Диссертация (Многоцелевые законы цифрового управления подвижными объектами), страница 7

на движении замкнутой системы. Кроме того, матрица G , согласнотеореме 1.1, должна быть такой, чтобы матрица A − GC была шуровской.III. Осуществляется поиск передаточной матрицы F динамического корректора. Обычно данную матрицу выбирают, исходя из желаемых требований ккачеству динамики при воздействии на объект возмущений колебательного характера, в частности, обеспечивая желаемую точность или интенсивность управления. Кроме того, с учетом теорем 1.1 и 1.3, передаточная матрица F должнаудовлетворять условиям асимптотической устойчивости и астатизма.Отметим, что согласно теореме 1.2, выбор матрицы F не влияет на динамику собственного движения, но существенно сказывается на качестве переходныхпроцессов при действии ступенчатых возмущений.

В связи с этим при выборематрицы F необходимо учитывать дополнительное ограничение на динамику,определяемую ступенчатыми возмущениями.Отметим, что все три описанные процедуры поиска настраиваемых элемен-35тов многоцелевого закона управления, как правило, математически формализуются в виде задач оптимального синтеза.Рассмотрим случай, когда линейная математическая модель объекта представлена системой разностных уравнений видаx[k + 1] = Ax[k ] + Bδ[k ] + Hf [k ] ,(1.3.19)то есть, в отличие от (1.3.1), здесь отсутствует уравнение динамики привода, ауправлением выступает вектор δ .Аналогично (1.3.5) – (1.3.7), введем многоцелевую структуру закона управления в следующей форме:z[k + 1] = Az[k ] + Bδ[k ] + G (y[k ] − Cz[k ]),ξ = F (q )(y − Cz ),(1.3.20)δ[k ] = K x z[k ] + ξ[k ].Настраиваемыми элементами данной структуры являются матрицы K x и G базового закона управления и асимптотического наблюдателя соответственно, атакже передаточная матрица F динамического корректора.Для замкнутой системы (1.3.19), (1.3.20) справедливы утверждения, аналогичные теоремам 1.1 и 1.2.

В следующей теореме формулируется условия, прикоторых замкнутая система обладает свойством астатизма.Т е о р е м а 1 . 4 . Пусть замкнутая система (1.3.19), (1.3.20) являетсяасимптотически устойчивой. Тогда для обеспечения астатизма замкнутой системы по вектору y достаточно, чтобы матрица E n − A − BK x была невырожденной, и выполнялось условиеBF (1)C = A + BK x − E − GC .(1.3.21)Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 1.3, нетрудно показать, что в положении равновесия справедливо равенствоε 0 = (E n − A + GC) −1 Hf 0 ,где ε[k ] = x[k ] − z[k ] .

Следовательно, вектор ε 0 можно трактовать в дальнейшемкак внешнее возмущение.36Используя введенные ранее обозначения, запишем уравнения замкнутойсистемы (1.3.19), (1.3.20), рассматриваемые в положении равновесия. В результате получимx 0 = Ax 0 + Bδ 0 + Hf 0 ,z 0 = Az 0 + Bδ0 + GCε 0 ,δ 0 = K x z 0 + F (1)Cε 0 .Подставляя третье уравнение во второе, находим−1z 0 = (E n − A − BK x ) (BF (1)C + GC)ε 0 .(1.3.22)С учетом (1.3.2) и (1.3.22) приходим к следующему выражению, которое связывает вектор ε 0 , характеризующий возмущение, и вектор y 0 :y 0 = C[E n + (E n − A − BK x ) −1 (BF (1)C + GC )]ε 0 .Тогда для обеспечения астатизма достаточно, чтобы выполнялось условиеE n + (E n − A − BK x ) −1 (BF (1)C + GC ) = 0 n .В результате получаем следующее матричное уравнение относительно искомойматрицы F (1) :BF (1)C = A + BK x − E − GC .Итак, для обеспечения астатизма замкнутой системы (1.3.19), (1.3.20) достаточно, чтобы выполнялось условие (1.3.21).

■Перейдем к рассмотрению многоцелевой структуры цифровых законовуправления для нелинейных моделей динамики подвижного объекта.Пусть нелинейная математическая модель динамики объекта представленасистемой разностных уравнений (1.2.13). Дополним ее уравнениями измерений(1.3.2). Рассмотрим для данной модели многоцелевую структуру законов управления, включающую следующие элементы:1) нелинейный асимптотический наблюдательz[k + 1] = z[k ] + TF (z[k ], δ[k ]) + G (y[k ] − Cz[k ]) ;(1.3.23)2) линейный динамический корректорξ = F (q )(y − Cz ) ;(1.3.24)373) управляющий сигналu[k ] = K x z[k ] + K δδ[k ] + ξ[k ] .(1.3.25)Замечание. В уравнение асимптотического наблюдателя (1.3.23) не входятоценки внешних возмущений. При этом полагается, что возмущения носят случайный стационарный характер с нулевым средним значением. Но, кроме данного варианта, возможно также использование асимптотического наблюдателя, вкоторый входят оценки внешних возмущений [84, 85, 90].

В этом случае наблюдатель имеет видz[k + 1] = z[k ] + T F(z[k ], δ[k ], fout ) + G (y[k ] − Cz[k ]) ,где f out – оценки внешних возмущений, формируемые с использованием вектораизмерений y .Отметим, что обеспечить глобальную сходимость к нулевому вектору невязок ε для нелинейного наблюдателя (1.3.23) как и глобальную асимптотическуюустойчивость замкнутой системы (1.2.13), (1.3.23) – (1.3.25), в общем случаекрайне затруднительно.

Это связано с тем, что в настоящее время не существуетуниверсальных методов анализа и синтеза нелинейных наблюдателей и нелинейных законов управления, в отличие от систем линейного приближения.Как показано выше, выполнив линеаризацию уравнений динамики объектав окрестности некоторого контролируемого движения, можно гарантировать локальную асимптотическую устойчивость замкнутой нелинейной системы.Тем не менее, в ряде частных ситуаций существуют универсальные подходы к анализу и синтезу нелинейных наблюдателей и законов управления в локальном аспекте. Например, если правые части в уравнениях динамики объектапредставлены однородными функциями, то для анализа устойчивости замкнутыхсистем можно использовать методы, представленные в работах [1 – 4].

Другимвариантом являются методы, связанные с понятием K-экспоненциальной устойчивости [114], хотя их применение также возможно только в частных ситуациях.Одним из известных подходов к синтезу нелинейных законов управления,38используемых в диссертации, является метод линеаризации обратной связью, детально изложенный в монографии [156]. Его удобно использовать в том случае,когда математическая модель подвижного объекта представлена системой нелинейных разностных уравненийx[k + 1] = Ax[k ] + g(y[k ]) + u[k ] .(1.3.26)При этом закон управления удобно формировать в видеu[k ] = −g (y[k ]) + v[k ] ,(1.3.27)компенсируя нелинейную часть и вводя новое управление v .

В этом случае замкнутая система (1.3.26), (1.3.27) становится линейной и для нее применимы универсальные подходы к анализу и синтезу линейных систем с обратной связью[27].Среди методов анализа устойчивости замкнутых нелинейных систем, которые далее будут использоваться в диссертации, отметим подход, применимый ккаскадным системам. Общая структура их моделей имеет следующий вид [134]:S1 : x&1 = f1 (t , x1 ) + g (t , x1 , x2 )x2 ,S 2 : x&2 = f 2 (t , x2 ).(1.3.28)Здесь x1 и x2 – векторы состояния систем S1 и S 2 соответственно.

В работе [134]приведены достаточные условия глобальной равномерной асимптотической устойчивости каскадного соединения.В рамках данной работы будут рассматриваться нелинейные модели подвижных объектов как в варианте (1.2.13), так и в варианте (1.2.14). Для второговарианта введем многоцелевую структуру цифрового закона управления, включающую следующие элементы:1) нелинейный асимптотический наблюдательMz v [k + 1] = Mz v [k ] − TC(z v [k ])z v [k ] − TD(z v [k ])z v [k ] − T g (z η [k ])+ T τ[k ] + T R T ( η[k ])K1 ( η[k ] − z η[k ]),z η[k + 1] = z η[k ] + T R (z η[k ])z v [k ] + TK 2 ( η[k ] − z η [k ]);2) линейный динамический корректор(1.3.29)39ξ = F (q )( η − z η ) ;(1.3.30)τ[k ] = R T ( η)K p z η [k ] + K v z v [k ] + ξ[k ].(1.3.31)3) закон управленияНастраиваемыми параметрами многоцелевой структуры (1.3.29) – (1.3.31)являются матрицы K1 и K 2 асимптотического наблюдателя, матрицы K p и K νбазового закона управления и передаточная матрица F динамического корректора.Отметим, что как и для предшествующего случая, не существует универсальных методов анализа устойчивости замкнутой системы (1.2.14), (1.3.29) –(1.3.31) и синтеза нелинейных законов управления, обеспечивающих выполнениевсех требований к качеству динамики.Тем не менее, для ряда частных ситуаций в рамках модели (1.2.14) в опубликованной литературе предлагаются методы анализа и синтеза с гарантиейасимптотической устойчивости в непрерывном времени.

Например, для задачидинамического позиционирования модель подвижного объекта и многоцелеваяструктура закона управления имеют следующую более простую форму, по сравнению с общими уравнениями:Mν[k + 1] = Mν[k ] − TDν[k ] + Tτ[k ] + Td[k ],η[k + 1] = η[k ] + TR ( η[k ]) ν[k ],Mz v [k + 1] = Mz v [k ] − TDz v [k ] + τ[k ] + R T ( η[k ])K1 ( η[k ] − z η[k ]),z η[k + 1] = z η[k ] + TR ( η[k ])z v [k ] + K 2 ( η[k ] − z η [k ]),τ[k ] = R T ( η[k ])K p z η [k ] + K v z v [k ] + F (q )( η[k ] − z η [k ]).В работе [164] приведены условия, при выполнении которых обеспечиваются необходимые требования к динамике замкнутой системы для случая непрерывного времени, включая устойчивость, астатизм и фильтрующие свойства канала управления.В основных главах диссертации рассматриваются конкретные частные варианты математических моделей подвижных объектов и осуществляется конкре-40тизация решаемых задач синтеза цифровых обратных связей с многоцелевойструктурой как в линейном, так и в нелинейном вариантах.1.4.

Обзор литературы по теме исследованияОсновополагающими трудами, в которых представлены формализованныеподходы к аналитическому синтезу законов управления подвижными объектами,являются труды В. И. Зубова [37 – 39], А. М. Летова [50 – 52], А. А. Красовского[44, 45].