Диссертация (Многоцелевые законы цифрового управления подвижными объектами), страница 6

Для упрощения обозначений будем здесьиспользовать следующую форму записи этой модели:x[k + 1] = Ax[k ] + Bδ[k ] + Hf [k ],δ[k + 1] = δ[k ] + Tu[k ],(1.3.1)где x[k ] ∈ E n – вектор состояния, u[k ] ∈ E m – вектор управления, δ[k ] ∈ E m – отклонение исполнительных органов, f [k ] ∈ E l – вектор внешних возмущений. Дополним модель (1.3.1) уравнениемy[k ] = Cx[k ] ,(1.3.2)где y[k ] ∈ E r – вектор измерений.В общем случае построение законов управления для модели (1.3.1) осуществляют в виде регуляторовu = W (q ) y ,(1.3.3)где q – оператор сдвига на такт вперед. При этом в процессе синтеза поиску подлежит передаточная матрица W , которую удобно искать на основе оптимизаци-29онного подхода, решая задачу видаJ = J ( W ) → inf * .W∈Ω(1.3.4)Здесь J – функционал качества, заданный на движениях замкнутой системы(1.3.1), (1.3.3), а Ω* – допустимое множество передаточных матриц, определяемое совокупностью всех требований, предъявляемых к динамике процессов.

Отметим, что приведенная постановка оптимизационной задачи (1.3.4) являетсяслишком общей и сложной для практического применения. Это связано с тем, чтофункционал J , как правило, задается алгоритмически, а допустимое множествоΩ* является слишком узким с учетом всех требований, которые должна обеспе-чивать система управления. Выходом из этого положения служит априорная фиксация структуры закона управления с переходом к параметрической оптимизации.Рассмотрим многоцелевую структуру законов управления вида (1.3.3) длядискретного времени, включающую следующие элементы:а) уравнение асимптотического наблюдателяz[k + 1] = Az[k ] + Bδ[k ] + G (y[k ] − Cz[k ]) ;(1.3.5)б) уравнение динамического корректораξ = F (q )(y − Cz ) ;(1.3.6)в) уравнение управляющего сигналаu[k ] = K x z[k ] + K δδ[k ] + ξ[k ] .(1.3.7)Здесь z ∈ E n и ξ ∈ E m – вектор состояния наблюдателя и вектор выходных переменных корректора соответственно.

Настраиваемыми элементами многоцелевойструктуры (1.3.5) – (1.3.7), которые подлежат поиску в процессе синтеза, являются матрицы G , K x и K δ асимптотического наблюдателя и базового законауправления соответственно, а также передаточная матрица F (q ) динамическогокорректора. Поиск этих настраиваемых элементов, исходя из желаемых требований к динамике соответствующих режимов движения, составляет существо задачи многоцелевого синтеза.30Представим уравнение (1.3.6) динамического корректора в форме пространства состояний, полагая, что компонентами передаточной матрицы F служат правильные рациональные дроби:p[k + 1] = αp[k ] + β(y[k ] − Cz[k ]),ξ[k ] = γ p[k ] + μ(y[k ] − Cz[k ]).(1.3.8)Здесь p ∈ E n s – вектор состояния корректора, α, β, γ , μ – любые постоянные матрицы, удовлетворяющие тождествуγ (E n s z − α ) −1 β + μ ≡ F( z ) .(1.3.9)Важнейшей особенностью многоцелевой структуры является то, что поискее настраиваемых элементов может выполняться в определенном смысле последовательно.

Эта особенность обосновывается следующими базовыми утверждениями.Т е о р е м а 1 . 1 . Пусть собственные числа матриц A − GC и α , а такжекорни полинома−B Ez − A∆ K ( z ) = det  − TK x E m z − E m − TK δ расположены внутри единичного круга с центром в начале координат на комплексной плоскости.

Тогда замкнутая система (1.3.1), (1.3.5)–(1.3.7) являетсяасимптотически устойчивой.Доказательство этого утверждения так же, как и следующей теоремы, полностью аналогичны соответствующим доказательствам, приведенным в работах[19, 25, 28] для систем непрерывного времени.Обратимся к режиму собственного движения замкнутой системы, определяемой уравнениями (1.3.1) и базовым регулятором по состояниюu[k ] = K x (x[k ] − x* ) + K δδ[k ] ,(1.3.10)где x* ∈ E n – заданный командный сигнал, реализуемый в автоматическом режиме через обратную связь. Будем считать, что при отсутствии командного сигналаи внешнего возмущения (x* = 0, f = 0 ) замкнутая система имеет устойчивое нуле-31вое положение равновесия, а при ненулевом командном сигнале – соответствующее устойчивое ненулевое положение равновесия. Согласно Теореме 1.1, устойчивость обеспечивается, если все корни характеристического полинома ∆ K ( z )расположены внутри единичного круга.Применяя преобразование Лорана к уравнениям замкнутой системы (1.3.1),(1.3.10) при нулевых начальных условиях и отсутствии внешних возмущений(f ≡ 0 ) , получим z-изображения для динамических переменных в переходномпроцессе:−B x ( z )   Ez − A = −TKEz−E−TKδ(z) δxmmy ( z ) = Cx( z ).−10* ,−TKxx(1.3.11)Т е о р е м а 1 .

2 . Пусть замкнутая система (1.3.1), (1.3.5) – (1.3.7) является асимптотически устойчивой, и выполняются условия x[0] = z[0] , p[0] = 0 . Тогда собственное движение (1.3.11) замкнутой системы (1.3.1), (1.3.10) при отсутствии внешних возмущений тождественно совпадает с переходным процессом по отработке командного сигнала x* в замкнутой системе с объектом(1.3.1) и многоцелевым законом управленияz[k + 1] = Az[k ] + Bδ[k ] + G (y[k ] − Cz[k ]),p[k + 1] = αp[k ] + β(y[k ] − Cz[k ]),(1.3.12)u[k ] = K x (z[k ] − x* ) + K δδ[k ] + γp[k ] + μ(y[k ] − Cz[k ]).В следующей теореме формулируются условия, при которых обеспечивается астатизм замкнутой системы по вектору y .

Приведем вначале формальное определение астатизма.Определим на движениях замкнутой системы вспомогательную скалярнуюпоследовательность ρ = {ρ[k ]}, гдеρ[k ] = y[k ] − r y [k ] , k ∈ [0, ∞)(имеется в виду евклидова норма пространства E r ). Здесь r y [k ] – командный32сигнал по вектору y[k ] .Определение 1.1.

Будем говорить, что замкнутая система является астатической по вектору y контролируемых переменных, если для вспомогательнойпоследовательности ρ = ρ[k ] , формируемой на рассматриваемых движениях этойсистемы, справедливо равенство{ρ[k ]} = 0ρ 0 = limk →∞для любого ограниченного постоянного или медленно меняющегося внешнеговозмущения. При этом любой стабилизирующий регулятор, обеспечивающий астатизм, будем называть астатическим регулятором по вектору y .В дальнейшем, за исключением режима собственного движения, если это неоговорено особо, будем полагать, что r y [k ] = 0 , то есть командный сигнал по вектору y является нулевым.Т е о р е м а 1 . 3 .

Пусть замкнутая система (1.3.1), (1.3.5)–(1.3.7) являетсяасимптотически устойчивой. Тогда для обеспечения астатизма замкнутой системы по вектору y достаточно, чтобы матрицы K δ и E n − A + BK δ−1K x былиневырожденными, и выполнялось условиеBK δ−1F (1)C = GC + E − A + BK δ−1K x .(1.3.13)Доказательство. Рассмотрим уравнения замкнутой системы (1.3.1),(1.3.5) – (1.3.7) при действии постоянного внешнего возмущения f [k ] ≡ f 0 .

Введемвектор ε[k ] = x[k ] − z[k ] ошибки оценивания. С учетом (1.3.1) и (1.3.5) имеемε[k + 1] = ( A − GC)ε[k ] + Hf 0 .Отсюда получаем, что в положении равновесия справедливо равенствоε 0 = (E n − A + GC) −1 Hf 0 .(1.3.14)Из (1.3.14) следует, что вектор ε 0 можно трактовать в дальнейших рассужденияхкак возмущение.В положении равновесия должны выполняться равенстваδ[k + 1] = δ[k ] = δ 0 , z[k + 1] = z[k ] = z 0 , x[k + 1] = x[k ] = x 0 ,33где δ 0 , x 0 , z 0 – постоянные векторы.

Тогда, учитывая уравнение динамики привода в системе (1.3.1), получаемK x z 0 + K δδ 0 + F (1)Cε 0 = 0 .Отсюда следует выражениеδ 0 = −K δ−1K x z 0 − K δ−1F (1)Cε 0 .(1.3.15)Подставляя (1.3.15) в уравнение асимптотического наблюдателя (1.3.5), рассматриваемое в положении равновесия, находимz 0 = (E n − A + BK δ−1K x ) (GC − BK δ−1F (1)C)ε 0 .−1(1.3.16)С учетом (1.3.2) для вектора y 0 справедливо равенствоy 0 = Cx 0 = C(ε 0 + z 0 ).После подстановки (1.3.16) в данное выражение, получаемy 0 = C[E n + (E n − A + BK δ−1K x ) −1 (GC − BK δ−1F(1)C )]ε 0 .Следовательно, для обеспечения астатизма достаточно, чтобы выполнялось условие()E n + (E n − A + BK δ−1K x ) −1 GC − BK δ−1F (1)C = 0 n .(1.3.17)Тогда, после несложных преобразований, приходим к следующему матричномууравнению относительно искомой матрицы F (1) :BK δ−1F(1)C = GC + E n − A + BK δ−1K x .Итак, если выполнено условие (3.1.13), то при постоянном внешнем возмущениимногоцелевой закон управления (1.3.5) – (1.3.7) обеспечивает астатизм замкнутойсистемы по вектору y .

■Приведенные утверждения позволяют выполнять поиск настраиваемыхэлементов K x , K δ , G и F(q ) многоцелевой структуры (1.3.5) – (1.3.7) в следующей последовательности.I. Осуществляется поиск матриц K x и K δ базового закона (1.3.10), исходяиз требований к динамике собственного движения по отработке заданного командного сигнала. Кроме того, согласно теореме 1.1, указанные матрицы должны34быть такими, чтобы корни характеристического полинома ∆ K (z ) находилисьвнутри единичного круга.II.

Выполняется поиск матрицы G при невязках в асимптотическом наблюдателе (1.3.5). Обычно данная матрица выбирается так, чтобы обеспечить желаемые требования к динамике замкнутой системы при действии ступенчатых внешних возмущений. Для этого рассматривается переходный процесс при постоянном внешнем возмущении f [k ] ≡ f 0 в замкнутой системе с объектом (1.3.1) и законом управленияz[k + 1] = Az[k ] + Bδ[k ] + G (y[k ] − Cz[k ]),(1.3.18)u[k ] = K x z[k ] + K δδ[k ] + K ∆ (y[k ] − Cz[k ]),где K ∆ = F(1) – постоянная матрица, удовлетворяющая матричному уравнению(1.3.13). Согласно теореме 1.3 регулятор (1.3.18) обеспечивает астатизм по вектору y . При этом матрица G наблюдателя выбирается так, чтобы минимизироватьмаксимальныйэлементвведеннойвышепоследовательностиρ = {ρ[k ]},k = 0,1,2,...