Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970), страница 17

3.2, б. Из графика следует, что в данном случае для д, с д с д, принимается решение о наличии сигнала. Условные вероятности () и г имеют смысл вероятностей попадания случайной величины у в интервал у, —.' д, при условии «сигнал — помеха» или «помеха» и соответствуют заштрихованным площадям под кривыми р,„(д) и ро(д) на графике (рис.

3.2, а). Вводя в общем случае произвольную решающую функцию, выражения для О и г" можно записать в виде интегралов в бесконечных пределах где )' 1, если 1(у) ~ 1„ 1 О, если 1(д) ~1,. Величина 1(д) = р,,„(у)~р (д) называется отношением (или коэффициентом) правдоподобия. Отношение правдоподобия представляет собой отношение плотностей вероятности одной и той же реализаиии у при двдх условиях: когда действует сигнал и помеха и когда действует только помеха.

Оно характеризует, какую из гипотез о выполнении указанных взаимоисключающих условий следует считать более правдоподобной. Как и обе плотности вероятности, отношение правдоподобия не может выражаться отрицательным числом. Решениео наличии сигнала принимается, если отношение правдоподобия превышает пороговую величину 8„в противном случае принимается решение об отсутствии сигнала. Итак, критерием оптимального обнаружения может служить критерий отношения правдоподобия, являющийся следствием общего критерия минимума среднего риска. Этот критерий наиболее удобен для практических расчетов.

гдО $ 3.2 Действительно, участки оси д, для которых А*(д) =- '1, определяют площади под кривыми р,,,(у) и р„(д) подобно тому, как это показано на рис. 3.2, а; участки, для которых А"(д) = О, при интегрировании все равно дадут нуль. Выражение  — 1,с', соответствующее весовому критерию, может быть тогда представлено в виде Π— !,д= ) р„~д) А'щ 51 ~д) — и,| шд, (5) Рсц (У) (6) Рп (У) Согласно весовому критерию оптимальной является такая система обнаружения, которая обеспечивает максимум интеграла (5).

Чтобы выполнить это условие, достаточно для каждого д добиться наибольшего значения подынтегрального выражения за счет выбора решающей функции А*(д). Эта функция принимает только два значения: О или 1, так что подынтегральное выражение либо обращается в нуль, либо умножается на единицу. Чтобы достичь наибольшего значения всего интеграла в целом, достаточнообеспечить наибольшее значение подынтегрального выражения для каждого д, поэтому полагаем: 1) А*(д) = 1, если подынтегральное выражение при этом положительно; 2) А*(д) = О в противном случае. Г1оскольку плотность вероятности р„(у) не может принимать отрицательных значений, то оптимальное правило решения задачи обнаружения.

может быть записано в виде Поскольку еще не было использовано предположение о законе распределения помехи, проведенное рассуждение пригодно для произвольного закона распределения. Если же помеха описывается центральным гауссовым распределением со стандартным отклонением по и дисперсией п„то при отсутствии сигнала, когда д = п, ~2 (8) У 2п п~ а при его наличии (У вЂ” х) 2 2" о р„,(д) = = — е г' 2п и„ При этом отношение правдоподобия будет (я — х~ 2 2 е 2"о 1(д'; = у' 2ПО 2 е ха хр е е 2" о по 10) о д, д Рис.

З.З, Зависимость отношения правдоподобия от результатов наб- людения Рис. З,4. Кривые условных плотностей вероятности рн(у) рев(у) и график оптимальной решающей функции А в (у) Зависимость 1(д) для х ) 0 показана на рис. 3.3. На оси ординат отложено пороговое значение 1,. В силу монотонного хода кривой условие 1(д) ~ 1, эквивалентно д >до, а 1(д) (1о — условию д '.- д„(рис. 3.3). Тогда при х ) 0 ( 1, если д~до, А„,(д) = ~ (1 1) ~ О, если д<до. Отсюда видно, что первоначально принятая решающая функция l ра уа Рис.

3.6. Кривые обнаружения Рис. 3.5, График интеграла вероят- ности. (рис. 3.2, б) была неоптимальной. Чертеж с оптимальной решающей функцией, аналогичный рис. 3.2, представлен на рис. 3.4. В нем пе отбрасывается участок площади под кривой р,„(у) правее точки у, (рис. 3.2), что увеличивает вероятность О. Величина же вероятности с при гауссовой статистике возрастает в существенно меньшей степени и соответствует при этом площади под кривой р„(у) (рис. 3.4) правее абсциссы у,. Величину у, будем называть порогом. При заданном уровне помех условная вероятность ложной тревоги Р зависит только от величины у,: 5 е = р„(у) с(у= = ~ е а сЬ= — 1 — Ф а (12) 1Г 2д 3 2 аа й,1 где Ф(и)== ( е 'ав "о — интеграл вероятности, график которого представлен па рис.

3.5. Таким образом, величину порога можно выбирать непосредственно по заданному уровню вероятности ложной тревоги, что соответствует критерию Неймана — Пирсона. Это позволяет избегать учета априорных (доопытных) данных о наличии или отсутствии сигнала при реальном проектировании аппаратуры. Условная вероятность правильного обнаружения 0 соответствует площади под кривой р„,(у) правее абсциссы у,: 2п ае (уа — х) /ао или, в силу нечетности Ф(и) = — Ф( — и), окончательно 1 х — у„ (13) 4 2.2 При заданном уровне помех и, величина Р зависит не только от порога у„но и от величины ожидаемого сигнала (рис. 3.6). Зависимость Р(х) может быть построена качественно из анализа площади под кривой р,„(у) на рис.

3.4 и количественно — в соответствии с соотношением (13), В частности, при х = О значение Р = Р, при х = у, значение Р = 0,5, при х )) у, значение Р ж 1. Чем выше уровень порога у, и меньше условная вероятность ложной тревоги Е, тем больше кривая Р(х) сдвигается вправо. При этом для обеспечения той же вероятности Р требуется больший уровень полезного сигнала. Кривые, изображенные на рис. 3.6, носят название кривых обнаружения. Вопросы отыскания оптимальных решающих функций и построения кривых обнаружения, рассмотренные выше на простейшем примере оптимизации, явятся в дальнейшем важными разделами теории обнаружения реальных сигналов.

ф З.З. Постановка задачи оптимального обнаружения реальных сигналов Реальные сигналы являются функциями времени. Поэтому в отличие от рассмотренного в ~ 3.2 простейшего примера, результирующее колебание на входе приемника (т. е. еще неискаженное в его электрических цепях) имеет вид у (~) = и (~) + Ах (~, а, ~), (1) где пЯ вЂ” колебание помехи на входе (или пересчитанное на вход) приемника, представляющее собой стационарный случайный процесс с известными статистическими характеристиками; А — дискретный случайный параметр, принимающий значение О или 1; х(1, а, р) — известная функция времени и параметров и, р, описывающая ожидаемый сигнал с учетом закона его модуляции, метода обзора пространства и т. п.; а — фиксируемый при обнаружении параметр или совокупность параметров ожидаемого сигнала (время запаздывания, допплеровское смещение частоты и т.

п.). При обнаружении цели в диапазоне дальностей (скоростей) для каждого фиксированного а этого диапазона нужно обеспечить принятие оптимального решения; р — случайный нефиксируемый при обнаружении параметр или совокупность р„р2, ... таких параметров (начальная фаза сигнала, его амплитуда, совокупность начальных фаз и амплитуд сигнала, состоящего из отдельных посылок). Поскольку при обнаружении эти параметры не фиксируются, задается плотность вероятности их распределения р(р) или р(р,, р„...). Наиболее существенной задачей теории оптимального обнаружения является отыскание закономерного решающего правила при- ва нятия решений о наличии или отсутствии цели (А ~ = О или А* = 1) в зависимости от вида функции у(1), т. е.

отыскание дискретного функционала Аоп г = Аопт [У (~)] (функционалом называют переменную величину, значение которой зависит от вида функции). Если решение принимается для различных значенийа в некотором диапазоне их изменения, то необходимо найти А,„г как функцию а А,„,(а) = А,„, (у (~) / а]. Критерием оптимальности может служить критерий минимума среднего риска, либо вытекающий из него более удобный весовой критерий, не требующий непосредственного использования доопытных данных о наличии или отсутствии цели. Наряду с указанной задачей в теории обнаружения решаются задачи установления практически приемлемых принципов построения (синтеза) аппаратуры обработки сигнала, которая будет рабо.

тать в соответствии с оптимальным решающим правилом, и оценки качественных показателей обнаружения, аналогичных рассмот. ренным в ~ 3.2. При написании формулы (1) имелось в виду, что зондирующий сигнал не изменяется под воздействием принимаемых колебаний у(~), так что функция х(1, а, р) от у(1) не зависит. Со случаем, когда параметры зондирующего сигнала меняются в процессе приема ' реализации у(1), выходящим за пределы поставленной задачи и относящимся к последовательному анализу, мы встретимся в ~ 5.3 и 5,5. ф 3.4. Методика решения задачы оптимального обнаружения реальных сигналов По аналогии с примером оптимизации Я 3.2), рассматривая статистические вопросы обнаружения, необходимо найти подходящий способ сопоставления вероятностей различных реализаций колебания у(~) при наличии или отсутствии сигнала. Одним из наиболее простых путей в этом направлении является введение предположения о спектре сигналов и помех, ограниченном некоторой наивысшей частотой 1"„„„величину которой в дальнейшем можно будет вы.

брать произвольно большой и снять тем самым наложенное ограничение. Известно, что для фу нкций с ограниченным спектром спра ведлива теорема Котельникова, позволяющая представить функцнгс у(1) в виде одной из разновидностей разложения в ряд по неслу. чайным функциям ф,Ф со случайными коэффициентами у~; (г) =~ у г]: (О (11 В данном случае у„= у(1„) — это значения функции у(1) в дискретные равноотстоящие моменты времени 1 = ЙЛг(Й = О, ~1, ~2, ...), где М вЂ” интервал дискретизации, связанный с граничной частотой Ж =-= 21макс (2) а ~а(~) — это сдвинутые между собой на время М функции вида а)п х х а1п 2п~мако (~ ~а) 2п1макс(~ — ~а) (3) Как видно из рис. 3.7, при суммировании сдвинутых во времени .

а1п х и измененных в ул раз функций значения этих функций в мох мент времени 1 = ~а, все, кроме одного, обращаются в нуль, а это последнее значение будет уа = у(~а). В промежуточные моменты времени сумма ряда и описываемая ею функция у(~) совпадают потому, что сумма ряда не испытывает заметных колебаний во времени, поскольку она не содержит спектральных составляющих, период которых менее — = 2Л1. Развернутое доказательство 1макс дано в приложении 3.