Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970), страница 16

(Третьего решения — «не знаю» — после завершения процесса обнаружения быть пе должно.) Обратим внимание на то, что решения А ~ и А о обозначаются так же, как и условия, но с добавлением звездочки. При обнаружении возможны четыре ситуации совмещения случайных событий «решения» и «условия»: Перечисленным ситуациям соответствуют четыре вероятности совмещения событий, сумма которых равна единице: Р(А~ А1)+Р (Ао А1~+Р(А~ А„)+Р(Ао А) =1. (1) $3.1 1) ситуация 2) ситуация 3) ситуация 4) ситуация А1А, АоА, А~ А, Ао Ао (правильное обнаружение); (пропуск цели); (ложная тревога); (правильное необнаружение).

Каждому ошибочному решению поставим в соответствие некоторую плату — стоимость ошибки г,. (( = О, 1; й = О, 1). Для безошибочных решений эту стоимость условимся считать равной нулю г„= гоо = О. Тогда систему обнаружения можно характеризовать средней стоимостью (математическим ожиданием стоимости) ошибочных решений М (г) = г=го1Р(Ао А1) +г~о Р(А~ Ао) (2) Лучшей из сравниваемых систем обработки можно тогда счи.

тать систему, удовлетворяющую критерию минимума этой стоимости, иначе — критерию минимума среднего. риска. Ввйду того что задание вероятностей наличия и отсутствия целей Р(А,) и Р(А,), называемых априорными (доопытпыми), вызывает практические трудности, затруднителен и расчет вероятностей совмещения Р(Ао А,) и Р(А~ А,), Поэтому при проектировании и испытании реальной аппаратуры переходят к условным вероятностям, являющимся качественными показателями обнаружения при условиях наличия и отсутствия цели. Качественными показателями обнаружения при условии наличия цели являются соответствующие условные вероятности правильного обнаруокения 0= Р (А~ ( А,) = Р (А1 А,) (Р (А,) (3) и пропуска цели О=Р (Ао! А1) = Р (Ао А1) /Р(Ад). (4) Поскольку соответствующие одному и тому же условию А, решения А1 и Ао взаимоисключающие, то 0+0=1.

(5) Р= Р (А1~ Ао) = Р (А1Ао) 1Р(Ао) и правильного необнаружения Р=- Р (Ао~Ао) =Р (Ао Ао) ~Р(Ао) (7) причем Используя приведенные соотношения (3) — (7), выражение (2) для средней стоимости ошибки можно представить в виде г =- со1 Э Р (А1) + г ц~ РР (Ао) г Качественными показателями обнаружения при условии отсут. .

ствия цели являются условные вероятности ложной тревоги или, после замены О=1 — О и простых преобразований, г = го1 Р (А1) [1 — (Π— 1о Р) ) ~1о ~' (А») о— ~«~ Р(А1) (8) (9) где При этом критерий оптимизации обнаружения по минимуму сред- него риска сводится к так называемому весовому критерию Π— 1,Р = гпах. (10) Последний показывает, что по совокупности требований повышения условной вероятности правильного обнаружения О и понижения условной вероятности ложной тревоги Р следует стремиться к увеличению «взвешенной» разности Π— 1,Р.

Множитель |„называемый весовым множителем, зависит от соотношения стоимостей ошибок каждого вида и вероятностей наличия или отсутствия цели в исследуемом участке пространства. Если при одинаковом весовом множителе 1, сравниваются две системы обработки информации, из которых первая является оптимальной, то в силу (10) можно написать О,„, — 1,Р„„) О— — 1,Р, или О,„, ) О + 1,(Р,„, — Р).

Тогда при Р ( Р„„ имеем О,„, ) О или О,„,(0. Это означает, что оптимальный обнаружйтель дает наименьшую вероятность пропуска среди всех обнаружителей, у которых условная вероятность ложной тревоги не больше, чем у оптимального. Данное условие можно припять в качестве самостоятельного критерия оптимальности (критерий Неймана — Пврсона), который, однако, как и весовой, по существу является следствием более общего критерия минимума среднего риска. Допустимые значения условных вероятностей правильного обнаружения и ложной тревоги обычно устанавливают из практических соображений.

Значения условных вероятностей ложной тревоги Р и правильного необнаружения Р задаются обычно для разрешаемого элемента пространства. За определенный интервал времени работы радиолокатор просматривает большое число т таких элементов. Каждый из этих элементов может явиться источником ложной тревоги, непроизводительно загружающим вычислительные устройства обработки информации, либо приводящим к неправильным конечным решениям. Поэтому наряду с вероятностями Р и Р для одного элемента вводятся соответствующие условные вероятности Р и Р„,для совокупности из т элементов.

Условная вероятность правильного необнаружения Р„, (отсутствия ложной тревоги) для совокупности из т элементов по теореме умножения вероятностей независимых событий является произведением т одинаковых вероятностей отсутствия ложной тревоги для каждого из и 86 $3! элементов разрешения. В частном случае, если условные вероятности ложной тревоги для всех элементов разрешения одинаковы, получим (~)т (1 ~)т откуда при Е( — вероятность хотя бы одной ложной тревоги !П для совокупности из и элементов 1 ( 1 Р ) ~ щ Е (11) При т )) 1 величина Р'„„~=Р'.

Поэтому в теории обнаружения радиолокационных сигналов™обычно оперируют с весьма малыми значениями допустимой вероятности ложной тревоги для каждого из разрешаемых элементов Р, „.„= г' „„,/т. Пусть в течение длительности цикла обзора, равной 10 сек, просматривается и = 10' раздельно разрешаемых элементов пространства. Тогда, задаваясь, например, допустимым значением условной вероятности ложнойтревоги Р „, = 10 — ' —:10-' (хотя бы один раз за весь цикл обзора), найдем, что допустимое значение условной вероятности ложной тревоги в каждом разрешаемом объеме будет Р~,„= 10 — ~ —:10-'. Это значит, что если оператор принимает решение о наличии цели по пачке импульсов, образующих «дужку» на экране индикатора, то вероятность образования ложной отметки, близкой к «дужке» и проходящей через данную точку экрана, не должна быть выше 10-6 —:10 — '.

Естественно, что отдельные шумовые выбросы на экране могут при этом появляться со значительно большей вероятностью. Подобное встречается и при автоматизированной обработке, в том числе с использованием электронных цифровых вычислительных машин. В последнем случае отсеивание излишне большого числа ложных тревог в отдельных периодах повторения импульсов производится не оператором, а машиной, в результате может быть обеспечена условная вероятность ложной тревоги менее заданной величины Р„„„например Р „, = 10 —" —: 10 — 8 для всегосигнала (пачки импульсов) в целом. Допустимое значение условной вероятности ложной тревоги для этого сигнала может быть повышено, если производительность вычислительной машины достаточно велика и обеспечивает в дальнейшем отсеивание ложных отметок при завязке трасс целей.

Вероятность правильного обнаружения Р стремятся сделать возможно большей, что особенно трудно обеспечить, когда цель находится на значительном удалении и энергия отраженных сигналов крайне мала. Границу зоны обнаружения радиолокатора определяют величиной предельной дальности, на которой условная вероятность пропуска за один цикл обзора не более некоторого допустимого значения Р„,„.

Обычно принимают Р„,„ = 0,05 — : †: 0,5, т. е. Р „„, = 0,95 †. 0,5. В некоторых случаях требования к 5 Зл 87 радиолокатору повышаются: принимают О„,„= 0,01 —:0,0001, т. е. О„„„= 0,99 —:0,9999. Из изложенного следует, что основными качественными показателями радиолокационного обнаружения являются условные ве. роятности аровильного обнаружения О и ложной тревоги Р. В пределах зоны обнаружения должны обеспечиваться требования Р ( Р„,„, О ) О„„,. Использование условных вероятностей Р и О позволяет вести необходимые расчеты при отсутствии данных об априорных вероятностях Р(А,) и Р(А„). Величина 1„связанная с этими вероятностями, как будет показано ниже, не влияет на структуру оптимальной обработки, а выбор параметров схемы обработки может быть произведен по допустимому значению условной вероятности ложной тревоги г.

В дополнение к изложенному дадим еще два примера оценки величины О. Для протяженных целей, которые могут занимать несколько (т) разрешаемых объемов, справедлива формула, аналогичная точной части равенства (11), Π— 1 (1 О)~л когда О ) О. Однако такой случай встречается крайне редко. Чаще ставится задача не пропустить ни одну из а целей. Вероятность противоположного события, а именно, пропуска хотя бы одной цели — составляет О„= 1 — О". При условии, что эта вероятность менее допустимой О,( -'О,„„, получим л О>$~ 1 — О„„„ Например, при О„ „„ = 0,01 и а = 100 требуемое значение ~0О о,о! О > 1/ 1 — 0,01 = 1 — †', = 0,9999, что согласуется с приведенными выше данными. ф 3.2. Простейший пример оптимизации обнаружения Пусть имеется стрелочный прибор, показание которого характеризуется числом у (рис.

3.1). На прибор поступает либо сумма напряжений сигнала х и помехи а, так что у = х + а, либо одно напряжение помехи у = а, т. е. у=а+Ах, (1) где неизвестный дискретный параметр А принимает значение 0 или 1. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы по измеренной величине у дать оценку этого параметра А~, оптимальную с точки зрения критерия минимума среднего риска или эквивалентного ему весового критерия. Ьф Ф з.в 'а"® л~„®=ь|-~) Уа Ь~ У Рис.

3.2. Условные плотности вероятности рп(у) и рео(д); график одной из воз»ножных решающих функций А*(у) Рис, 3.1. Простейший стрелочный обнару- житель 89 Считаем, что величины х, у и п за время наблюдения не меняются. Ожидаемое значение сигнала х точно известно. Закон распределения случайной величины п также известен; далее его будем считать нормальным (гауссовым). На рис. 3.2, а показаны плотности вероятности случайной величины д при условиях отсутствия сигнала А = А, = О и его наличия А = А, = 1: р(у'(А,)=р„(у), р(д~А,)=р,.(у).

(2) Здесь индексы «п» и «сп» указывают на различие математических выражений рв(у) и р,„(д) при наличии одной помехи и наличии сигнала с помехой. Кривая' р„,(у) сдвинута по отношению к кривой р„(д) на постоянную величину х. Математически это можно записать так: р„(д) = р„(у — х). (3) Любое закономерное решение задачи обнаружения может быть описано решаюи(ей функцией А* = А*(д), которая в зависимости от реализации у принимает одно из двух значений: О или 1. График одной из возможных решающих функций (не обязательно оптимальной) приведен на рис.