Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970), страница 19

ф 3.6 1 2 2 — — ~~)~~х2 Л( — ~ х У~ Л( 1(г'1а) =е ' е (3) Выражение (3) определяет искомое отношение правдоподобия для сигнала с полностью известными параметрами и помехи в виде квазибелого шума. Оно допускает простой предельный переход к случаю белого шума, когда ~„„„е -)- оо, а И -+ О. При этом сумма в показателе степени первого сомножителя перейдет в интеграл, численно равный энергии ожидаемого сигнала, 11п) ~~у' ,х' Л~ = ~ х2 (~, а) су =.--) (а).

(4) л(-о ) Ф А =У еелиг>га А =десжгсгд Рис. 3.11. Структурная схема простейшего корреляцион- ного обнаружителя Окончательно отношение правдоподобия может быть представлено в виде 1(у (г) ! а) е — э(анно е2г(а1/Фо (6) где Ф, — спектральная плотность шума; 3(а) — энергия ожидаемого сигнала и г(и) — корреляционный интеграл г (а) = ~ х (1, а) у (1) Ж = г [у (() ~ а).

(7) .т(г) у(с) п(т) у(г) = л(г'1. г(г1 уят(~) =ряс гтрк Й6 (Ц)г(ц =в(т1г(г) а~ б/ Рис. 3.12. Пояснение корреляционной обработки 102 $3.8 Таким образом, отношение правдоподобия является монотонной функцией корреляционного интеграла, который с целью принятия оптимального решения может быть рассчитан по принятой реализации у(г) для любого фиксированного параметра а, например для заданной дальности. Сравнение отношения правдоподобия с порогом 1, эквивалентно сравнению корреляционного интеграла с соответствующим порогом г, (аналогично рис. 3.3): г, = г, (а) = — ' 1п 1, (а) + — Э (а), 2 2 т.

е. оптимальный обнаружитель должен вычислять корреляиионный интеграл (7) и сравнивать его с порогом. Структурная схема простейшего по принципу действия обнару- жителя сигнала с полностью известными параметрами представлена на рис. 3.11. Она состоит из умножителя, интегратора и порогового устройства (ограничителя по минимуму). На умножитель подается опорное колебание х(1, а), соответствующее ожидаемому сигналу, и принятый сигнал у(1). Непосредственное интегрирование произведения х(1, а) у (1) дает корреляционный интеграл.

Такой обнаружитель называется корреляиионным. Величина корреляционного интеграла сравнивается с порогом г, порогового устройства. Уровень порога подбирается так, чтобы вероятность Р ложного превышения порога была не больше допустимой. Опорное колебание х(~, а) может вырабатываться специальным гетеродином в зависимости, например, от установленного времени запаздывания а, пропорционального дальности до цели. Опорный сигнал может получаться также непосредственно от передатчика радиолокатора через линию задержки на время я. Физический смысл корреляционной обработки поясняется на рис. 3.12, а и б, где показаны ожидаемые колебания х(1) = х(1, а), принимаемые колебания у(1) = п(1) при отсутствии сигнала и у(1) = п(1) + х(1) — при его наличии, а также проиллюстрирован результат перемножения функций х(1), у(1) и интегрирование за время существования опорного сигнала (для разных реализаций д(1)].

Считается, что помеха имеет полосу, существенно большую, чем сигнал, что согласуется с исходными предположениями при выводе формул (6), (?). При отсутствии сигнала произведение х(1)у(1) соответствует знакопеременным колебаниям помехи, которые промодулированы опорным колебанием х(1). При наличии сигнала наряду с шумовой составляющей х(1)п(1) будет сигнальная х'(1), которая при интегрировании подчеркивается по сравнению со знакопеременной шумовой составляющей. Распределение плотно- Лл(г) сти вероятности р„(г) ве- РспЫ=~а(г 4 личины г, соответствую- 2т щее отсутствию сигнала (рис.

3.13), при его наличии сдвигается на ~хв(г)ат— 0 Е„Э Е = Э, За счет этого сдвига при достаточной энергии Рн' 3.13. Кривые распрелеленпя плот- ностей вероятности величины коррелясигнала мОжнО пОлучИТЬ ционного интеграла а при отсутствии сиг- ТрЕбуЕМуЮ уСЛОВНуЮ ВЕ- НаЛа рп(а) И Прн ЕГО НаЛИЧИИ рвп(а) в 3,6 )Оз роятносгь правильного обнаружения П для допустимого значения условной вероятности ложной тревоги Р, определяемой установленным уровнем порога г,, Поскольку практически приходится вести обнаружение сигналов со случайными неизвестными параметрами (начальной фазой, амплитудой и т.

и.), полученные результаты должны быть обобщены и распространены на этот случай. $ 3.7. Методика определения отношения правдоподобия для сигналов со случайными нефиксируемыми параметрами Совместную плотность вероятности реализации сигнала и помехи, и случайного нефиксируемого параметра сигнала р можно представить в виде Рп„(У, 1) =Рпп(У) Р(1~ 0) =Р Ф)рпп(У~0).

(1) Интегрируя (1) по параметру р во всей области его определения и замечая, что независимо от условия (вида реализации К) всегда ~ Р(Р(1'? Ф=1, (()) находим рп. (У) = ~ р (р) Р,. (У ~ р) Ф Тогда отношение правдоподобия 1()')='"'",~, = ~ р(р)1()'~1) Ф, (2) где 1(у ~ р? Рпп () ( Р) Рп ()') Вводя наряду с нефиксируемыми параметрами р' фиксируемые а, совершая предельный переход И вЂ” )- О, т.

е. переходя от многомерных реализаций 1' к реализациям в виде функций ()(1), можно полу- чить 11у(1) ~я)== ~ р(р)1(у®~а, р)((р, (() ) (4) где 11 (~) ~ р) 1 Рпп( ~ 1)) (5) м и Рп(У) — частное отношение правдоподобия при фиксированных значениях а и р. Поскольку при каждой такой фиксации сигнал полностью из- 104 $ 3,7 вестен, используя формулу [(6), ~ 3.6), находим частное отношение правдоподобия в виде г (а, р) =- ~ х (1, а, р) у (1) Ж, (7) (8) Таким образом, методика определения отношения правдоподобия для сигналов со случайными нефиксируемыми параметрами по принятой реализации у(1) сводится: 1) к вычислению корреляционного интеграла, энергии ожидаемого сигнала и частного отношения правдоподобия при фиксированных параметрах а и р; 2) к усреднению частного отношения правдоподобия по случайному нефиксируемому параметру (или совокупности параметров) р. ф 3.8.

Отношение правдоподобия и простейшие корреляционные обнаружители для когерентных сигналов с нефиксируемыми случайными параметрами Когерентными называют сигналы с закономерной фазовой структурой, однако начальная фаза р радиолокационного сигнала обычно является неизвестной случайной величиной. Опуская пока для краткости записи фиксированный параметр а, считая известной амплитуду, модель такого сигнала представим в виде х (1, р) = Х (1) соз |в ~+ 1~ (1) — р1 х (1, Р) =- х, ф соз р+ х., (1) 81п р, (2) где (3) Тогда частное значение корреляционного интеграла 1(7), $ 3.7] приводится к виду г 1у (~) ~ р1 = г, соз р + Я~ з1п р = Е соз (р — 0), (4) 105 ф 38 э[а,~3> 2г(а,Д) l(у(1)~а, Щ=е н е н (6) где г(а, р) и Э(а, р) — частные значения корреляционного интеграла и энергии сигнала для фиксированных значений параметров а и где (5) (6) соз 0 = — ', 21п О =- — '. (7) г ' г' Что касается частного значения энергии, то для сигнала, содержащего большое число периодов колебаний, оно от р не зависит, т.

е. З(р) = Э. Учитывая, что все случайные начальные фазы равновозможны, полагаем их распределение равномерным в пределах от О до 2л с 1 плотностью вероятности р(р) = —. Определяя математическое ожи2л дание частного отношения правдоподобия в соответствии с 1(4), (6), ~ 3.7), находим — соя(р — 01 2п 22 1(у(1)) =е " — ~ еч' ((р 2л,) о или, вводя модифицированную функцию Бесселя первого рода ну- левого порядка 1,(и) и восстанавливая опущенный параметр а, имеем Э(а1 — — 22(а) ~ ° 11уф)а!=е а („( — ~, 1((о (8) где 2(а) — модульное значение корреляционного интеграла, опре- деляемое для принятой реализации у(Е) с учетом фиксированного параметра а: 2(а) =2. (у(1) ~а) =~/ 221 (а)+2~~(а).

(9) х, (~, а) = ~ ~Х(1, а) е'"'~, (1гп 21 2 (а) = (~(а)) 1 Ке (10) 1ОГ Термин модульное значение корреляционного интеграла может быть дополнительно пояснен, если представить в комплексной форме выражения: х (1, а, р) = йе ((Х (1, а) е" ' а1~, где Х(1, а) = Х(1,а)е'г~ '~~. Тогда величина Л(а) оказывается рав- ной модулю комплексного интеграла: СО Я(а) = ~ Х (1, а) е'"" у (1) ггг. СЮ Представим далее у(1) в виде у(1) =-Ке ~ К(1) е'"'~ = — К(1) е' '+ — Г*(1) е ' " (12) и учтем, что на практике после преселектора колебания сигнала и помехи имеют полосу частот, существенно меньшую несущей, так что функция У(г) является медленно меняющейся за период высокой (промежуточной) частоты.

Пренебрегая интегралом, в котором подынтегральное выражение содержит быстро осциллирующий множитель ен2'" '+® = соз(2ьг,1+ г)г) + 1'з)п(2а,Г+ г)г), получим У(а) =- — 1 Х (1, а) К* (1) ггг. 2,1 (13) Таким образом, для сигнала с неизвестной начальной фазой отношение правдоподобия является монотонной функцией модульного значения корреляиионного интеграла: У (а) =-1Я (а) / = ~.Г (а) !. (13а) Наряду с неизвестной начальной фазой когерентный сигнал может иметь неизвестную амплитуду х(1, р, В) =ВХ(1) сов [ьг, 1+гр(1) — р). Для него частное отношение правдоподобия при фиксированном В будет равно цу <г~~ в~ = е — <"ц г„ [ " '~~ ), (14) з=-з„.„=- ~ з(в) р(в)йв. (15) где 7(В) =ВУ, З(В) =ВгЗ; 3 и 7 — энергия и модульное значение корреляционного интеграла, рассчитанные по ожидаемому сигналу, соответствующему В =1. При этом величину 3 выбИраем равной средней энергии Рис. 3.14.

Схема корреляционного обнаружителя с двумя квадратурными каналами Задаваясь релеевским распределением амплитуд )ч — в2)дв2 р(В) = — е д2 о (16) и используя табличный интеграл ! хне — ~х с1х 21) 2 о (т = 1)2Воо), из принятого условия (15) находим Воо = 1)'2. Усредняя частное отношение правдоподобия (14) в соответствии с принятым законом распределения 16) и используя табличный интеграл х 7, (ггх) е — "' с(х = — ен')"' 1 2~ (р,=2ВУ/Ж,, ъ=1+ Э/Л',), получим окончательно ! Е' (а) ) 1)! (~))ег)1 — О м, э (а) + но ~ (~)+л)о (17) Это показывает, что и для когерентного сигнала с неизвестными ампл),тудой и начальной фазой отношение правдоподобия является монотонной функцией модульного значения корреляционного интеграла У(а), как и в случае, когда неизвестна только начальная фаза.