Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970), страница 12

Посколькух,.х;=0 при (+1, то среднее значение эффективной поверхности сово- купности элементов первой модели Согласно предельной теореме Ляпунова случайные величины х и у для обеих моделей имеют нормальные законы распределения с плотностями вероятности (к — х,)' ( у ио)' р(х) = е '~ р(у) = е )72лВ 'г' 2пР где 0 = (~х„1 =1~(у„) = — — дисперсия ортогональных со. ставляющих амплитуд р и р.

Поскольку величины х и у независимы, их двумерная плотность вероятности р(х, у) опрЕделяется как произведение одномерных: (х — х, )'-+ (у — у,) ' р (х, у) = р (х) р (у) = — е Переходя от прямоугольной системы координат к полярной (х = р соз (р, у = р яп (р), получим двумерную плотность вероятности в виде р (р, (р) = р (х, у) д(р, р) ' 1аЫ о г 5 ~ и Рис, 2.26, К выводу законов распределения вероятностей амплитуды отраженного сигнала и аффективной поверхности $ 2Л2 Рис, 2,27. График модифицированной функции Бесселя первого рода нулевого порядка б1 где ох 1 д(х, у) ~ дР д«Р ( д (р, «р) 1 оу ду др дф сов«р — р з(п ф = р, зшф рсоз«р или О ро, Я р —, — 'о сов («р — «р,) р(р, «р) = — е '"" е" 2д0 Одномерная плотность вероятности амплитуды отраженного сигнала 2л п«с«= ( Р(с, «( «с ! сводится к обобщенному закону Релея: о2( о2 о Р(Р) = — "' е 2о ~о( "О«'1 0 ',О/ (2) где (2а) (и) ) ео со««(«Р — «РЛ дф 1 о о — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, график которой показан на рис.

2.27. Для частного случая первой статистической модели, когда доминирующий сигнал отсутствует (р, = 0), 1о (РОР') = 1 и плотность вероятности амплитуды р определяется простым (необобщенным) законом Релея: р2 р р р)= — е 0 (3) $ 2.12 62 Соответствующие выражениям (2) и (3) кривые плотности верор ятности относительной амплитуды = результирующего сигнала 1 0 приведены на рис.

2.28, а. С ростом р, кривые смещаются вправо. ро При = )~ 1 закон распределения близок к нормальному с т0 дисперсией 0 и средним значением р,. Переходя к плотности вероятности аффективной поверхности р(о), воспользуемся выражением р (о) = р (р) — з ««р ((о др ) где р= )' о и — — =, . Тогда, подставляя (2) в '4) и учиты- до 2 )~'о пп вая, что 0= —. плотность вероятности эффективной поверх- 2 ' ности при наличии доминирующей блестящей точки получим в виде о+во р(о) ', ( У а при ее отсутствии о р (о) =- — е ов (6) ох Соответствующие выражениям (5) и (6) кривые плотности вероятности относительного значения эффективной поверхности о/о, где о =о,+о, приведены на рис.

2.28, б. Видно, что при ов/оп)~ 1 имеет место нормализация распределения о. 'Ю г З " б,д а) п~ пг г~ у гю б( 6 Рис. 2.28. Законы распределения вероятностей: амплитуды отраженного сигнала (а), аффективной поверхности цели (б) 62 Рис, 2.29. Плотность вероятности эффективной поверхности для модели группового вторичного излучателя при а~ = ог = = 0,5о Зная плотность вероятности р(о), можно найти закон распределения Р(а)=Р(с с., о).

В частном случае первой модели Р (а) =Р (с<" о) = 1 — е Для этой модели среднее значение о = а, а Р(о) =0,63. С р е д и н н ы м называют значение, для которого После преобразований имеем о,в, и„/о =!д2~1де=0,7. откуда для рассматриваемой модели Законы распределения о могут заметно отличаться от приведен. ных, если цели имеют небольшое число блестящих точек. Для получения законов распределения в этом случае можно использовать эксперименты на моделях, размеры которых и длина волны пропорционально уменьшены. Чтобы предупредить излишнее обобщение изложенных выше результатов на цели с малым числом блестящих точек, рассчитаем плотность вероятности р(о) для модели группового вторичного излУчателЯ (9 2.3) пРи а, = оа = 0,5о. СчитаЯ вЂ” )) 1, а значение 4п взаимного фазового запаздывания гр = — 1 з(п О равновероятным на интервале О( гр.с гг, перейдем к закону распределения р(о): $2.12 где Для значений о в пределах 0(о(2а окончательно получим что соответствует кривой плотности вероятности (рис.

2.29), су щественно отличающейся от экспоненты или гауссовой кривой. $ 2.13. Энергетический спектр и автокорреляционная функция флюктуаций отраженного сигнала Полученные выше законы распределения вероятностей случайных величин — амплитуды отраженного сигнала и эффективной поверхности цели, еще в очень малой степени характеризуют трансформацию протяженного сигнала, отраженного от движущейся цели.

Последняя определяется случайным процессом изменения во времени модулирующего множителя В(1) [(7), ~2.10). Считая этот процесс стационарным, эргодическим со средним значением, равным нулю, вводят: — ненормированную автокорреляционную функцию модулирующего множителя г(т) =М(В«)В*И вЂ” тц = 1 =1)гп — В 1) В*(1 — т1аг, т о где Т вЂ” интервал усреднения (при практических оценках он выбирается конечным, но достаточно большим по сравнению со средним периодом флюктуаций Тф ); — нормированную автокорреляционную 4ункцию модулирующего множителя р(т) =— Р (т) Я (О) ' — спектральную плотность (энергетический спектр) модулирующего множителя, ненормированную или нормированную, являющуюся преобразованием Фурье от одной из этих функций, например Бф = 1 ю(т)е — """Йт" Рис. 2,30.

Энергетические спектры: колебания частоты модулированного флюктуационным процессом (а), случайно- го модулирующего множителя (б) еЯ ( Рис, 2.31. Пример распределен ия мощности по час- тотам флюктуаций Энергетический спектр Ъ()) можно определить и непосредственно, основываясь на энергетическом спектре принимаемых колебаний 5„р(1). НапРимеР, длЯ движУщейсЯ цели, облУчаемой монохРоматическим колебанием частоты ~, в соответствии с ~ 2.10 спектр 5„р (1) имеет сРеДнюю частотУ ~, =~„— Рд„р и шиРинУ Л Р„= диапазоном изменения допплеровских частот, В свою очередь„ смещая этот спектр на ~, (рис.

2.30) можно получить спектр за=а„рЧ+~,).* Гели в пределах полосы ЛР в качестве примера положить 3(~)=5,=сопз( (рис. 2.31) то ЬР 2 Я(т) =Й(т)= ~ 5(~) ЕЛ"'тф= 5, ~ Е12п(т СЦ тс (О) = 5 АР „а ~ р(т) ) = р (т) = панга т * В отличие от обозначений комплексной амплитуды напряжения Ц(1) и множителя при ней В(1) обозначения спектральных плотностей мощности Вф, напряжения й(~), комплексной амплитуды напряжения 6®, а также частотной характеристики цепи К(~) набраны в книге светлым шрифтом.

66 э 2.13 Кривая р(т) для рассматриваемого случая представлена на рис. 2.32. Интервал времени, характеризующий ширину пика ! автокорреляционной функции, например т, =, может быть я назван временем корреляции. Время корреляции связано с шириной энергетического спектра модулирующего множителя обратно прспорциональной зависимостью. В случае сильной статистической связи последовательных значений сигнала имеет место узкий спектр флюктуаций и наоборот. Для реальных целей энергетический спектр модулирующего множителя отличается от прямоугольного (рис. 2.31), а автокорре япт ляционная функция — от полученной при расчете функции — —. х Автокорреляционная функция может быть теоретически рассчитана и непосредственно на основе статистической модели цели и принятого закона ее движения.

Например, для вращающейся по окружности системы хаотически расположенных блестящих точек, расстояние между которыми намного больше длины волны (приложение 1), вместо — получим I, (х), где по-прежнему х = лЛР„т, а 1, (х) — бесселева функция первого рода нулевого порядка. в1п х близкая по форме к —. х Функции автокорреляции широко используются при анализе влияния флюктуаций на обнаружение и измерение параметров радиолокационных сигналов, в частности когда определяются угловые координаты цели. Пусть цель облучается отдельными сериями (пачками) радио. импульсов (рис.

2.33, а), повторяющимися через время обзора , ~~ те; каждая серия продолжается в течение времени облучения цели 1,о =т, и состоит из импульсов длительностью т„~( т, с периодом следования Т. Поскольку ~овв )) т,„то флюкту- Рис, 2.32. Лвтокорреляционная функция случай- ного модулирующего множителя Рис. 2.33. Пояснение практического использования авто- корреляционной функции для оценки влияния флюктуаций ации соседних пачек импульсов некоррелированы, а сами пачки могут значительно отличаться по амплитуде.

Ввиду того, что 1,ол =- та, амплитуды в начале и в конце пачки коррелированы в данном случае слабо, т. е. весьма вероятно их отличие. Так как т„~~ т„существенные искажения формы каждого импульса маловероятны. Для принятых предположений искаженный сигнал имеет вид (рис. 2.33, б). Если в отличие от предыдущего 1оол ~. т„то искажения формы пачек незначительны. Уже из приведенного примера следует, что наряду с функцией корреляции Я(т) модулирующего множителя, характеризующего нестабильность во времени всей высокочастотной структуры сигнала, в ряде*случаев может потребоваться ненормированная Рл(т) или нормированная рл(т) функиия корреляиии одних только амплитуд, что представляет интерес при анализе колебаний после детектора.

Функцию ттл(т) можно определить из выражения Ил (т) = М ДА (1) — А (1)1 ) А (1 — т) — А (~ — т)~ ), где А(1) = )В(~)) — амплитуда, а А(1) = М )А(1)) — ее матемагическое ожидание (среднее значение). При этом с точностью до единиц процентов для гауссовых процессов оказывается, что р„(т) = ~ р (т) ~', откуда следует, что время корреляции амплитуд практически такое же по порядку, но несколько меньше (примерно в 1,5 раза) времени корреляции модулирующего множителя В(1).