Диссертация (Исследование импульсно-периодического излучающего разряда высокого давления в парах цезия), страница 12

рис. 2.5). это значит, что функция G2 ( W )возрастает с увеличением θ. Поэтому интервал π/2 < θ < π , где cosθ < 0 , вносит бóльшийвклад в значение интеграла и итоговое значение Fλ(r) всегда положительно.Наиболее интересными с практической точки зрения являются спектральные значенияпотока энергии F (R) , выходящего с поверхности столба плазмы, значения на оси разрядаплотности энергии излучения U  (0) и объёмной мощности потерь на излучение Wλ(0):67F ( R)  FP 1 (2 R ) ,  1 (2 R )  1 4 /2 d cosG2 (2 R cos ) ,0U  (0)  U P 2 ( R ) ,  2 ( R )  1  G1 ( R ) ,W (0) (2.46)сU P 3 ( R ) ,  3 ( R )   RG1 ( R ) ,  R  k R .RЗдесь функции ψ1 и ψ2 описывают отклонения радиационных характеристик от равновесныхвследствие конечности оптической толщины столба плазмы (см. рис. 2.6а).

Функция ψ3 (см.рис. 2.6б) характеризует эффективность излучения энергии приосевой областью.1,00,310,8(a)0,220,630,4(б)0,10,20,00,0012R34012R345Рис. 2.6. Зависимость от радиальной оптической толщины:а)  1  F / FP и  2  U  / U P ; б)  3 .Как видно из рис. 2.6а, значения F (R) и U  (0) приближаются к равновесным уже призначениях радиальной оптической толщины τR порядка единицы. Зависимость ψ3(τR) имеетнемонотонный характер: эффективность излучения из приосевой области имеет максимумпри оптической толщине τR = 0,82. Это необходимо учитывать при использованииплазменного столба в качестве источника излучения.Приведём здесь также асимптотики выражений (2.46) для случая оптически тонкойплазмы, которые будут полезны при проведении различных оценок в последующих главах:F ( R ) 4 R ( ) FP (T ) , U  (0)   R ( )U P (T ) , W (0)   R ( )сU P (T ), τ << 1.R(2.47)682.7.

Теплообмен излучением в линииВ газоразрядной плазме часто реализуется ситуация, когда среда оптически прозрачнадля непрерывного излучения, но является оптически плотной для излучения в центре линии.В этом случае формулы (2.12)–(2.14) становятся аддитивными относительно коэффициентовпоглощения k( ff ) , k(bf ) , k(bb) и потери энергии на излучение в континууме и в линияхмогут рассчитываться независимо друг от друга:W (r )  W ( ff ) (r )  W (bf ) (r )  W (bb) (r ) .Если форма линии излучения заранее известна, то при вычислении W (bb) (r)интегрирование по длине волны можно выполнить аналитически и расчёты существенноупрощаются.

В настоящей работе рассматривается плазма дуги высокого давления, когдареализуется столкновительный механизм уширения линий. Это приводит к формированиюдисперсионного контура линий [28,53,86]:k Здесь k 0 k0   0 1  w 2.(2.48)40 g k nm Akm hc 1exp k T  – коэффициент поглощения в центре линии с8 2 cg m w B e длиной волны λ0, w – полуширина линии на полувысоте контура, gk и gm - статистическиевеса верхнего и нижнего состояний атома соответственно, Akm – коэффициент Эйнштейна, nm– концентрация атомов в нижнем состоянии.

Соотношение (2.48) позволяет выполнить в(2.14) интегрирование по длине волны в тех случаях, когда плазма является оптическиплотной для излучения в центре линии. В этом случае потери энергии на излучение в линииможно представить в виде:W (bb) (r)  W (h) (r)  W (inh) (r) ,(2.49)где W (h) (r) – потери энергии на излучение в линии из однородной плазмы с параметрами,значениякоторых соответствуютточкеr,W (inh ) ( r )–поправка,учитывающаянеоднородность плазмы. Для вывода (2.49) представим W(bb) в виде суммы двух слагаемыхW(bb) (r )  Wh  Winh  ck (1  h )U P  ck ( h   )U P ,где69 h1hWhh d  G0 ( )d  1 001G1 ( W )d .h0Здесь  h  k  (r )l ,  Wh  k lW .Вычислим, прежде всего, потери энергии на излучение из столба однородной плазмы сk'λ = k'λ(r) ≡ const:W ( h) (r )   Wh d 0cch dk U P  d G1 ( W ) 0 d00k 01  (  0 ) 2 / w /200Ud2 P c k U P d  d00 /2 cos exp   W / cos d =h0 kl1dcos exp   0 W cos 1  (   ) 2 / w2 0Здесь использовано представление (2.17) для функции G1 .

Теперь воспользуемся тем, чтоспектральная область Δλ, в которой происходит перенос энергии в линии, являетсядостаточно узкой, для того, чтобы можно было положить под интегралом UP  U0 P .Необходимое условие для этого имеет видU P 0 U 0P ,(2.50)где Δλ – область, которая вносит основной вклад в интеграл по длине волны. Для проведенияинтегрирования в (2.49) сделаем замену переменной t = (λ-λ0 )/w.

Теперь получаемW ( h ) (r ) 2cU 0P k 0 w d /20 k 0 lW 1 exp .22cos1t1t0dtd cos 0(2.51)Далее учтём, что здесь рассматривается случай, когда плазма является оптически плотнойдля излучения в центре линии : k'0(r)lW >> 1.

Поэтому основной вклад при интегрированиипо t в (2.51) вносит область, где показатель экспоненты ~ 1, т.е. t2 ~ k'0(r)lW >> 1. Отсюда, сучётом определения переменной t, получаем Δλ = λ-λ0 ~ w[k'0(r)(R-r)]1/2 и условиеприменимости рассматриваемого приближения (2.50) принимает видw k 0 (r )( R  r ) k BTe0hc / 0Полагая далее 1+t2 ≈ t2 последовательно вычисляем интегралы по t и ψ [87]:dtp1 p t 2 exp   t 2   20,здесь обозначено p = k'0lW/cosψ . Теперь интегрирование по переменной ψ даёт:(2.52)70 /2 cos3/ 2d 0 (5 / 4)2 (7 / 4) (1/ 4)6 (3 / 4).При интегрировании по углу θ преобразуем подынтегральное выражение в (2.51):1k 0 lW1k 0  r cos   R 2  r 2 sin 2  1k 0 (r ) R1r2R2sin 2  1r2rcos R.R2Окончательный результат для потерь энергии из однородной плазмы запишем в виде:W ( h ) (r )  aE km Akmnkk 0 (r ) R (r / R)1  (r / R) 2,(2.53)где a = Γ(1/4)/6Γ(3/4) = 0,493111 , Ekm = hc/λ0 и введена функция ( x) 1d1  x 2 sin 2   x cos  .(2.54)0Отметим, что ζ(x) - гладкая функция, медленно убывающая вдоль радиуса от значения ζ(0) =1 до значения ζ(1) = (2/π)1/2/3a = 0,539354 .

Эта функция, как видно из рис. 2.7, хорошо (спогрешностью < 1%) аппроксимируется выражениемζ(x) = c0 + c1(1-x2)0,42 ,(2.55)где c0 = ζ(1), c1 = 1 - c0 .1,00,9(r/R)0,80,70,60,50,00,20,40,60,81,0r/RРис. 2.7. График радиальной функции ζ(r/R): сплошная линия - точный расчёт по(2.54), пунктир - аппроксимация (2.55).71При вычислении поправки на неоднородность плазмы воспользуемся явным видомфункций G0 , возвратимся к интегрированию по переменной l и учтём, что приинтегрировании по длине волны можно положить U P  U 0P . Тогда получим:W(inh )(r ) cU 0P  /2 d 0lWd  dl(l , , ) ,00гдеlI  P (l ) k  (r )l 1 .(l , , )   d k  (r ) 2 exp     k  (r )k  (l ) 0exp  k(l)dlcosI(r)cos0 P00Теперь, как и в однородном случае выше, воспользуемся формой линии поглощения (2.48),введём переменную t = (λ-λ0 )/w и положим 1+t2 ≈ t2 .

В результате получаем dt p1  nk (l ) w(l ) dt p 2  (l , , )  2k 0 (r )  w(r )   4 exp   2  exp  2  . t  nk (r ) w(r ) 0 t 4 t  0 t2Здесь введены обозначенияp1 1w2 (l )k(l)dl 0cos 0w2 (r )lk 0 ( r )lWcosp2 ии, кроме того, учтено, что в условиях ЛТРI 0 P k 0 w 1 hcAkmnk .4 2 0Воспользуемся значением интеграла [87]dtp t 4 exp   t 2   4 p3 / 20и выполним интегрирование по переменной ψ:W(inh )E A n 1(r )  0,5a km km k  dk 0 (r ) R  0W0 1q( ).d  3 / 2 3/ 2  s( )d    0 (2.56)В (2.56) введены новая переменная α = l/R , αW = lW(r,θ)/R и вспомогательные функции2k  ( )  w( ) n ( ) w( ) ., s ( )  0q ( )  kk 0 (r )  w(r ) nk (r ) w(r )Отметим, что при r = 0 соотношения (2.53), (2.56) совпадают с соответствующимивыражениями, приведёнными в [4].72Запишем условия применимости формул (2.53), (2.56) в более удобной (чем (2.52)) длярасчётов форме:1  k0 (r )( R  r )  1w hc / 0k 0 (r )( R  r )  1 .0 k B T ( r )и 2 (2.57)2.8 Диффузионное приближениеДиффузионное приближение, как простой и обладающий высокой вычислительнойэффективностью метод, было предложено и используется для расчёта радиационныхвеличин достаточно давно [70,85].

Основным недостатком этого метода являетсяневозможность обоснования его использования и контроля точности результатов в тойспектральной области, где оптическая толщина плазмы имеет значения порядка единицы. Всвязи с этим приходится постоянно контролировать его применение с помощью проведениярасчётов другими, более точными методами. Диффузионное приближение формальноприменимо только в том случае, когда поле излучения слабоанизотропно.

Это даётвозможность разложить спектральную интенсивность излучения Iλ в ряд по сферическимгармоникам и ограничиться двумя первыми членами разложения [70,85]: I  (r, )  I 00 (r)    er I10 (r) .(2.58)Физический смысл коэффициентов разложения можно увидеть после подстановки (2.58) вформулы (2.9)-(2.10):I 00 ( r ) c3U  ( r ) и I10 ( r ) F ( r ) .44Подстановка разложения (2.58) в (2.7) и усреднение по всему телесному углу с весом приводит к соотношению [70]:c U .3k r(2.59)1  cr U r r 3k r(2.60)F ( r )  Откуда, с учётом (2.14),W ( r )  Теперь для плотности энергии Uλ получаем диффузионное уравнение:с1   r U    ck U P  U   .3 r r  k rГраничные условия к (2.61) имеют вид [70]:(2.61)73U r0 и r 01 U 3k rrR1 U  ( R) .2(2.62)Граничное условие при r = R соответствует случаю, когда излучение, выходящее споверхности плазмы, распределено по углам изотропно.Исследуя применимость диффузионного приближения для расчёта радиационныххарактеристик ИПР, покажем, прежде всего, что это приближение даёт асимптотическиправильные значения Wλ и Fλ для случаев оптически тонкой (τR(λ) << 1) и оптическиплотной (τR(λ) >> 1) плазмы разряда [А31].

Для этой цели, в случае оптически тонкойплазмы, подставим разложениеU   U (0)  U (1) R  U ( 2) R2  O( R3 )по малому параметру τR в (2.61)-(2.62). После несложных преобразований получаем, чтоU (0)  0 иR 2R R k  dr  r2U  (r )   rk  U P dr 1   rk  dr   3r k  U P dr   O  R 3 ,  R  1 . RR00 r r 0 d(2.63)Асимптотика диффузионного приближения (2.63) совпадает с асимптотикой точноговыражения (2.23) только по порядку величины. Так, например, для столба однороднойплазмы при τR << 1 из (2.23) следует U   0,5 RU P  O( R2 ) , в то время как из (2.63)следует U d   RU P  O( R2 ) . Таким образом, в оптически тонкой плазме, оставаясь в рамкахдиффузионного приближения, можно найти Uλ только по порядку величины. Однако,поскольку в этом случае Uλ ~ τRUλP << UλP, неопределённость этой величины не мешаетполучить асимптотически правильные значения Wλ и Fλ .