так как ета формула дает раэлс«кение функпин (~тЦ, то заданную фу киню нужно тождественно преобразовать с учетом того, чтобы в записи ее поавиласп* единипа. Йля этого вынесем из пай 3) Разложим з ряд у(3), используя разложеюю (27). Выделим 3+2 в зыражении функляи.
Получим ~юв Пбдученков разложение - единственное. К з 1. Разложить фуяклию ® з —— а+( ням Е (. яям 3+ у нм 2 Разложить функпкю ~ф)- Рб~.~)))ю з ряд по степан рнд по степв- 3ацд336дй.дай Ж42. Разложить фукклию ~И з $7 Й~Ъ з ряд а %43. Разчожнть фунюлпо ф9~ %'ЙФ з ряд )и 44.
Разложить функлкю „'Йа)з фс)1 Ф " рлд 4 %46. Раз.злить функлию®а ЙЧЙ~ 3 и рнд з области ( С )з 3) '~(). 1Й46. Разложить функюпо тф)~.р~~ в ряд з окрестности точки Е,(. ло степеням %-2 ло степеням Ж' 3АНЯТИВ 7. Особыв точки, класси)икании. Вычеты, вычисление интегралов Изолврозенные особыв точки могут быть трех типов: 1) устранкмью особые точки) 2) лолюсьц 3) сулюстяеино особые точки. Их тяп мажет быть олределвк. исходя нз поведения леннон функлни з найденной особ.й точке, а также из вида ряда Лорана~ полученного для данной фуикили з окрестности найденной собой точил (см.табл.1), те Классн31нп3аы3п нзолнрованнь3ь особых точен Раз3П3женпа в рнд в охрестностп данной особой й.а Ь ф=с,рм 1ь)=Š—, Раз3нхкенпе в рпп уф) 1, йча устра3п3 мал Особап тОчпа Ьп ф й,йа ПО3ЛОС ~9)= Я Св (й-О)" ~®ЬЯС.И" з.
ь=а СУ33ВСЧ~' венпо особап точна Поведение 4унппни в етой Ь~ ~Ы не суп3ест- вует Ь)-Е с. и-а~" Разложение в рпд ® в р м а пе с33пержит пачейь ных О3епепей (У.-6) ьЕ с." Е .6-Ор" 333~ Е*О Конеч3жп3 число членов с отрапательной сте- пень3О $40 в окрестностк беспояеч- но удаленной ТО~ОЗП пе содержат пол3лхвтель- нь3х степеней Е ~ф=,'~;„ь"+ ) „.3 Конечное число членов с ПОЗЛ Ж33тельнОй Сто" ЕНЬ333 а. Пол жительных степеней Ь - бесчнсленное мнс3пество 62.Поя л к 1 ° Определение.
То икд Жэ»х называется нулем функцяи, если в етой точке функция равна нулю ~ф) О. 2. Определение. Точке и э0. нвзывветси нулем к-ач> порядке для функции ).®, если функция виелитнчнв в точке а а ...„„, й; 1) ~Щэф ф ~Щ нли 2) фЮ) 0, ~'~р).0, ..., ~"'~а)во, ~'"'(р~фО, 3. Определение, Точка йети, назывеется полюсом к-го по рядка ф~лкцнк )»в), если в рвзложении в пяд Лоране денной функции в окр.стностн точки В а. самый большой отрицательный покэзвтель степени прн»в ж) рввен по молулю 'к );~ ~С-в ~~~ о (й 3)" ФЪаэ 4 Нахождение порядка полюсе. Длч нахождения поря кв полюсе существуют следуянцие три возмож костят 1) Разложить функцию в ряд в окрестности полюса и нейтн к по определению 3.
2) ~У~ в йэа рд функция . имеет в этой точке н ль порядки 'к . 3) Если Йэ1э — и т - порядок нуля чнслители, ) )»(3) П - порядок нуля знаменателя, то возможны следующие онуче»ц' а) й сц, тогда Ъэц - поаос ф и его порядок и-Ъ; б) йг11, тала йети - ноль ф н его порядок В-й; в) Вед, тогда й а — устр особвя точки. Прнмерьц найти особые точки данных функций $ф.3 определить их тнп, для поаоса нвйти его порядок, определить, чем является для и»иной функции бесконечно удаленнвя точка. 3$,1 Ь)к~ ~ 1) Найдем особые точки Ь 4э0; Й» э4 2) Опредеш»м,тнп этой особой точки по поведению функции, Ь $И = Ь й=Ж-'~ ва. йе» %~» ф'"9 Так кек предел функш»н существует н ревен конечному числу 2, то точха в»з 1 является устранимой особой точкой н) опредэпим, чем дпя данной функпии.
является бвсконвч но удаленная точка. ««»» Ь0 -у ~- = э», Спэдоватэпьно, точка й з есть полюс. $-е ае й»- 1 имеет порядок бескспэчности 2, (~-1) - 1. Следова тельно, Е«ос - полшс порядка 2-1 1, т е, простой полн»с. 1) Найдем особые точки й«0. 2) Опрэдвавю пк тнп 1-й способ» о ш»мошью одредепвния пор~~дна нупя в чисеытэпв и в зиаменатвпэ.
Дш» олреде»ыиия порядка пупа в числителэ подставим в числитель и в его пропзводныа точку з«0 . Получнм 4-00ЬОсО Ц-00йй)«йа~ > ЬЛО=О, ()-0Ь~Й) «(Ъ~М4 =00$Ь, 00$0в1й О. Так как вторая производная в тсчяв к .0 отличяа от пупа, то а«0 является дпя чисдвтепя пулам 2-го порядка. Знаменатзпь в точка с«0 - также новь 2-го порядка.
Спэдоватеж но, точка а э 0 - устранимая особая точка 2-й способ: с помошьв рзздоження функпии в ряд. Разложим данну»» функпнш в ряд в окрестности точки й .О. Так как другпк осм»бык точэк фупклпя пэ имэат> то раапожвн»»в в ряд у иэе единственное в области 0«)а( ссс, т,а. на всей плоскости с вы~злотой точкой з«0 «ъэ В этом разпоженик нэт отрнпзтэпьиык стэпанай и . Спэдоватвльно, й«0 - у«травимая особэи ттоочка.
3) Определим, чзм является для данной функнпи бескоявчно удапанаая точка. Йпя этого рассмотрим уже по».„чаянов раа пожвние в ряд данной функпип. Так как разпожение в ряд едннственпов, оно явпяется разно»гчнкем дан»к»й функпик и в окрестности точки й«0 и в окрвстности бвсконечпо удаленной точки. Так как в этом разложения бвсчпопенноа мнажвствс попожптэльпык степвнвй а, то бэскон чио удапвннвя урчка является сушэствапио особой. о~й~ » бган 1) Найдвм особые точки й -4. 2) Выясишн тип особой точки. пи~~ й фуикш»н при а.»-' Так как предел, еслн он существует, должен быть одинаковым до любому направленюо, то выберем за рассматрнваемые направланпк подход к даняой точке по действительной осн справа я слева, т.е.
~=О, Х- -4+О к ~а0> Х -+-1-0. х-~-4ео л. 0 Е -Е =Е'"х х+-<.е Так как значення пределов разлнчны, то предел прн й- —.4 не существует. Следовательно, данная точка валяется существенно особой. 3) Выяснкм, чем является бесконечно удаленная точка длв данной функпнк. Найдем предел фуккннн прн л -е о бы гней- б я.
а-вез Так как предел существует н он кокечен, то д оо - устраю~- мая особая точка. Нййтоольййй ~аййййе Я. ~3 Найтн особые точки дакных фасций, определить нх тнп, для полю-х определнть его порядок, определить, чем для данной функпвн является бесконечно удаленная точка, Ь)ш —.' " 'В)х~-Я . $Фа ' ~ —" й 3' йщеИа жаИЖ 1.
Определение. Вычетом данкой фуюшнк ~ф в данной а=а на в . р д п — на ннтегра.* от данной функлкк по замкнутому контуру Ы~. однократно обходящему лапнув точку, если функпня аналитична всюду внутрн контура з» кскшочением быть может точки О.. 133~®=~~, ф ~КАТЬ. 2, Теорема. Вычет данной функпнк $)ь) и данной й0. р н фф туС-, рп ~~~ в~ $9 , р„Л р в р ° й=а йЮ~Е)еС ~ $-0. Твблиле 2 формулы для вычисления вычете в раэжчных точках 3. Вычет в бесконечно удаленной точке ревел сумме выч .ов во всех конечных особых точках, взятой со зьаком йвь ф = - Е кебы |Ы а пе «~ 1 д« Примеры; вычислигюь вычеты денной функппи ~ф.) во воех ее особых точках, найти вычет в бесконечно удаленной точке. ~.
~(а) = ффТочка й ь — аопюо 3-а о порядка, вы ют вычпслвем по формуле 2 ив табл. 2 при к 3. осгальнык точкак сна анапитична, то ф фРйъ =Жь~"„ййй,9й, где Й» — особые точки подынтвг алькой фу,п нни, пакащие внутри вентура интвгриронания. Пунм врыл вычислить пнтвграпы 1.с~> рд-и ~. - окружность 11й Н еЗ ° .~. Дя Найдем особыв точки подыитег ъапьной фунзааи н опрвдепнм ик к =О - полюс 3-го порндка1 Еа Й~ - поаос 1-го порпдка1 9ь-?.ь - новос 1-го порядка. Внутри контура лежат дэе точки еьО и азаь (рис.
47). Поэтому ф 4ь —,. ~'~я ~Ю кйй~М~ Найдем аычет функции н точке дно -$-"~-Ъ-а ~®~ — ' — ~ э~~~~~'" 4вР+4Г йВ о Ы И~й~+6 й е (У~ч'" тб Вычет функпии в точки йэ 2ь ранен «=1ь Р+Ю ~ ° ' йьЧИ4 и З 1б-аЧ" йй Таким обрасом, ф лми ~ альф ~ 3 е )а Аъ ~йь ~6 ЗО 4 У Вычислить следующие иитегрельп ~. ф -Й4~~ ) М.: ~ать е ф . и. ф ~Й'- ° ~ - р оу с р в бу-ь ' "х сола ' Ф $а $«ь ц е 1» ~, Йе = ь.