Диссертация (Управление движением морских судов с учетом неопределенностей в задании внешних возмущающих воздействий), страница 9

Тогда расширенная система линейных дифференциальных уравнений примет вид~~~~~x  A~x  Bu  Dw,где новые матрицы определяются формулами~  AA  01x 3B,0~ d1  0~  ~  0 ~  d2  ~B, D   , w   Fz 0 0  10My0 0 .Как и в предшествующей главе, будем формировать управление ввиде статической обратной связи (регулятора) по состояниюu  K x x  K    K~x  k1  k 2   k3   k 4  .~ имеется неопреПоскольку в задании возмущающего воздействия wделенность, поставим вопрос о наилучшем поведении замкнутой системы сучетом этой неопределенности. Тогда коэффициенты k1 , k 2 , k3 , k 4 подлежатопределению в результате решения задачи о минимизации размера J d инвариантного эллипсоида с учетом желаемых модальных свойств замкнутойсистемыJ d  J d (K ) minK sk  k,где допустимое множество  sk определяется формулой (2.1.4).Далее будем считать, что вектор измеряемых координат совпадает свектором состояния ~x , т.е.y  C~x , C  E 44 .88Тогда уравнения замкнутой системы принимают вид~~  a~11  a~12 y  b1  d1Fz ,~~ y  a~21  a~22 y  b2  d 2 M y ,  ,  k1  k2  k3  k 4,или в матричной формеA~~, A  x  A 3 ~x  D3 w3  k1 k 2~ d1 ~ B~  d2 , D 3  D   .k3  k 4  0 0Теперь мы можно непосредственно воспользоваться алгоритмамисинтеза, разработанными в главе.

В частности, применим алгоритм 2.1.1для системы (3.2.4), задавая желаемую степень устойчивости α d  0,5замкнутой системы.В результате применения алгоритма 2.1.1 находим искомый векторкоэффициентов регулятора, который наилучшим образом (в смысле поставленной задачи) компенсирует ограниченные внешние возмущающиевоздействия и одновременно обеспечивает желаемую степень устойчивости замкнутой системы:k1  3.0981, k 2  57.7472 , k 3  23.9121, k 4  1.2793.(3.2.5)При этом имеем следующие компоненты вектора γ , при которыхдостигается нужная степень устойчивости:11  1,  12  2 ,  21  1,  22  0.05.При использовании синтезированного регулятора собственные числа89матрицы замкнутой системы принимают значения1  0.1027 ,  2  0.5465  0.0147 i , 3  0.5465  0.0147 i ,  4  0.5368 ,т.е. желаемая степень устойчивости достигнута.Заметим, что учет требования к степени устойчивости является весьма существенным при решении практических задач.

Поскольку известныйспособ [54] формирования компенсирующего управления с помощью инвариантных эллипсоидов не гарантирует достаточного удаления собственных значений матрицы замкнутой системы от мнимой оси, его прямоеприменение может привести к результату, не обеспечивающему достаточного быстродействия замкнутой системы.Чтобы подтвердить это утверждение, проведем сравнение полученного здесь результата с регулятором, являющимся решением задачи (2.1.9)и компенсирующим ограниченные возмущения без выполнения дополнительных модальных требований [54]. Для этого регулятора получаем следующие коэффициенты:~~~~k1  0.1738 , k 2  10.6013 , k 3  1.0242 , k 4  0.0378.(3.2.6)При этом собственные числа матрицы замкнутой системы равны~~1  0.3138 ,  2  0.0599  0.1886 i ,~~ 3  0.0599  0.1886 i ,  4  0.0574 ,т.е.

степень устойчивости при использовании регулятора (3.2.6) оценивается числом 0.06, что существенно меньше, чем степень устойчивости системы с регулятором (3.2.5), и негативно отражается на качестве переходногопроцесса и его длительности.Теперь сравним поведение динамической системы с управлениями90(3.2.5) и (3.2.6) в различных ситуациях.а) Пусть ограниченное внешнее воздействие представляет собой последовательность случайных ограниченных «всплесков» продолжительностью 40 секунд (рис. 3.2.1).1Возмущение0.50-0.5-1050100150Время, сРис. 3.2.1. Внешнее воздействие.На рисунках 3.2.2 и 3.2.3 сплошная линия представляет динамикусудна (изменение курса и отклонение рулей соответственно) при использовании коэффициентов (3.2.5), вычисленных по алгоритму 2.1.1, пунктирная– представляет собой те же процессы при применении регулятора с коэффициентами (3.2.6), сформированного без учета требования к степени устойчивости.Изменение курса, град0.50-0.5050100150Время, сРис.

3.2.2. Изменение курса судна.9110Отклонение рулей, град50-5-10050100150Время, сРис. 3.2.3. Отклонение рулей.Как видно из рис. 3.2.2, при использовании коэффициентов (3.2.5)отклонение судна от курса в 5 раз меньше, чем для регулятора с коэффициентами (3.2.6). При этом время стабилизации курса судна после окончаниядействия ограниченного возмущения в первом случае составляет менее 10секунд, а во втором – 50 секунд.б) Рассмотрим процесс отработки заданного командного сигнала через обратную связь при действии ограниченных внешних возмущений.Пусть необходимо совершить маневр, состоящий в повороте по курсу на 10градусов при воздействии на судно случайного ограниченного воздействия,изображенного на рис. 3.2.1.Как и в случае а), на рис. 3.2.4 и 3.2.5 сплошная линия представляетдинамику судна (изменение курса и отклонение рулей соответственно) прииспользовании регулятора с коэффициентами (3.2.5), пунктирная – представляет собой те же процессы при применении коэффициентов (3.2.6).

Изрис. 3.2.4 видно, что переходный процесс для коэффициентов (3.2.5) завершается к 60-й секунде, в то время как для (3.2.6) – только к 100-й секунде.9220Изменение курса, град151050050100150Время, сРис. 3.2.4. Изменение курса.15Отклонение рулей, град1050-5-10-15-20050100150Время, сРис. 3.2.5. Отклонение рулей.в) Примем теперь в качестве внешнего воздействия зашумленныйступенчатый сигнал, изображенный на рис. 3.2.6.Возмущение10-1050100150Время, сРис. 3.2.6.

Внешнее воздействие.93На рис. 3.2.7 и 3.2.8 сплошная линия представляет динамику судна(изменение курса и отклонение рулей соответственно) для регулятора с коэффициентами (3.2.5), пунктирная – представляет собой те же процессыдля коэффициентов (3.2.6).Изменение курса, град6420050100150Время, сРис. 3.2.7. Внешнее воздействие.Отклонение рулей, град100-10-20050100150Время, сРис. 3.2.8. Внешнее воздействие.Рисунок 3.2.7 показывает наличие статической ошибки регулирования, что говорит об отсутствии свойства астатизма. При отработке командного сигнала наличие этой ошибки является нежелательным, посколькудля ее учета необходимо проводить дополнительные корректировки. Так,процесс поворота по курсу на 10º представлен на рис.

3.2.9 и 3.2.10.94Изменение курса, град181260050100150Время, сРис. 3.2.9. Изменение курса.Отклонение рулей, град100-10-20050100150Время, сРис. 3.2.10. Отклонение рулей.Таким образом, вместо поворота на 10º при использовании регулятора (3.2.5) судно поворачивает на 8º, а при использовании регулятора (3.2.6)– на 12º.Для того, чтобы автоматически устранить нежелательные погрешности, необходимо воспользоваться Теоремой 2.2.1, т.е. выполнить преобразование уравнений регулятора к эквивалентной форме (2.2.2).953.3.

Учет дополнительных динамических требованийпри синтезе автопилотовИспользуем регулятор (3.2.5) в качестве базового для построения регулятора, обеспечивающего вместе со всеми указанными выше требованиями астатизм замкнутой системы. Преобразовав базовый регулятор(3.2.5) с помощью соотношения (2.2.9), мы получим новый регулятор, который, в соответствии с Теоремой 2.2.1, будет являться астатическим и, вто же время, будет обеспечивать желаемую степень устойчивости и компенсацию ограниченных внешних воздействий.Для рассматриваемой системы астатическое управление примет вид  3   ,u  1   2где1  ~a111k1~ ~ ~ ~  k4  ~  ~ 2 ~b1  a21 b2 b1 b1 b1 a11(3.3.1)a~11~ ~ ~ ,b1  a21 b2   k1a~11 2  ~ ~ ~ ~ ~  k4 ~ ~ ,a11 b1  a21 b2 b2 b1b2~~ a~12 a~11 a~12 k1 a~12 b1  a~22 b2 3  ~ ~ ~ ~ k  k a11 b1  a21 b2  2 4  b~1 b~1 a~11  k3 .(3.3.2)~b1  a~22~b1  a~21~b2  ~ ,b2  При этом имеем следующие численные значения коэффициентов:1  0.4072 ,  2  20.87 ,  3  13.2 ,   1.024 .Собственные числа матрицы замкнутой системы примут значения1  0.1027 ,  2  0.5465  0.0147 i , 3  0.5465  0.0147 i ,  4  0.5368 .Для дальнейшего сравнения также преобразуем регулятор с коэффициентами (3.2.6), являющийся решением задачи (2.1.9), к форме (2.2.2), по96лучая при этом регулятор~~   ~  ~u 12   3    ,(3.3.3)~  15.48, ~  47.66, ~  31.58, ~где   1.224 .123При этом собственные числа матрицы замкнутой системы равны~~1  0.3138 ,  2  0.0599  0.1886 i ,~~ 3  0.0599  0.1886 i ,  4  0.0574 ,т.е.

степень устойчивости для регулятора (3.3.3) меньше, чем степень устойчивости для (3.3.1), что может привести к неудовлетворительному результату.Теперь сравним поведение замкнутой системы с регуляторами (3.3.1)и (3.3.3), работающими в различных ситуациях.Для этого проведем имитационное моделирование в среде MATLAB–Simulink [109 – 111, 2, 77, 78, 80, 107] при воздействии на судно случайногоограниченного внешнего возмущения.а) Реакция на ограниченное внешнее воздействие. Пусть ограниченное внешнее возмущение представляет собой последовательность случайных «всплесков» продолжительностью 30 секунд (рис. 3.3.1).Возмущение10.50-0.5-1050100150Время, сРис.

3.3.1. Внешнее воздействие.97На рис. 3.3.2 и 3.3.3 сплошная линия представляет динамику судна(изменение курса и отклонение рулей соответственно) при использованиизакона управления (3.3.1), полученного на базе управления с коэффициентами (3.2.5), в процессе компенсации указанного возмущения. Пунктирнаялиния представляет собой те же процессы при использовании регулятора(3.3.3), полученного из базового закона с коэффициентами (3.2.6) [54].3Изменение курса, град210-1-2-3050100150Время, сРис.

3.3.2. Изменение курса.10Отклонение рулей, град50-5-10-15-20050100150Время, сРис. 3.3.3. Отклонение рулей.Как видно из рис. 3.3.2, при использовании управления (3.3.1) отклоººнение от курса составляет менее 0.5 против 2 при использовании управ98ления (3.3.3). При этом время стабилизации курса судна после окончаниядействия ограниченного возмущения в первом случае составляет приблизительно 15 секунд, а во втором – 60 секунд. Таким образом, закон управления (3.3.1), построенный на базе (3.2.5), обеспечивает лучшую компенсацию возмущений, чем закон управления (3.3.3), полученный из управления (3.2.6), не требующего обеспечения заданной степени устойчивости.б) Реакция на ступенчатое внешнее возмущение. В качестве внешнего воздействия примем зашумленный ступенчатый сигнал (рис.

3.3.4).Возмущение21.510.50-0.5050100150Время, сРис. 3.3.4. Зашумленный ступенчатый сигнал.Динамика соответствующего процесса представлена на рис. 3.3.5 и3.3.6, иллюстрирующих соответственно отклонение курса и вертикальныхрулей при использовании закона управления (3.3.1), полученного на базеуправления (3.2.5) (сплошная линия) и управления (3.3.3) (пунктирная линия).Рис. 3.3.5 и 3.3.6 показывают, что система обладает свойством астатизма в обоих случаях, однако при использовании алгоритма 2.1.1 переходный процесс завершается на 60 секунд быстрее. Также отметим болеевысокое качество работы рулей в случае использования управления (3.3.1):крайние положения в процессе маневрирования не достигаются, и перекладка рулей происходит с невысокой частотой, в отличие от регулятора99(3.3.3), порождающего перерегулирование и колебательность.3Изменение курса, град210-1-2-3-4050100150Время, сРис.