Диссертация (Исследование импульсно-периодического излучающего разряда высокого давления в парах цезия), страница 13

Действительно, пренебрегаявеличиной Uλ в правой части (2.61), мы получаем асимптотику W (r )  ck U P (r ) ,совпадающую с асимптотикой точного выражения (2.24).Аналогично поступим в случае больших значений оптической толщины столба τR(λ) >>1: выполним разложение плотности энергии по степеням 1/τRU   U (0)  U (1) R1  U ( 2) R2  O( R3 )и подставим его в уравнения (2.59)-(2.60).

В результате получаем асимптотикудиффузионного приближенияU d (r )  U P  1 1  r U P   O 4  ,  R  1 . 3rk  r  k r R (2.64)Подстановка (2.64) в уравнения диффузионного приближения (2.59), (2.60) приводит квыражениям, совпадающими с формулами радиационной теплопроводности (2.38), (2.39).74Таким образом, в случаях оптически тонкой и оптически плотной плазмы диффузионноеприближение приводит к выражениям для Wλ и Fλ , асимптотически совпадающим с точнымизначениями.В результате, диффузионной модели оказывается достаточно для нахожденияправильных значений Wλ и Fλ в случаях оптически прозрачной и оптически плотной плазмы.Точность диффузионной модели в случае промежуточных значений оптической плотностистолба плазмы может быть оценена только путём сравнения численных расчётов в рамкахразличных подходов.2.9.

Интегрирование спектральных величин по длине волныЗначения полных величин F, U и W находятся прямым численным интегрированиемсоответствующих спектральных величин по длине волны. Для сокращения объёмавычислений воспользуемся рассмотренными выше частными случаями. Тогда вместо (2.16)получаем:(1)( 2)(3)W  Wthin  Wthick  Wnonl и Frad  F  F  F .(2.65)Здесь Wthin , Wthick , Wnonl – потери энергии на излучение в тех частях спектра, где плазмаявляется соответственно оптически прозрачной, оптически плотной и имеет промежуточнуюоптическую плотность. В последнем случае фотон, испускаемый в некоторой точке столбаплазмы, может поглощаться в другой, удалённой от неё точке.

Теплообмен излучениемимеет при этом нелокальный характер. В (2.65) приняты следующие обозначения:Wthin   1 ( )W(1) d , W(1) ( r )  ck U P ( r ) ,F(1)  1 ( ) F d , F(1)r(1)c(r )   r k (r )U P (r )dr  ,r0(2.67)TeT, F( 2) (r )   f  e ,rr(2.68)F ( 2)    2 ( ) F( 2) d  radWthick    2 ( )W( 2) d  T1 T1 rf  e ,rrad e , W( 2) ( r )  r rrr rrWnonl   3 ( )W d , F (3)   3 ( ) F d .В (2.70) Wλ и Fλ(2.66)(2.69)(2.70)находятся непосредственно по МПИ (2.22)-(2.24).

В (2.68), (2.69)использовано обозначение rad    2 ( ) f  d , где fλ из (2.38)-(2.39). Величина rad имеетсмысл коэффициента теплопроводности и совпадает с известным коэффициентом75радиационной теплопроводности [70,71,85] в случае, когда плазма является оптическиплотной во всём спектре. В (2.66)-(2.70) введены, кроме того, величины ξ1 , ξ2 и ξ3 равныенулю либо единице в зависимости от радиальной оптической плотности столба плазмы:1 ( )  1 ,  2 ( )   3 ( )  0 при  max  1  1 , 2 ( )  1 , 1 ( )  3 ( )  0 при  min   2  1 ,3 ( )  1 , 1 ( )   2 ( )  0 в остальных случаях.Величины  min и  max определены в (2.28).

Значения ε1 и ε2 подбирались из условиядостижения необходимой точности расчётов и в большинстве режимов составляли ε1 = 0,02и ε2 = 50.Расчёты величины плотности радиационной энергии U упрощаются только в случаеоптически плотной плазмы:U  U (1,3)  U ( 2)   1 ( )  3 ( )U  d    2 ( )U d d .(2.71)Здесь U  находится непосредственно по МПИ (2.13), (2.23), а U d – в диффузионномприближении (2.64).2.10.

Численная реализация МПИМетод прямого интегрирования (МПИ) предполагает непосредственное вычислениеинтегралов (2.25) и (2.26). Для сокращения вычислений воспользуемся симметриейплазменного столба и уменьшим вдвое область интегрирования по углу θ (до интервала[0,π/2]):  (r )   (r ) 14 /20 /20W pd   G0 ( )  G0 (2 p   ) f ( )d   G0 ( )  G0 (  2 p ) f ( )d  ,2 p0(2.72)W pd cos    G1 ( )  G1 (2 p   ) f ( )d   G1 ( )  G1 (  2 p ) f ( )d  . (2.73)2 p0lpЗдесь  p   k  (l ) dl , lp = rcosθ (см. рис. 2.3). Отметим, что последние формулы существенно0упрощаются при двух значениях радиальной переменной: r = 0 и r = R . При r = 0 получаем,что p = 0 и76R  (0)  0 ,   (0)   G0 ( ) f ( )d .0При r = R получаем, что 2p = W и в фигурных скобках остаётся только один (первый)интеграл:  ( R)   ( R) 41 /20 /20 /2Wd   G0 ( )  G0 ( W   ) f ( )d  , 0 /2Wd cos    G1 ( )  G1 ( W   ) f ( )d  . 0В общем случае, при численной реализации МПИ, используется следующая методика.1) Вводится однородная сетка по радиальной переменной r с шагом h = 1/М :ri = (i-1)h, i = 1,2,3,..., М+1. jj 1i2) Для каждой точки ri (i > 1) вводится неоднородная сетка по угловой переменной  j(см.

рис. 2.8а). Значения углов j определяются выражениями:sinj = rj/ri = (j-1)/(i-1), j = 1,2,3,..., i.3) На каждом луче, соответствующем углу θj, вводится неоднородная сетка lk k 1 W поk kпеременной l (0 < l < lW = AC). Узлы сетки совпадают с точками пересечения лучей сокружностями радиусов rk (см. рис. 2.8б). Значения переменной lkв узлах сеткивычисляются по формулам:lk+1 = lk + Δlk , l1 = 0, lkW  lW .где ik = 2j-i-1+k. Для вычисления Δlk рассмотрим ниже два случая.При k = 1,2,...,kp-1 (это соответствует случаю 0 < l < lp )lk  ri2k  rj2  ri2k 1  rj2 = h (ik  j )(ik  j  2)  (ik  j  1)(ik  j  3) ,где ik = i-k+1, kp = i-j+1, lp = lk p  h (i  j )(i  j  2) .При k = 2kp-1, 2kp ,..., kW-1, kW = 2kp+N-i (это соответствует случаю 2lp < l < lW ):lk  h (ik  j  1)(ik  j  1)  (ik  j )(ik  j  2) ,4) Значения lk используются для вычисления величин  m m 1 W вдоль луча θj :mm m1   m   m ,  m l2 m 1 k (l )dl ,m = 1, 2, ..., mW .(2.74)l2 m 1Здесь mW = (kW -1)/2 +1, τ1 = 0.

При вычислении интеграла в (2.74), используется77интерполяционный многочлен Лагранжа второго порядка для функции k  (l ) , построенныйпо значениям k (lk )  k (rik ) .j=1(б)(а)j=2Cj=3kWj=4i =1rjkp233ij=iA2k=1Рис. 2.8. Дискретизация областей интегрирования:(а) переменные r и θ; (б) переменная l.5) Интегралы по переменной τ в (2.72) вычисляются вдоль каждого луча, задаваемогоуглами θj:gj Здесьn  n1  2 n 1n  n2  2 k 1 2 n 1p  2 k 1  G01 fd    G02 fd .n 1nmG01( )  G0 ( )  G0 (2 p   )и(2.75)G02 ( )  G0 ( )  G0 (  2 p ) ,n1  ( m p  1) / 2 ,n2  (mW  1) / 2 , m p  (k p  1) / 2  1 .

При вычислении интегралов в (2.62) используютсясвойствафункцииGk(2.18)–(2.21).Функцияf(τ)заменяетсяинтерполяционныммногочленом второго порядка по значениям в узлах f ( k )  f (rik ) . Расчёт интегралов по τ в(2.73) выполняется по аналогичной схеме.6) Вычисление интегралов по угловой переменной θ в (2.72) и (2.73) также выполняется сиспользованием многочленов Лагранжа второго порядка для функции g(θ):  (r ) 1 /20g ( )d 1 (i 1) / 2 2 j 1  g ( )d .j 1 2 j 1782.11. Моделирование теплообмена излучением в линииИзучение особенностей теплообмена излучением в линии и сравнение различныхметодов расчёта выполнено на примере модельной задачи теплообмена излучением врезонансной линии цезия 6P3/2 - 6S1/2 (центру линии соответствует длина волны λ0 = 852,1нм).

При вычислении полуширины линии w учитывались два механизма уширения:резонансная передача возбуждения и штарковское уширение электронами (см. раздел 2.1).Расчёты выполнены для случая однотемпературной плазмы с модельным профилемтемпературы T(r) = T0 - (T0 - TW)(r/R)2 , T0 = 3500 К, TW = 1500 К при давлении плазмы р = 240Торр. Число точек радиальной сетки равнялось М = 64. При интегрировании по спектруиспользовалась сетка с числом точек N = 6000 и постоянным шагом интегрирования Δλ =0,25 нм. Результаты расчётов приведены на рис.

2.9 – 2.10.На рис. 2.9 показана спектральная плотность энергии излучения Uλ(0) на оси столба,рассчитанная двумя методами: методом прямого интегрирования (МПИ) и в диффузионномприближении. Там же приводится величина планковской плотности энергии UλP(T0) притемпературе T0. Хорошо видно, что в той части спектра, где плазма является оптическиплотной, плотность энергии близка к планковской. По мере уменьшения оптическойплотности, плотность энергии также уменьшается.10-41003U , Дж / (м нм)1R()210-510310-610-7800410,1820840860880900 , нмРис.

2.9. Спектральная плотность энергии излучения (для резонансной линии 6P3/2 6S1/2) на оси плазменного столба: 1 – планковская плотность энергии UλP(T0), 2 – расчётМПИ, 3 – диффузионное приближение, 4 – радиальная оптическая плотность τR(λ).79Кроме того, отметим, что диффузионное приближение позволяет находить правильныезначения плотности энергии Uλ только в оптически плотной (τR(λ) > 4) спектральной области.На рис. 2.10 приведены результаты расчётов спектральных потерь энергии наизлучение Wλ(0) на оси столба, рассчитанные разными методами. Отметим, прежде всего,что определяющую роль в процессе потерь энергии на излучение в линии, играют фотоны,для которых радиальная оптическая толщина τR(λ) ~ 3.

Далее, важно отметить, что в техобластях спектра, где плазма является оптически тонкой (τ R(λ) < 0,2) и оптически толстой(τR(λ) > 4), результаты расчётов, полученные в рамках МПИ и диффузионного подхода,практически совпадают с соответствующими асимптотическими решениями. Диффузионноеприближение даёт завышенные значения потерь энергии на излучение во всём диапазонедлин волн. Максимальные значения ошибки достигаются при τR(λ) ~ 1 и не превышают 25%.3W(0) , Вт/(м нм)R()12710103456110820840 , нм860880Рис.

2.10. Спектральная плотность потерь энергии Wλ(0) на излучение в резонанснойлинии цезия 6P3/2 - 6S1/2 : 1 – приближение оптически плотной плазмы (2.39) , 2 –приближение оптически тонкой плазмы (2.29), 3 – диффузионное приближение, 4 –МПИ, 5 – радиальная оптическая плотность плазмы τR(λ).На рис. 2.11. приведены результаты расчётов спектрального потока энергии излучения,выходящего из столба цезиевой плазмы для резонансной линии 6P3/2 - 6S1/2 . Хорошо видно,что в формировании спектра решающую роль играют фотоны, для которых τR(λ) ~ 1.Отметим также, что, как и при расчёте потерь энергии на излучение Wλ , точное решение,полученное в рамках МПИ, в оптически тонкой и оптически толстой частях спектрапереходит в соответствующие асимптотические приближения.

При этом диффузионноеприближение даёт удовлетворительные результаты во всём спектральном диапазоне.80R()2F(R) , Вт/(м нм)121000103100145100,1800840 , нм880920Рис. 2.11. Спектральный поток энергии Fλ(R) с поверхности столба цезиевой плазмы(для резонансной линии 6P3/2 - 6S1/2 ): 1 – приближение оптически тонкой плазмы(2.31), 2 – приближение оптически плотной плазмы (2.43), 3 – МПИ (пунктир –диффузионное приближение), 4 – планковский поток энергии FλP(TW) с поверхностичёрного тела с температурой TW , 5 – радиальная оптическая плотность плазмы τR(λ).На рис.