Диссертация (Многоцелевые законы цифрового управления подвижными объектами), страница 5

Обычно в практических задачах функция Fδ (δ, u ) задаетсяследующими уравнениями:δ& u = fu (u ), δ = f δ (δu ),fu (u ) = sat (u, u 0 ), f δ (δu ) = sat (δu , δ 0 ).(1.2.4)Здесь δ u ∈ E m – вспомогательный вектор, векторы u 0 и δ 0 задают ограниченияна отдельные компоненты векторов u и δ соответственно, а fu и f δ – функциитипа «срезка»:23 x, если x ≤ x0 ;sat ( x, x0 ) =  x0sign ( x), если x > x0 .При анализе устойчивости по Ляпунову и при синтезе стабилизирующихалгоритмов управления особую роль играют линейные модели, представляющиединамику объекта управления в окрестности некоторого контролируемого движения.Пусть векторные функции x = x p (t ) , δ = δ p (t ) , f out = f p (t ) определяют контролируемое движение, удовлетворяющее системе уравнений (1.2.2). Введем обозначения для отклонений от указанного движения:x(t ) = x(t ) − x p (t ) , δ (t ) = δ(t ) − δ p (t ) , f (t ) = f out (t ) − f p (t ) .(1.2.5)Подставляя (1.2.5) в (1.2.2), получим динамику объекта в отклоненияхx& = G (x, δ , f ) .(1.2.6)Выполним линеаризацию уравнений (1.2.6) в малой окрестности контролируемого движения.

При этом будем предполагать, что все нелинейности, исключая нелинейности привода (1.2.3) – (1.2.4), в окрестности рассматриваемых контролируемых движений являются непрерывно дифференцируемыми функциями по совокупности аргументов. В результате линеаризации получим систему линейныхдифференциальных уравненийx& = A (t ) x + B(t ) δ + H(t )f ,(1.2.7)матрицы которой определяются равенствами ∂G  ∂G  ∂G A(t ) =  i , B(t ) =  i , H (t ) =  i , ∂x j x = 0, δ = 0,f = 0 ∂f s x = 0, δ = 0,f = 0 ∂ δk  x = 0 , δ = 0 , f = 0где i = 1, n , j = 1, n , k = 1, m , s = 1, l , причем n = dim(x) , m = dim(δ ) , l = dim(f ) .

Вдальнейшем будем считать, что уравнения исходной модели (1.2.2) и контролируемое движение таковы, что матрицы A , B и H в уравнениях (1.2.7) не зависятот времени.Если в качестве управления выступает вектор u и динамика привода описывается уравнениями (1.2.4), то в линейном приближении указанные уравнения24с очевидностью сводятся к следующей упрощенной форме:δ& = u ,(1.2.8)где u (t ) = u(t ) − u p (t ) – отклонение от контролируемого управления.Второй подход к выводу уравнений динамики подвижных объектов основан на использовании уравнений Лагранжа второго рода.

Существо данного подхода состоит в том, что для подвижного объекта составляется функция ЛагранжаL = T −V ,где T – кинетическая, а V – потенциальная энергия объекта, а затем записывается уравнение Лагранжаd ∂L ∂L−=τ.dt ∂η& ∂η(1.2.9)Здесь η – вектор обобщенных координат объекта. Если он свободно перемещается в пространстве и имеет шесть степеней свободы, тоη = (xyz ϕ θ ψ) ,T(1.2.10)где ( x, y, z ) – положение центра масс, а (ϕ, θ, ψ ) – угловая ориентация объекта впространстве.

Вектор τ в уравнениях (1.2.9) обозначает обобщенные силы и моменты, действующие на объект. С учетом (1.2.10) уравнения (1.2.9), записанныепокомпонентно, представляют собой систему из 6 дифференциальных уравненийвторого порядка.Используя известные законы теоретической механики, в общем случае наоснове уравнений (1.2.9) приходим к следующей системе дифференциальныхуравнений, описывающих динамику подвижного объектаMν& + C( ν ) ν + D( ν ) ν + g( η) = τ + τ e ,η& = R( η) ν.(1.2.11)Здесь ν ∈ E 6 – вектор линейных и угловых скоростей в проекциях на оси связанной системы координат, τ ∈ E 6 – вектор управляющих сил и моментов, τ e ∈ E 6 –вектор внешних воздействий, R (η) – матрица преобразования координат, g (η) –вектор гравитационных сил и моментов, E 6 – евклидово пространство.

При этом25матрицы в уравнениях (1.2.11) обладают следующими свойствами:а) M = M T > 0 – положительно-определенная симметрическая матрицаинерции;б) C( ν ) = −CT ( ν ) – кососимметрическая матрица, а слагаемое C(ν )ν имеетинерционную природу;в) D(ν ) > 0 – положительно-определенная матрица демпфирования, а слагаемое D(ν )ν определяется взаимодействием с внешней средой.В качестве примера, ниже приведена математическая модель, рассматриваемая в задаче динамического позиционирования морского суднаMν& = −Dν + τ + τ e ,η& = R ( η) ν.(1.2.12)Подробно данная модель описывается в последующих главах.

Заметим, что модель является нелинейной в силу наличия матрицы поворота R (η) .Отметим, что математические модели динамики подвижных объектов,представленные в форме (1.2.2), (1.2.3) и (1.2.7) традиционно используются в отечественной литературе [9, 19, 29, 34, 53]. При этом модели вида (1.2.11), построенные на основе уравнений Лагранжа второго рода, более популярны в иностранных научных публикациях [108, 109, 111, 143, 154, 155, 159]. Следует отметить,что эти модели изначально широко использовались для описания динамики роботов-манипуляторов [159], а позднее были приняты в качестве основы для моделирования динамики подвижных объектов, в том числе морских судов [109, 143].

Всвязи с отмеченным обстоятельством математические модели (1.2.11) применительно к морским судам иногда называют робото-подобными (robot-like).В настоящее время практически повсеместно для реализации алгоритмовуправления на борту подвижных объектов используются цифровые вычислительные устройства.

Это означает, что управляющие сигналы, вычисляемые с их помощью, по своей природе являются дискретными как по времени, так и по уровню. При наличии процессоров и шин передачи данных с высокой разрядностью,26дискретностью по уровню сигналов обычно пренебрегают. В силу этого обстоятельства далее будем трактовать цифровые системы, как дискретные по времени.Существует три принципиально различных подхода к синтезу алгоритмовуправления подвижными объектами. Первый из них состоит в синтезе управления для моделей вида (1.2.2) и (1.2.11), представленных в непрерывном времени.Полученные таким образом законы управления для непрерывных систем подлежат дискретизации по времени при реализации на борту. Это порождает различные неточности, которые могут оказаться достаточно существенными для ухудшения качества динамических процессов в замкнутой системе.Второй подход ориентирован на учет гибридного характера системы управления – динамика подвижного объекта реализуется в непрерывном времени, ауправление, в силу реализации на цифровых устройствах, – в дискретном.

Этомуподходу, в частности, уделяется существенное внимание в работах Е.Н. Розенвассера [149], [150]. Учет объективно существующей гибридности системы являетсяидеологически наиболее правильным, но требует использования крайне трудоемкого математического аппарата, связанного с концепцией параметрической передаточной функции, и не является универсальным. Следует признать, что применение данного подхода приводит к неоправданному усложнению процедуры синтеза при негарантированном улучшении качества процессов в замкнутой системе.Третий подход, которому посвящено диссертационное исследование, связанс использованием в качестве основы для синтеза управления математической модели объекта, представленной системой разностных уравнений. То есть изначально как динамика самого объекта, так и алгоритмы управления представляются в цифровом варианте.

Данный подход наиболее естественно учитывает дискретный по времени характер функционирования цифровой системы управления.Для получения разностных уравнений, представляющих динамику подвижных объектов, можно использовать различные численные методы интегрирования дифференциальных уравнений вида (1.2.2) и (1.2.11). Тем не менее, на практике наиболее часто используется наиболее простая численная схема – метод Эй-27лера. Это связано, прежде всего, с возможностью аналитического представлениясоответствующих уравнений динамики, что позволяет выполнить анализ устойчивости замкнутой системы и ее качества.

Тем не менее, отметим, что в каждомконкретном случае применение метода Эйлера должно быть специально обосновано.Выполним дискретизацию на основе метода Эйлера с шагом T системыдифференциальных уравнений (1.2.2), (1.2.3). В результате получим систему разностных уравнений в рекурсивной формеx[k + 1] = x[k ] + TF(x[k ], δ[k ], f out [k ]),δ[k + 1] = δ[k ] + TFδ (δ[k ], u[k ]),(1.2.13)где k = 0,1,2,...

– номер такта или момент дискретного времени. Второе уравнениенеобходимо рассматривать, если привод исполнительных органов имеет собственную динамику, подлежащую особому учету.Аналогично, для модели (1.2.11) соответствующие уравнения движения,представленные в разностной форме, имеют видMν[k + 1] = Mν[k ] − TC(ν[k ])ν[k ] − TD(ν[k ])ν[k ] −η[k + 1] = η[k ] + TR (η[k ])ν[k ].− Tg (η[k ]) + Tτ[k ] + Tτ e [k ],(1.2.14)Уравнения вида (1.2.13) и (1.2.14) в дальнейшем рассматриваются в качестве основы для синтеза законов управления.

Заметим, что поскольку матрица Mявляется невырожденной, то уравнения (1.2.14), после обращения матрицы M ,приводятся к виду (1.2.13).Рассмотрим уравнения линейного приближения, которые описывают динамику объекта в отклонениях от контролируемого движения. Для этого выполнимдискретизацию уравнений вида (1.2.7), где матрицы A , B и H не зависят от времени. В результате получимx[k + 1] = Ax[k ] + B δ[k ] + Hf [k ] ,(1.2.15)где A, B и H – постоянные матрицы, определяемые используемым численнымметодом дискретизации. В частности, при переходе от непрерывной модели28(1.2.7) к дискретной модели (1.2.15) методом Эйлера, матрицы A, B и H имеютследующий вид: A = E + TA , B = T B , H = T H , где T – шаг дискретизации. Еслидополнительно рассматриваются уравнения динамики исполнительных органов,то с учетом (1.2.8) получимδ[k + 1] = δ[k ] + T u[k ] .(1.2.16)В этом случае полная линейная модель определяется уравнениями (1.2.15) и(1.2.16).1.3.

Многоцелевая структура цифровых законов управленияВ данном параграфе рассматривается многоцелевая структура цифровыхзаконов управления в двух вариантах – для линейной и нелинейной моделей динамики подвижного объекта.Рассмотрим линейную математическую модель, представляющую динамикуобъекта в отклонениях от контролируемого движения и заданную системой разностных уравнений (1.2.15), (1.2.16).