Диссертация (Исследование импульсно-периодического излучающего разряда высокого давления в парах цезия), страница 6

Вместе с тем, пренебречь источниками Γ α непосредственно в уравненияхнепрерывности (1.31)-(1.33) нельзя, поскольку именно они описывают термическуюионизацию в процессе прохождения импульса тока через холодную плазму дежурногоразряда (и, соответственно, не малы по сравнению с другими членами уравнений). Для того,чтобы избавиться от сложной задачи расчёта источников, сложим уравнения (1.31) , (1.32) иучтём, что Гa = – Гi :(na  ni )  div naVa  niVi  0 .t(1.34)Вместо дифференциальных уравнений (1.32)-(1.33) удобно использовать соотношенияквазинейтральности и Саха.

При записи окончательных уравнений учтём, что в работерассматривается разряд в длинных трубках, когда R/L << 1, и плазму можно считатьаксиально-симметричной:1 nb rnbVb  0 ,tr r1 r naVa  niVi   0 ,( n a  ni ) tr r(1.35)(1.36)29ne  ni , ne ni  K (Te )na .(1.37)Здесь r – радиальная переменная, Va , Vb и Vi – радиальные составляющие скоростей частиц,K(Te) – константа ионизационного равновесия (1.23).1.5. Уравнения движения для плазмы ИПРВ работе рассматриваются режимы горения ИПР (R ~ 2,5 мм, Тα ~ 1300-7000 К) схарактерной продолжительностью импульса тока tp ~ 10-4 с, при которой движения плазмы вгорелке являются существенно дозвуковыми:M R/tpV~~ 10-2 << 1 .v sk B T / m(1.38)Здесь R – внутренний радиус трубки, vs – скорость звука, М – число Маха.

Кроме того, вовсех рассматриваемых режимах длина свободного пробега частиц lα существенно меньшевеличины R (число Кнудсена Kn мало):Kn l~ 10-2 << 1 .R(1.39)Следствием соотношений (1.38)–(1.39) является малость инерционных и вязких членов вуравнениях движения (1.14): dV / dt m n V R~~ M 2  10 4  1 ,p / rn k BT t p(1.40)   r Vl V4~~    Kn  M   10 << 1 .R v spp(1.41)Здесь  – коэффициент вязкости.

С учётом (1.40)–(1.41) уравнения движения (1.14)существенно упрощаются:(1.42)pb  Rb ,(1.43)pa  Ra ,  (1.44)pe  ene E  Re  eneVe  B ,  .(1.45)pi  eni E  Ri  eniVi  BСложим уравнения (1.44), (1.45) и учтём, что Rei  Rie  0 . Кроме того, учтём в (1.42)–(1.45),что Reα/Riα ~ (me/mi)1/2 << 1. В результате из (1.42)-(1.45) получаем:pb  Rba  Rbi ,pa  Rab  Rai ,(1.46)(1.47)30 ( pe  pi )  Ria  Rib  j  B ,(1.48)где j  eniVi  eneVe .Заметим здесь, что величина R , описывающая изменение импульса частиц сорта αвследствие столкновений с частицами β, может быть представлена в виде суммы двухfTfслагаемых [1,2,10]: R  R. Первое слагаемое R– сила трения, обусловленная Rналичием проскальзывания компонент α и β друг относительно друга и прямопропорциональная разности гидродинамических скоростей этих частиц V  V . ВтороеTслагаемое R– термосила, обусловленная зависимостью частоты столкновений междучастицами от температуры и пропорциональная градиенту T .

Столкновение иона с атомомпостороннего газа сводится, главным образом, к поляризации атома налетающим ионом и ихвзаимодействию с потенциальной энергией [26] d e2U (r ) .8 0 r 4Здесь αd – поляризуемость атома постороннего газа. При таком законе взаимодействиячастота столкновений не зависит от относительной скорости частиц [2,27] и термосилаоказывается равной нулю ( RibT = 0).

Для оценки величины термосилы RiaT , соответствующейстолкновениям ионов с атомами собственного газа, воспользуемся результатами [2],полученными в рамках 13-моментного приближения Грэда: 4211   aRiaT  ma ni na  12 i T  riaT T .ia   ia 35 p a pi (1.49)Здесь парциальные коэффициенты теплопроводности ионов λi и атомов λa определяютсявыражениямигдеg ia  1ii 1  g ia a /  ia5 kBpi i,2 ma1  ( g ia ) 2  a i /( ia ai )(1.50)a 1  g ia i /  ai5 kBp a a,2 ma1  ( g ia ) 2  a i /( ia ai )(1.51)  ia1 0,4 ii1  g iaи  1a 11  ai, 0,4 Aaa aa  g ia1 16n  11322135121111  , B . 0,2 Aia  0,15Bia , g ia  0,2 Aia  0,15Bia , A 1616211311,31lrВ приведённых выше выражениях использованы обозначения для интегралов Чепмена-Каулингаlrгде g   (  ) 1 / 2 ,    k T B 21/ 2 2 r 3  2e(l ) ( g )d ,(1.52)0m  m m ,  ,  .k B T   m  m Для оценки роли термосилы в (1.46)-(1.48) сравним её значения с силой давления.

Сэтой целью рассчитаем параметр δ:RiaTriaT. ( p e  pi ) / r  ( p e  pi ) / TЗдесь учтено соотношение (1.49). Результаты расчётов величины δ приведены на рисунке 1.8.Как видно из рисунка, в условиях ИПР величина термосилы относительно мала посравнению с силами парциального давления компонент плазмы. Необходимо учесть здесьтакже и то, что величина термосилы чувствительна к виду дифференциальных сеченийрассеяния. Поскольку полная информация о сечениях неизвестна, расчёт термосил можетбыть выполнен лишь приближённо. По указанным причинам в уравнениях движения далеетермосилы учитываться не будут.0,00-0,02-0,04-0,06-0,08-0,10T,K2000 3000 4000 5000 6000 7000T/( pe  pi ) / r  в парахРис.

1.8. Относительные значения термосилы   Riaцезия атмосферного давления.Теперь оценим роль сил магнитного давления в (1.48). Поскольку электрический ток надиэлектрическую стенку в плазме ИПР отсутствует, то j  j z k , где k – орт оси Z,32 j  B   j z B er ( er - орт в радиальномсовпадающей с осью разряда. В результатенаправлении) и силы магнитного давления сжимают плазменный столб.Воспользуемся законом полных токов для определения Bφ :  Bdl0 j dS .LSrС учётом аксиальной симметрии столба разряда: 2rB  20  j z rdr , откуда0B (r ) 0rr j z (r )r dr  .(1.53)0Теперь можно оценить отношение0 I 2I 0 I R~.p R 2 2R p 2 2 R 2 pj z BИспользуя характерные для условий ИПР значения R = 3 мм и p = 1 атм, получаем j z B / p~ 2∙10-6I2.

Таким образом, при значениях разрядных токов I < 100 А, силы магнитногодавления малы по сравнению с силами газокинетического давления. Пренебрегаямагнитными силами и складывая (1.46-1.48) получаем: pb  pa  pe  pi   0 .(1.54)В результате, в условиях ИПР, когда можно пренебречь инерционными членами, вязкостьюи магнитными силами, полное давление плазмы в ИПР постоянно вдоль радиуса. Этоозначает, что при небольших значениях частоты и амплитуды импульсов тока полноедавление p(t) = pe + pi + pa + pb , изменяясь с течением времени, успевает выравниваться повсему объёму плазмы ИПР. Отметим здесь, что, вообще говоря, рассматриваемая модельИПР позволяет исследовать и режимы с амплитудой тока больше 100 А.

Для этого в (1.48)достаточно использовать выражение (1.53) для учёта магнитных сил.fДля определения силы трения R, обусловленной наличием проскальзываниякомпонент α и β друг относительно друга, необходимо подставить максвелловскиераспределения тяжёлых частиц со скоростями V и V в (1.12). Интегрирование приводит квыражению [1]:fR n n r V  V .Здесь(1.55)33r2 4 (1)u 5 (u ) f M(0) (u )du ,3 k BTh 0f M(0) (u )   2k BTh3/ 2(1.56)  u 2  .exp   2k BTh При проведении расчётов удобнее перейти в (1.56) к безразмерной переменной ξ =u(μαβ/2kBTh)1/2 .

Тогда выражение для rαβ приобретает вид:r 83 2 k BTh 1/ 2   5e 2(1)  02k B Th d . (1.57)Теперь, с учётом аксиальной симметрии задачи, получаем:pb  nb na Va  Vb rba  nb ni Vi  Vb rbi ,r(1.58)p a  na nb Vb  Va rab  na ni Vi  Va rai ,r(1.59) pe  pi   ni na Va  Vi ria  ni nb Vb  Vi rib ,r(1.60) pb  p a  p e  pi   0 .r(1.61)В работе считается, что радиальный электрический ток на диэлектрическую стенку трубкиотсутствует и радиальные составляющие скорости электронов и ионов равны: Ve  Vi .1.6. Уравнение энергии для тяжёлой компоненты плазмы ИПРПри записи уравнений энергии (1.19) для отдельных компонент плазмы учтём, что вусловиях ИПР можно пренебречь кинетической энергией плазмы по сравнению с еёвнутренней энергией (nαmαVα2/3nαkBTα ~ Mα2 << 1), работой вязких сил (πα/pα ~ MαKnα << 1) ичленами, содержащими источники частиц: mV2  /  t 3n k BT  ~ Mα2 << 1.

Теперьполучаем: 5  3 n k BT   div q  V  n k BT   e n EV  Q  R V .t  22(1.62)Сложим далее уравнения (1.62) для тяжёлых частиц (α = a, b, i) и учтём, что для упругихстолкновений,вследствиезаконовсохраненияэнергиисоотношение [1]:  Q  Q  R V  R V  0 .иимпульса,справедливо34Считая температуру тяжёлых частиц одинаковой (Ta = Tb = Ti ≡ Th), получаем уравнениеэнергии для тяжёлой компоненты плазмы:  5 3nnnkTdivqqqkTnVnVnVabihbiB h a ab bi i  at  22      eni EVi  Qae  Qbe  Qie  RaeVa  RbeVb  RieVi(1.63)Рассмотрим в (1.63) слагаемые Qαе (α = a, b, i), отвечающие за выделение тепла в газетяжёлых частиц вследствие их столкновений с электронами.

Как показано в [2,27], в рамках13-моментного приближения Грэда, эти величины могут быть представлены в видеQe  QTe  QUe 3me nemk B (Te  Th )  e n ne re (V  Ve ) 2 .m  em(1.64)Последний член в выражении (1.64) мал даже по сравнению с работой сил трения: QUe / ReV ~ me/ma << 1 и далее всюду полагаем Qe  QTe . В правой части (1.63) в условиях 2ИПР можно также пренебречь работой и самих сил трения: ReV / QTe ~ V / vT  << 1.Вектор напряжённости электрического поля в плазме имеет две составляющие: Ez и Er.Для определения величины Er можно воспользоваться соотношениями (1.45) и (1.48).Запишем эти соотношения в проекции на радиальное направление и вычтем из (1.48)уравнение (1.45).