Диссертация (Исследование импульсно-периодического излучающего разряда высокого давления в парах цезия), страница 10

В таких разрядах, благодаря большойскорости столкновительных процессов, электронная компонента находится в состояниилокального термодинамического равновесия (ЛТР), т.е. имеют место распределениеМаксвелла и соотношения Саха-Больцмана, выполняющиеся при температуре электронов Те .В этих условиях уравнение переноса излучения вдоль заданного направления  (см. рис.2.3) при отсутствии рассеяния света имеет вид [70]:I   k I P  I   .s(2.7)О'BOθψCAerРис. 2.3.

Геометрия плазменного столба:  – вектор единичной длины в направлениираспространения излучения; er – вектор единичной длины в радиальном направлении.57В уравнении (2.7) s – координата вдоль светового луча, отсчитываемая от точки В наповерхности цилиндра вглубь плазмы, I  – спектральная интенсивность излучения c длинойволны λ , IλP = 2hc2λ-5[exp(hc/ λkBTe)-1]-1 – равновесная (планковская) спектральнаяинтенсивность, с – скорость света в вакууме, h – постоянная Планка, k'λ – коэффициентпоглощения плазмы (2.1).В условиях аксиально-симметричной плазмы все величины в (2.7) зависят только отодной пространственной переменной r: Te = Тe(t,r), k'λ = k'λ(t,r), I   I  (t, r, ) .

Длякраткости записи, временнýю переменную t далее опускаем. Несмотря на относительнопростой вид уравнения (2.7), расчёт теплообмена излучением (особенно в нестационарныхслучаях) остаётся самой трудоёмкой частью задачи моделирования излучающих разрядов.Это связано с тем, что даже в условиях аксиально-симметричной плазмы функция Iλ зависитот пяти аргументов:  , t , r , ( , ) . Соответственно, для расчёта теплообмена излучениемнеобходимо для каждого момента времени в каждой точке вдоль радиуса для всевозможныхдлин волн решить уравнение переноса излучения вдоль лучей  , имеющих произвольныенаправления.Проблеме расчёта радиационного теплообмена посвящено большое число работ.Классификацию существующих подходов можно найти, например, в [71]. Усилия,направленные на решение проблемы расчёта радиационного теплообмена, традиционнососредоточены на двух направлениях. Во-первых, для сокращения объёма вычислений частоиспользуются различного рода приближения.

Среди них отметим метод объёмныхкоэффициентов излучения “NEC” (net emission coefficients), впервые предложенный в [72] иразвитый в [73-75]. Эти коэффициенты фактически представляют собой дивергенцию потокаизлучения в центре сферической однородной плазмы радиусом R, проинтегрированную повсей спектральной области: N   k  I P exp  k  R d .0В реальных условиях плазма не является сферически симметричной, и в качестве Rиспользуют некоторый характерный размер плазмы, например, радиус проводящего каналадуги. Это метод даёт качественно верные результаты только для центральной, горячейобласти плазмы и принципиально не может служить для описания разогрева излучениемвнешней холодной области, где дивергенция потока излучения отрицательна.Среди других методов отметим метод парциальных характеристик PCM (partialcharacteristics method), описанный в [76-78].

Этот метод основан на предварительном58вычислении источников и стоков радиационной энергии в отдельных ячейках области,занимаемой плазмой, как функции размеров ячеек и температуры на их границах. Крометого, отметим метод усреднения коэффициента поглощения MAC (mean absorptioncoefficient) по небольшому числу (обычно не более 10) отдельных областей спектра [79-81].Второе направление решения проблемы переноса излучения включает в себя методы,основанные на непосредственном решении уравнения переноса излучения.

Среди нихотметим метод дискретных ординат DOM (discrete ordinates method) [82-85], как наиболеечасто используемый. Этот метод предполагает разбиение полного телесного угла намножество дискретных направлений и интегрирование уравнения переноса излучения вдолькаждого из них. Отметим, что DOM является достаточно трудоёмким методом и по этойпричине используется только в случаях стационарной плазмы.Ниже излагается метод прямого интегрирования (МПИ) уравнения переноса излученияразработанный специально для расчёта радиационных характеристик в аксиальносимметричной нестационарной ЛТР плазме [А15,А19,А24,А28].

Разработка такого подходасвязана, прежде всего, с тем, что в ИПР высокого давления в цезии излучение являетсяосновным механизмом переноса энергии в плазме. Поэтому для его описания необходимыметоды расчёта, обладающие контролируемой точностью и высокой эффективностью. Крометого, разработка метода прямого интегрирования опирается на постоянно растущиевычислительные мощности компьютеров, которые позволяют уже в настоящее времяпроводить вычисления радиационных характеристик на основе уравнения переносаизлучения без каких-либо упрощений.

От прямого метода дискретных ординат (DOM) МПИотличается тем, что интегрирование по одной угловой переменной удаётся выполнитьаналитически, а для остальных интегралов предложена эффективная численная методика.Расчёты, выполненные в этой главе с помощью МПИ, сравниваются с результатами,полученными в рамках диффузионного приближения [A31] и асимптотическими формуламидля теплообмена излучением в линии [A29]. Расчёты проведены для столба плазмы,возникающего в условиях, характерных для импульсно-периодического разряда (ИПР)высокого давления в цезии.2.4.

Метод прямого интегрирования (МПИ)Интегрируя уравнение переноса излучения (2.7) вдоль заданного направления  можнозаписать его решение в интегральной форме:59I  ( s, )  sds .k(s)I(s)expk(s)ds  P  sB ssЗдесь sB – координата точки В, лежащей на поверхности плазменного столба разряда (см.рис. 2.3). Введём новую переменную l = (sA-s')cos. Это позволяет заменить интегрированиевдоль произвольных лучей  , интегрированием вдоль проекций этих лучей в плоскости,перпендикулярной оси разряда. В результате последнее соотношение приобретает видI  (r , , ) lW0 ldl k  I P exp    k  (l )cos 0 dl. cos(2.8)Здесь интегрирование выполняется вдоль отрезка АС по направлению от точки А к точке С.Углы  и  задают направление луча интегрирования (см.

рис. 2.3), r = OA – расстояние отточки A, в которой вычисляется Iλ , до оси разряда OO', θ – угол ОАС в поперечном сечениистолба, lW = АС = ABcosψ, lW = lW(r,θ) = rcosθ + (R2 - r2sin2θ)1/2 , R – радиус столба плазмы.Через спектральную интенсивность излучения в плазме выражаются все её спектральныерадиационные характеристики [70]: плотность потока лучистой энергии (размерность Вт/м3)F   I  d ,(2.9)( 4 )объёмная плотность энергии электромагнитного излучения Uλ (размерность Дж/м4)Uλ 1I  d ,c ( 4 )(2.10)объёмная мощность радиационных потерь энергии Wλ (размерность Вт/м4)W  divF .(2.11)Подставим решение (2.8) в соотношения (2.9)-(2.11) и воспользуемся аксиальнойсимметрией столба плазмы.

Тогда для радиационных величин получаем следующиевыраженияFλ  /214U λ   I  d   d  dc ( 4 )c00W  /2  k dl  dl ,eId4dcosdcoskIexprP  cos 000 0( 4 )lW01 rF   ck U P  U   .r rlWl ldl  k I P exp    kdl ,cos 0(2.12)(2.13)(2.14)Здесь Fλ – радиальная составляющая потока энергии, U P  4I P / c – равновесная(планковская) плотность энергии излучения. Первое слагаемое в правой части (2.14)60определяет радиационную энергию, излучаемую из единицы объёма, а второе –поглощаемую в единице объёма в окрестности точки r в единицу времени. Отметим, чтосоотношение (2.14) можно получить, проинтегрировав по всему телесному углу исходноеуравнение (2.7). Отметим также, что из (2.14) следует соотношение, позволяющее находитьрадиальный спектральный поток Fλ , используя значения Wλ :r1F (r )   r W (r )dr  .r0(2.15)Значения полных величин F, U и W в настоящей работе находятся прямым (численным)интегрированием по длине волны:F (r )   F d ,U (r )   U  d , W (r )   W d .(2.16)Число используемых для интегрирования точек определяется сложностью спектрапоглощения и необходимым уровнем точности результата.Для дальнейшего преобразования выражений (2.12)–(2.14) удобно ввести новуюпеременную τ и специальные функции Gn(τ), определяемые соотношениямиl /200   k (l )dl  и Gn ( ) d cos n  exp   cos , n ≥ 0.(2.17)Отметим здесь свойства Gn, которые понадобятся при дальнейшем рассмотрении задачи.Прежде всего, для этих функций имеет место рекуррентное соотношениеdGn/dτ = –Gn-1(τ).(2.18)Кроме того, приведём здесь асимптотические выражения для Gn(τ) при больших и малыхзначениях аргумента:Gn ( )  Gn (0)  Gn 1 (0)  O( 2 ) , n  1 при τ << 1 ,Gn ( )   1e 1 2 25 1  n    O  2  , n  0 при  >> 1.4  (2.19)(2.20)Здесь n  1  2 Gn (0) .2 n   12 (2.21)Приведём значения Gn(0) для небольших n: G0(0) = π/2, G1(0) = 1, G2(0) = π/4, G3(0) = 2/3,G4(0) = 3π/16.