Диссертация (Многоцелевые законы цифрового управления подвижными объектами), страница 10

2.1.1. Блок-схема замкнутой линейной системы в представлении (2.1.8).В качестве второй системы выступает динамический корректор с искомойпередаточной матрицей F ( z ) .И, наконец, передаточная матрица третьей системы может быть легко найдена на основании уравненийz[k + 1] = Az[k ] + Bδ[k ] + Gζ[k ],δ[k + 1] = T Kz[k ] + (TK 0 + E m )δ[k ] + Tνζ[k ] + Tξ[k ],y1[k ] = δ[k ],(2.1.10)y 2 [k ] = y[k ] = Cz[k ] + ζ[k ],представленных в tf-форме y1 ζ  = P( z )  .ξ y2 Действительно, непосредственно из (2.1.10) имеем:B Az   = E n + m z − δ  TK TK 0 + E m  −1 G 0 n× m  ζ   . Tν TE m  ξ (2.1.11)Введем обозначения для элементов обратной матрицы в (2.1.11):B AEz− n+m TKTKE+0m−1 α ( z ) α12 ( z )  ,≡  11 α 21 ( z ) α 22 ( z ) (2.1.12)и будем далее считать, что нам известны блоки α11 , α12 , α 21 и α 22 с дробнорациональными компонентами и соответствующими размерностями.При этом на основании (2.1.11) и в соответствии с уравнениями выхода для53системы (2.1.10) имеемy1 = δ = P1 ( z )ζ + P2 ( z )ξ,(2.1.13)y 2 = y = P3 ( z )ζ + P4 ( z )ξ,где матрицы Pi ( z ) (i = 1,4) с дробно-рациональными компонентами являются бло-ками передаточной матрицы P (z ) системы (2.1.10): P ( z ) P2 ( z ) P( z ) =  1 , P1 ( z ) = α 21 ( z )G + α 22 ( z )Tν , P2 ( z ) = α 22 ( z )T , P3 ( z ) P4 ( z ) (2.1.14)P3 ( z ) = E m + C[α11 ( z )G + Tα12 ( z ) ν ] , P4 ( z ) = Cα12 ( z )T .Соотношения (2.1.13), (2.1.14) далее будем трактовать, как уравнения замкнутой системы с включенным динамическим корректором.Если же фильтр выключен, то, соответственно, его выходная переменнаяобнуляется, т.е.

ξ (t ) ≡ 0 в уравнениях (2.1.13).Получим явные выражения для передаточных матриц P1 ( z ) и P2 ( z ) в(2.1.13), рассматривая уравнения вспомогательной DLTI-системы со входами ζ ,ξ , выходом y1 = δ и вектором состояния (z TδT ) ∈ E n + m :Tz[k + 1] = Az[k ] + Bδ[k ] + Gζ[k ],δ[k + 1] = T Kz[k ] + (TK 0 + E m )δ[k ] + Tνζ[k ] + Tξ[k ],(2.1.15)y1[k ] = δ[k ],Представим систему (2.1.15) в z-изображениях, используя введенные ранее обозначения:δ = P1 ( z )ζ + P2 ( z )ξ,(2.1.16)где, в соответствии с формулами Крамера,P1 ( z ) =−BE z − AΔ1 ( z )Δ ( z) ,, P2 ( z ) = 2 , ∆ ( z ) = det n−TKEz−TK−E∆( z )∆( z )m0mпричем ∆ ( z ) – это шуровский полином.

Полиномиальные матрицы Δ1 ( z ) и Δ 2 ( z )определяются следующими формулами:Δ1 ( z ) = ∆ ( z )(0 n−BE z − AE m ) nE m z − TK 0 − E m  − TK−1G  , Tν (2.1.17)54−BE z − AE m ) nE m z − TK 0 − E m  − TKΔ 2 ( z ) = ∆ ( z )(0 n−1 0  . TE m Учитывая, что входная переменная ξ удовлетворяет условию (2.1.3), в соответствии с (2.1.9) имеемδ = P1 ( z )ζ + P2 ( z )ξ = [P1 ( z ) + P2 ( z )F( z )]H ε ( z )d ==1[Δ1 ( z ) + Δ 2 ( z )F( z )]H ε ( z )d.∆( z )(2.1.18)Совершенно аналогично находимy = P3 ( z )ζ + P4 ( z )ξ = [P3 ( z ) + P4 ( z )F( z )]H ε ( z )d ==1[Δ 3 ( z ) + Δ 4 ( z )F( z )]H ε ( z )d.∆( z )(2.1.19)Теперь перейдем к рассмотрению второго вопроса.В данной главе исследуется динамика замкнутой системы, находящейся поддействием внешних возмущений d = {d[k ]}, определяемых морским волнением.Математические модели волнения подробно представлены в широко известныхработах [9, 29, 34].При движении судов в режиме стабилизации на длительных промежуткахвремени (от нескольких часов, до нескольких суток) в подавляющем большинствеслучаев предполагается, что возмущение d = {d[k ]} является случайным стационарнымl -мерным процессом гауссовского типа с известной матрицейS d ( z ) ( z = e jω ) спектральных плотностей мощности.Для плавания судов в условиях волнения центральная роль в оценке качества принадлежит характеристикам точности и интенсивности работы управления.Первая из них определяет меру отклонения компонент вектора y = {y[k ]} контролируемых переменных от нулевых значений, а вторая – аналогичную меру длякомпонент вектора δ = {δ[k ]} управляющих воздействий.

Эти меры можно определить различными способами, задавая на движениях (2.1.18), (2.1.19) замкнутойсистемы функционалы J y ≥ 0 и J δ ≥ 0 таким образом, чтобы с увеличением точ-55ности и уменьшением интенсивности управления их значения соответственноубывали.Заметим, что если замкнутая система устойчивая, то для указанных случайных процессов d = {d[k ]} векторные последовательности y = {y[k ]} и δ = {δ[k ]} ,определяемые равенствами (2.1.18), (2.1.19), также будут случайными стационарными процессами гауссовского типа.При этом, считая матрицу S d (z ) для возмущения заданной, можно найтиматрицы S y (z ) и S δ (z ) спектральных плотностей мощности процессов y и δ соответственно по известным [41] формуламS y ( z ) = Fdy ( z , F )S d ( z )FdyT ( z −1 , F ) ,(2.1.20)S δ ( z ) = Fdδ ( z , F)S d ( z )FdTδ ( z −1 , F) , z = e jω .Здесь в соответствии с (2.1.18) и (2.1.19) использованы обозначения1[Δ3 ( z ) + Δ 4 ( z )F( z )] H ε ( z ),∆( z )1[Δ1 ( z ) + Δ 2 ( z )F( z )] H ε ( z ).Fdδ ( z , F ) =∆( z )Fdy ( z , F ) =(2.1.21)В рамках указанных условий естественно ввести функционалы J y и J δ какобобщённые дисперсии процессов y и δ соответственно:О п р е д е л е н и е 2 .

1 . Характеристикой точности замкнутой системы(2.1.1)÷(2.1.3) при работе на волнении, будем называть функционал1J y = J y (F ) = y y = limN →∞ NTjπjπ∫∫N∑yT[k ]y[k ] =(2.1.22)k =01111T=tr[Fdy ( z, F)S d ( z )Fdy( z −1 , F)] dz ,tr[S y ( z )] dz =zz2πj − jπ2πj − jπа характеристикой интенсивности управления для этой же замкнутой системы –функционал1J δ = J δ (F ) = δ δ = limN →∞ NTN∑δk =0T[k ]δ[k ] =(2.1.23)56jπjπ∫∫1111=tr[Fdδ ( z, F)S d ( z )FdTδ ( z −1 , F)] dz .tr[S δ ( z )] dz =zz2πj − jπ2πj − jπОбратим внимание на тот факт, что, при прочих фиксированных элементахзакона управления (2.1.2), (2.1.3) с многоцелевой структурой, значения введенныхфункционалов зависят от выбора передаточной матрицы F динамического корректора, т.е.

J y = J y (F ) и J δ = J δ (F) .Как было отмечено выше, третьим вопросом, подлежащим обсуждению,является задание допустимого множества этих передаточных матриц, определяемого комплексом обязательных требований, которые должны выполняться в любом режиме движения.Для введения этого множества, прежде всего, будем исходить из требования устойчивости замкнутой системы, которое, как было показано в главе 1, будет выполняться только при условии асимптотической устойчивости корректора.Второе требование состоит в обеспечении астатизма замкнутой системы(2.1.1)÷(2.1.3) по вектору y относительно возмущения d , определяемого постоянными ветровыми воздействиями.

И, наконец, третье требование состоит в априорной ограниченности интенсивности управления на волнении, что определяется как стремлением к экономии бортовых ресурсов, так и желанием не выходить за пределы области линейности для приводов исполнительных органов.В итоге будем считать, что функционалы J y = J y (F ) и J δ = J δ (F ) рассматриваются на допустимом множестве Ω F матриц F ( z ) с правильными дробнорациональными компонентами, имеющими шуровские знаменатели и обеспечивающими астатизм. Определим сужение Ω F 1 ⊂ Ω F указанного множества, вводяограничение на интенсивность управления:Ω F 1 = {F ∈ Ω F : J δ (F) ≤ δ z } ,(2.1.24)где δ z – заданная положительная константа.Теперь обратимся непосредственно к постановке формализованных задачнастройки корректоров в составе многоцелевой структуры для движения при57волнении.

Будем считать, что все элементы этой структуры заданы, кроме заранеене известной передаточной матрицы F ( z ) корректирующего устройства. Ее поискбудем осуществлять, исходя из необходимости достижения максимальной точности или максимальной экономичности процесса стабилизации судна в условияхволнения.Достижение максимальной точности стабилизации обычно обеспечиваетсяпри высоких скоростях хода, когда эффективность исполнительных органов достаточна для существенной компенсации внешних сил и моментов, порождаемыхволнением. Если при этом выбор матрицы F ( z ) = F01 ( z ) обеспечивает максимальную точность, то корректирующее устройство (2.1.3) с указанной передаточнойматрицей будем называть динамическим компенсатором.

Будем так же говорить, что при этом система управления движением функционирует в режиме«точный».Обеспечение максимальной экономичности процесса стабилизации имеетсмысл для любой скорости хода, однако особую значимость оно приобретает придвижении с малыми скоростями, когда исполнительные органы не справляются сволнением моря в наиболее значимом диапазоне частот. В любом случае приэтом основной целью является предельное снижение интенсивности работы рулей для экономии ресурса привода и снижения энергетических затрат.Если выбор матрицы F ( z ) = F02 ( z ) обеспечивает максимальную экономичность, то корректирующее устройство (2.1.3) с указанной передаточной матрицейбудем называть динамическим фильтром.