Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970), страница 21

й. олученныи вывод очевиден, поскольку фаза напряжения на выходе оптимального фильтра при случайной начальной фазе сигнала также случайна. Информацию о наличии сигнала дают поэтому только огибающая и пропорциональное ей напряжение после детекто а. пряжение должно сравниваться с порогом, уровень которого р подбирается с учетом коэффициента передачи С В результате один канал оптимальной обработки (рис. 3.19) позволит производить обнаружение сигналов с неизвестной случайной начальной фазой, отличающихся временем запаздывания. Выражение (8) можно записать еще в виде Ю(1) = — ~ 1'(в) Р,„,(1 — в)сЬ, (' (10) где 1 онт (~) ~~ (~0 ~) Е (11) — комплексная амплитуда импульсной характеристики о,„, (1). ч Умножив обе части равенства (11) на еУ о ' и взяв реальн асть, легко убедиться в соответствии (11) выражению (6).

в реальную 8 3. 8 .1О. Частотная характеристика, отношение сигнал/помеха и форма вершины импульса на выходе оптимального фильтра Наряду с импульсными характеристиками фильтров весьма широко пользуются их частотными характеристиками. Частотные характеристики особенно удобны при анализе фильтрации в резонансных системах, но могут быть использованы н в других случаях. 114 3 3 ° 10 Частотную характеристику К(~) линейной цепи (в комплексной форме) определяют, подавая на вход цепи гармоническое колебание и(~) = е~'""~'. Напряжение на выходе будет ы(8) = К(~)е1'"~' и частотную характеристику определяют как отношение К(~) = — '~ при у(~) =е~'"и.

УИ) Используя ((3), ~ 3.9), получим к(де1~ в 1 о~у — з~еи"низ Поделив обе части равенства на множитель е~'"и и произведя замену переменных 1 — з = т, найдем выражение частотной характеристики в виде преобразования Фурье от импульсной характе- ристики кщ= 1 о~т)е — ~' и ыт. (2) Пользуясь соотношением (2), определяем отсюда частотную характеристику оптимального фильтра к.„, в = с 1 . у, —.~.-и.~ ю, или после замены переменных 1, — т = т КОП,О=Се — ~'"~' ~ и(~)ет2"~'й (3) Отсюда частотная характеристика оптимального фильтра К,„, (~) = Сд* (~) е- ~'"" (4) с точностью до произвольного вещественного множителя С и множителя запаздывания е — 12 П описывается сопряженной спектральной плотностью д*® ожидаемого сигнала, где спектральная плотность уф= 1 ифе — 1' "ю.

(5) Воспользуемся записью спектральной плотности через ее модуль и аргумент д (1) ~ д (1) ~ е1' и а(11, (6) 115 где модуль ~ ду> ~ соответствует амплитудно-частотному спектру ожидаемого сигнала, а аргумент агд д(~) — его фазочастотному спектру.

В сопряженном спектре модуль тот же, а аргумент имеет противоположный знак, и потому К (~) — С~дгф~е — ! агк х ггге !зюга (?) из Беря от обеих частей равенства (?) модуль и аргумент, можно перейти к амплитудно- и фазо-частотным характеристикам оптимального фильтра. А мплитудно-частотная характеристии, ~из.из ка оптимального фильтра ~ К,„, Д) ~ = С ~ д Д) ~ (8) проггорггггональна амплитудно-частотному спектру ожидаемого сигнала. Оптимальный а =сх Ео фильтр наилучшим образом пропускает Рис. 3.20, Наложение спектРальные составляющие, наиболее максимумов гармониче- сильно выраженные в спектре. Слабые лезного сигнала на вьь ских составляющих во- спектральные составляющие подавляют ходе ф льтра нрн опти сЯ, в пРотивном слУчае нарЯду с ними мальной фаза-частотной пройдут интенсивные составляющие помехарактеристике хи в широком диапазоне частот.

Форма амплитудно-частотного спектра на выходе фильтра искажается, что являетсн одной из причин искажения сигнала. Однако задачей фильтрации является не точное воспроизведение формы сигнала, а наилучшее выделение его на фоне помехи. Фазо-частотная харакпгеристика оггтимального фильтра ага К,„, ~)) = — агд д(~) — 2л)1, складывается из аргумента спектра ожггдаемого сигнала, взятого с обратньгм знаком, и аргумента задержки — 2л~1,. Чтобы убедиться в целесообразности такого выбора фазо-частотной характеристики, найдем сигнальную составляющую напряжения на выходе фильтра, зная спектральные плотности сигнала и(1 — а) на входе дД)е — г'"~а и на выходе К,в, ЯЯ)е — г'"га.

По принципу суперпозиции напряжение полезного сигнала на выходе фильтра в произвольный момент времени с учетом временного множителя ег2""П будет го (г) — ~ К (~) д(~) е — /алга ег2лгг ф Нб $ 310 Подставляя выражение (4) для К,„,.ф, приходим к соотношению ,у~=с 1~рар, ° — — ау (10) которое является спектральным аналогом предшествующего вы- ражения [(7), ~ 3.91 при у(в) = и(в — я), Используя формулу Эй- лера и учитывая нечетность функции з1п2лД1 — а — 1,), оконча- тельно находим ю,ф)=с 1 (дф('соь2п~(~ — а — ~,)ф. Как видим, напряжение на выходе оптимального фильтра, являясь наложением гармонических составляющих разных частот, определяется амплитудно-частотным спектром сигнала.

Оно не зависит от фазо-частотного спектра, так как последний компенсируется фазо-частотной характеристикой фильтра. Поэтому все гармонические составляющие одновременно достигают амплитудных значений в момент времени 1 = а + 1„и эти значения налагаются друг на друга (рис. 3.20), В этот момент времени имеет место максимум напряжения выходного полезного сигнала и, „.„, = в, (а+ 1,) = С ~ ! д (1') ~' Й~. (12) В силу теоремы Парсеваля 1 ~ийР4= 1 и'Я~1=э (13) этот максимум определяется величиной энергии входного сигнала (14) (15) 117 При отступлении от оптимальной фазо-частотной характеристики, последняя не компенсирует фазовых сдвигов, максимумы гармонических составляющих (рис.

3,20) раздвигаются, а пик суммарного колебания полезного сигнала начнет рассыпаться. Это ухудшает условия обнаружения сигнала на фоне шумов. Отношение максимального значения сигнала к эффективному (среднеквадратичному) значению помехи ы. ~..„,/в„ „,„ называется отношением сигнал~помеха по напряжению, При спектральной плотности мощности Ж (1) на входе фильтра средний квадрат напряжения помехи на выходе будет или для белого шума Л'(() =Л', с учетом (8) И„,„,— Л( С2 1 ~а Ч) ~24 о Поскольку спектральная плотность вещественной функции вре мен и д ( — () = д" ((), то ~ д ( — (') ( = / д Д) !, а т. е. ~иска — ~ Ло~ Отношение сигнал(помеха на выходе оптимального фильтра по напряжению ~ьс макс (17) ц'и скв С 1 1о 2 2 с макс 2Э (18) 2 п скв ~в Ни один из линейных фильтров не может дать отношение сигнал(помеха большее, чем оптимальный фильтр.

В противном случае, заменив им оптимальный фильтр, можно получить ббльшую вероятность правильного обнаружения В при заданной вероятности ложной тревоги Р. Но именно оптимальный приемник дает наивысшую вероятность 0 при заданной вероятности Р. Значит,и оптимальный фильтр этого приемника при заданных условиях дает отношение сигнал(помеха, наивысшее по сравнению с другими линейными фильтрами. Ввиду важности ряда полученных соотношений, приведем еще одну форму записи для случая, когда используется комплексная амплитуда У (г) высокочастотного напряжения и (г) = = йЕ [О (() Е1 2" 1а '1 ЗаМЕНяя и (() = Ц (() е! 2и1о ~+ Ц* (() е — / 2л1о ~ 1 1 2 2 и подставляя (19) в (5), получим ИО= — 60 — '()+ — О0+(.). 2 2 (19) (20) 118 Ф З.1О зависит только от энергии полезного сигнала и спектральной плотности помехи Хс и не зависит от формы сигнала.

То же справедливо и для отношения сигнал(помеха по мощности Рис. 3.21. Амнлитудно-частотные снектры радиоимауль- са ~д(О ! и его огибающей ! 6Ц) ~ где 6Я вЂ” спектральная плотность комплексной огибающей (21) На рис. 3.21 для сравнения показаны амплитудно-частотный спектр радиоимпульса ~д(~) ~ и спектр его огибающей ~6(Д ~. Легко видеть, что для соответствующего этому рисунку случая достаточно большой несущей 1', спектральная плотность (22) Учитывая (22), вернемся к соотношению (10).

Разобьем интервал интегрирования в этом соотношении на два, от,— оо до 0 и от 0 до оо, выражая одновременно д(~) через 6()) согласно (22). Заменяя 1 + ~, = ~' в первом интеграле и 1 — ), = 1" во втором и учитывая ограниченную протяженность функции 6(~), обозначим ~ ~ 6 Д) (а е) 2н) и- и- ы ф 2 Я1 (~) (23) Выражение (10) можно свести тогда к виду Гн (~) ф' (Г) ф 2кс)о а — а — С,) +Š— ~ 2л)о а — а — 8,)1 1 = 1р,(т) соз 2л1о(т а го). (24) В соотношении (24) У,(1) — огибающая напряжения на выходе оптимального фильтра; считаем, что У,.(1) = В'.

Это справедливо, ф 3.10 119 — 26(~ — ~,) 1 2 для 1) О, для ~(0. если амплитудно-частотный спектр ~ 6Д) ~ симметричен*, т. е. ~ 6( — 1) ~ = ~ 6(7) ~. В соответствии с формулой Эйлера из (23) получим т,щ= — ) 3оя3'соя2п7о — п — к,~ык. ~25) 2 Соотношение (25) позволяет оценить форму вершины огибающей на выходе фильтра. Для большинства важных случаев можно воспользоваться приближенным разложением соз 2п)(1 — а — (о)в окрестности максимума соз 2л) (~ — а — ~о) = 1 — — 12л)" (1 — а — 1о)1о, 1 2 откуда К,(г) =63 1 — — П,(1 — а — ~о)', 12п16 ® 1олг П = э— ~! 6®1'о7 (26) (27) Где Приведенные соотношения справедливы, если ~ 6(1) ~ убывает с ростом ~7" ~ быстрее чем 1/~1 ~, и интегралы сходятся (что несоблюдается, например, для прямоугольного радиоимпульса).