Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970), страница 18

уф Используя теорему Ко- тельникова, различные реализаиии непрерывной фунщии у(Г) можно свести к многомерным случайным величинам У' = )у„у„...), Область определения этих величин называют многомерным лространством. Известно, что одномерные случайные ве- 5сп груме Ко- Рис. 3.8. Пояснение понятия плотности вероятности реализации у(1) 95 Рнс. 3,7. Пояснение теоремы тельникова личины характеризуются точками на прямой д,, двумерные — точками на плоскости у„у,, трехмерные — точками в пространстве у,, д„-, у,. Многомерное пространство понимают как некоторую абстракцию, наглядно иллюстрируемую с помощью трехмерного, двумерного (плоскость) или одномерного (прямая) пространства.

При этом точку многомерного пространства понимают как условное наименование реализации коэффициентов разложения у~. При непрерывном распределении вероятностей каждую реализацию у,, у„... можно характеризовать своей многомерной плотностью вероятности р(у„у., ). Умноженные на ау, е(у, ... эти плотности характеризуют совместную вероятность реализации первой одномерной величины в пределах между у, и у, + ад,, второй — в пределах между д, и у, + ау, и т.

д. Поскольку величины у,, у,, ... однозначно определяют всю кривую, то величина р(у„ у,, ...) ау1ау,... представляет собой вероятность попадания реализации кривой д(~) на «дорожку» (рис. 3.8), определяемую интервалами задания дискретов у„(у ( у, + ау . Более кратко многомерную плотность вероятности р(у„у2, ...) будем обозначать р(У), а соответствующие условные плотности вероятности при наличии одной помехи р„(г') и сигнала и помехи р„,(г').

Дискретный функционал А*[у(~)) переходит в дискретную функцию А*(г'), как и ранее, принимающую в зависимости от г' два значения: О или 1. Выбор наилучшей решающей функции А,„,(У), т. е. наилучшее разбиение многомерного пространства на области А* = О и А" = 1, представляет собой ближайшую задачу теории обнаружения. Решая эту задачу по аналогии с ~ 3.2, найдем выражения В и Р для произвольной функции А *(г'): 0= ~ р„,(У) А*()')а1', (4) Р = — ~ р„(г') А*(г')Л', (У) где а'г' = ау,ау,..., а область интегрирования соответствует всем возможным значениям величины 1'.

Составляя весовой критерий 0 — 1,г', находим Π— 10Е= 1 р (г)11(у) — 10) А*(1') Л;, (5) (ю где 1(У) Реп Р) Рп Р ) — отношение правдоподобия для многомерной случайной величины. Как и в ~ 3.2, максимум весового критерия достигается при оптимальной решаюшей функции 96 Я 3.4 (7) где 1, — пороговое значение отношения правдоподобия, обычно выбираемое в зависимости от заданного уровня условной вероятности ложной тревоги. Принимаемое колебание у(1) с неограниченным спектром описывается многомерной выборкой У тем лучше, чем меньше интервал дискретизации М, т. е. больше граничная полоса аппроксимации 1 ~„,п„, = —.

Поэтому можно считать, что в пределе при Л1-+О определяется искомый функционал ~ 1, если У [у (~) $ а[ ~ Е„ (8) [ О, если 1[у(1) [а[(1„ где 1 [у (Р) [ а) 11гп сп ~~-~п Рп Р'1 (9) В соотношении (9) параметр а вошел только в числитель, так как при отсутствии сигнала плотность вероятности реализации У от параметра сигнала а не зависит. Описанная методика решения с использованием теоремы Котельникова не является единственно возможной, но в силу своей простоты наиболее удобна для первоначального изучения.

5 3.5. Статистика флюктуационной помехи Методика оптимизации обнаружения Я 3.4) предусматривает наличие сведений о статистике помехи, на фоне которой производится обнаружение сигнала. Одной из основных и простейшей с точки зрения математического анализа является флюктуационная помеха (флюктуационный шум). Эта помеха наводится в приемной антенне, либо создается во входных элементах приемного устройства за счет теплового движения электронов в сопротивлениях, дробового эффекта в электронных приборах и т.

п. При воздействии на узкополосную колебательную цепь случайные толчки помехи вызывают налагающиеся переходные процессы, тем более продолжительные, чем уже полоса Л~ (рис. 3.9). В каждый отдельный момент времени налагается большое число случайных воздействий и мгновенные значения флюктуационного шума в соответствии с центральной предельной теоремой подчиняются нормальному (гауссову) закону. Этот закон можно экспериментально наблюдать, снимая с помощью фотоэлемента распределение яркости экрана осциллографа, иа вертикально отклоняющие пластины которого подана флюктуационная помеха при выключенной горизонтальной развертке. На экране при этом наблюдается свет- $ з.в 97 Рис. 3.9. Случайная реализация помехи на выходе резонансного усилителя, настроенного на частоту ~а лая вертикальная черта, яркая в центре и темная по краям.

Распределение амплитуд недетектированного шума, как и распределение амплитуд мгновенных знпчений, соответствует простому закону Релея 8 2.12). При подаче такого шума на вертикально отклоняющие пластины при выключенной горизонтальной развертке наблюдается светлая вертикальная черта с несимметричным распределением яркости; наибольшая яркость соответствует паивероятнейшему значению амплитуды. Структура реализаций шума (рис.

3.9) зависит от характера переходных процессов в цепи, с выхода которой снимается этот шум. Чтобы описать структуру, достаточно снять кривую автокорреляг(ионной фцнкнаи шума, например, с помощью схемы (рис. 3.10). В ней предусмотрены: задержка флюктуационного напряжения на произвольное время т; перемножение задержанного и незадержанного колебаний, например, путем встречного включения диодов с квадратичными характеристиками, на которые поданы 'ет + ~2 полусумма и полуразность перемножаемых напряжений ] ~ — — )— — ] ' '] ] = и,и„ ивкооец, терецвекие во времеви, которое приближенно осуществляется с помощью интегрирующей цепи типа ЯС, В результате для каждой фиксированной задержки т недетектированного шума получим величину, которую можно принять за истинное значение корреляционной функции Й (т) = и (1) п (1 — т) = 11гп — и (т') п (1 — т) Ж 1 т Т, о с тем большей точностью, чем больше период усреднения по срав- 1 нению с —.

По заданному распределению спектральной плотности мощноспт помехи Лг,ф корреляционную функцию напряжения стационарного шума, поданного на сопротивление 1 о,и, можно найти из соот- ношения Р (т) = ~ Л', (~) соз 2л~т А'. о Если шум действует в полосе от О до ~м„„со спектральной плотностью Л',, то р( ) Лг ~ агн2гг1макст 2ггГмаис т й (т) = Лг, соз 2и~ с 4 = — ' 6 (т), о где о(т) = ~ е'~ гтгг1.

Последняя обладает свойством ~ 6(т)От=1. (6) Она обращается в бесконечность при т =О и в нуль при т ~ О. лг'с)гг га-г) ,оаа уаулгл" Рис, 3.!0, Схема осциллографического наблюдения корреляционной функции флюктуационной помехи откуда видно, что чем шаре полоса, пгем быстрее ослабляются корреляционные связи помехи (длительность переходных процессов меньше). В предельном случае ~ а„с -г- оо имеем шум с равномерным распределением мощности по спектру. По аналогии с белым светом, такгке имеющим равномерное распределение по спектру, такой шум называют белым.

Корреляционная функция белого шума имеет вид дельта-функции Для отыскания многомерных плотностей вероятности р„(у„ у„...) реализаций дискретов Котельникова (у, = п„у, = и„...) «квазибелого» шума (спектр равномерен лишь в пределах конечной полосы О ( ( ( (мако) существенно установить корреляиионные моменты (ковариаи,ии) отдельных дискрет 7[ 7[ = у (Ы У (1[) = ~ (12 — Ч. Считая, что дискретизация производится в точном соответ[[й — 1 ствии с шириной спектра помехи, имеем 1„— 1[ =, откуда 2[' макс а(п л (к — 1) 72 У[ = Л(о ~макс й1 (Й вЂ” 1) (7) где 2 Рк (Уь) = 1 2[[[о (мако 2п)[[о 1мако 2 ь[ =~/ — е "' . (9) Г Л( 11[1[о Б. ОТНОШЕНИЕ ПРАВДОПОДОБИЯ И КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ОБРАБОТКА КОГЕРЕНТНЫХ СИГНАЛОВ ф 3.6. Отношение правдоподобия и простейший корреляционный обнаружитель для сигнала с полностью известными параметрами Наиболее простой пример вычисления отношения правдоподобия относится к случаю, когда ожидаемый сигнал х((, со) не имеет неизвестных параметров.

Тогда при условии наличия сигнала н помехи принимаемое колебание у(1) отличается от случайного колебания шума на известную функцию х(г, со): 100 изб Таким образом, различные дискреты ([Р2 Ф 1) оказываются между собой некоррелированными, а дисперсия произвольной дискреты может быть найдена как пРоизведение спектРальной плотности )Уо на полосу ( ,.„,. Обратим внимание на то, что здесь размерность спект(врк1 ральнои плотности помехи ~ — ~ = (длс1. При этом дисперсия науч пряжения на сопротивлении 1 ом численно определяется величиной ( ай й[„[„,„,, измеряемой я [дяе гм[ [еяе[ = [, †„~.

Поскольку отсутствие корреляции произвольных величин уа и у, (к ~ 1) при нормальном законе распределения означает их статистическую независимость, используя теорему умножения для плотностей вероятностей, получим Рк (71я 72з ''') Ра (У1) Рк (72) '''з (8) у (1) =п (1)+х(1, а), Дискретные значения у„, соответствующие этому колебанию, удовлетворяют равенствам у),=п„+х)„ где х~ — известные величины (дискретные значения сигнала), 1=1, 2,.... Это значит, что наличие сигнала приводит к смещению распределения величин у), по сравнению со случаем, когда действует одна помеха и у = и„, Аналогично соотношению ((3), ф 3.2)) можно написать Реп (ур у2, ...) = Рп (71 — Х1> 72 — Х2,,). Таким образом, отношение правдоподобия для сигнала с полностью известными параметрами может быть представлено в виде 1()х ~ ) рп(У1 — х1, У2 — х2, ...) (2) Рп (У1 У2 '' ) Используя соотношения [(8), (9), ~ 3.5)1, найдем (у,— х,)'л( (у,— х,)'л( 1(К ~ а)— 2 л( 1 у2 л( 2 е ' е или Сумма же в показателе степени второго сомножителя перейдет в интеграл СО !пп .«~х„ул М= ~ х(1,а)у(1)Ж, (5) л(-» 0 /г который будем называть далее коррелщионныч.