Автореферат (Усреднение периодических и локально периодических эллиптических операторов)

На правах рукописиСеник Никита НиколаевичУсреднениепериодических и локально периодическихэллиптических операторов01.01.03 — «Математическая физика»Авторефератдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург2017Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.Научный руководитель:Суслина Татьяна Александровна,доктор физико-математических наук,доцент, профессор кафедры высшей математики и математической физики Санкт-Петербургского государственного университетаОфициальные оппоненты:Борисов Денис Иванович,доктор физико-математических наук,профессор, ведущий научный сотрудникИнститута математики с вычислительнымцентром Уфимского научного центра РАНСмышляев Валерий Павлович,кандидат физико-математических наук,профессор Университетского колледжаЛондонаВедущая организация:Институт проблем машиноведения РАНЗащита состоится «29» марта 2018 г. в 17 часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском государственномуниверситете по адресу: Санкт-Петербург, Средний пр., д.

41/43, ауд. 304.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького СПбГУ и на сайте https://disser.spbu.ru.2018 г.Автореферат разослан « »Ученый секретарьдиссертационного совета,д. ф.-м. н.Аксёнова Елена ВалентиновнаОбщая характеристика работыАктуальность темы. Вопросы, которые сейчас относят к теории усреднения, в науке возникли достаточно давно и ставились еще в работахС. Д.

Пуассона, Дж. К. Максвелла, Р. Клаузиуса и Дж. В. Рэлея. Однако прошло немало времени, прежде чем появились очертания математическистрогой теории. Самые первые шаги в этом направлении были сделаныв середине 60-х годов прошлого века, когда В. А. Марченко и Е. Я. Хрусловрассмотрели модельную задачу с мелкозернистой границей, а С. Спаньоло и Э. де Джорджи ввели понятие G -сходимости. В дальнейшем даннаятематика интенсивно разрабатывалась и расширялась, значительныйвклад в ее развитие внесли многие математики, среди которых Н.

С. Бахвалов, Ж.-Л. Лионс, Ф. Мюра, Л. Тартар, В. В. Жиков, О. А. Олейник и др.Один из наиболее важных разделов теории усреднения изучает поведение решений дифференциальных уравнений с быстро осциллирующимикоэффициентами. Такие уравнения описывают различные физическиепроцессы в сильно неоднородных средах. С математической точки зрения удобнее рассматривать не одну задачу, а целое семейство, котороепараметризовано величиной, характеризующей степень неоднородностисреды.

Часто оказывается, что чем более неоднородной является среда, тем сильнее протекающий в ней процесс походит на аналогичныйпроцесс в однородной «эффективной» среде. Это выражается в том, чтопоследовательность решений исходного семейства уравнений сходитсяк решению задачи с медленно меняющимися (или даже постоянными)коэффициентами.Интерес представляет не только доказательство самой сходимости, нои нахождение соответствующей скорости.

Операторные оценки погрешности позволяют достичь обеих целей сразу: с одной стороны, установить самый сильный тип операторной сходимости, а с другой — определить ее скорость.Внимание к результатам подобного рода привлекла работа М. Ш. Бирмана и Т. А. Суслиной1 , и с того времени данное направление активноразвивается2 . Сейчас уже достаточно хорошо изучены задачи усреднения для эллиптических операторов второго порядка, коэффициентыкоторых периодичны по каждой переменной. Помимо скорости сходимо1 M. Birman, T. Suslina, in Systems, Approximations, Singular Integral Operators, and Related Topics,A. A.

Borichev and N. K. Nikolski, eds., Birkhäuser, Basel, 2001, pp. 71–107.2 В. В. Жиков, С. Е. Пастухова, УМН, 71 (2016), № 3, с. 27–122.3сти резольвенты (через которую решение исходной задачи выражается)в равномерной операторной топологии на L 2 , была найдена поправка,улучшающая сходимость, а также получено приближение к резольвентепо «энергетической» операторной норме.Об операторных приближениях и оценках погрешности для более общих задач, в которых коэффициенты периодичны относительно решеткинеполного ранга или локально периодичны, известно намного меньше.Именно таким вопросам и посвящена данная работа.Степень разработанности темы исследования.

Задача усреднениядля простейшего оператора с коэффициентами, периодическими лишьпо некоторым переменным, была рассмотрена в статье Т. А. Суслиной3 .Скалярный эллиптический оператор второго порядка действовал в многомерном цилиндре Rd1 × Td2 , а его коэффициенты предполагались периодическими быстро осциллирующими вдоль оси цилиндра и достаточногладкими медленно меняющимися — на сечении.

Для резольвенты была установлена сходимость по операторной норме на пространстве L 2и получена оценка скорости сходимости — но только при условии, чтоматрица старших коэффициентов имеет блочно-диагональную структуру.Как показано в одной из последующих работ4 , аналогичный результатсправедлив и в случае, когда вместо тора Td2 — пространство Rd2 .Позднее С. Е. Пастухова с Р. Н.

Тихомировым5 и Д. И. Борисов6 обратились к эллиптическим операторам второго порядка (как скалярным,так и некоторым матричным) в пространстве Rd с достаточно регулярными локально периодическими коэффициентами. В своих статьях они нетолько доказали сходимость резольвенты по операторной норме на L 2 ,но также нашли приближение к ней по операторной норме из L 2 в H 1 .Цель диссертационной работы — получить операторные приближения для резольвенты эллиптических операторов с быстро осциллирующими периодическими или локально периодическими коэффициентами.Приведем результаты, которые выносятся на защиту.Во-первых, была изучена периодическая задача усреднения для матричного сильно эллиптического оператора в Rd , старшая часть которогозадается выражением − div A(x 1/ε, x 2 )∇. Здесь x = x 1 ⊕ x 2 ∈ Rd и функция Aявляется периодической по первому аргументу и липшицевой — по вто3456Т.

А. Суслина, Алгебра и анализ, 16 (2004), № 1, с. 269–292.R. Bunoiu, G. Cardone, T. Suslina, Math. Meth. Appl. Sci., 34 (2011), no. 9, pp. 1075–1096.С. Е Пастухова, Р. Н. Тихомиров, Докл. РАН, 415 (2007), № 3, с. 304–309.Д. И. Борисов, Алгебра и анализ, 20 (2008), № 2, с. 19–42.4рому. Оператор также может включать младшие члены с коэффициентами из довольно общих классов мультипликаторов между пространствамиСоболева. Не исключен полностью периодический случай, когда x = x 1 .Для резольвенты при ε → 0 найдены два старших члена в приближениипо операторной норме на L 2 , а также старший член в приближении пооператорной норме из L 2 в H 1 . Каждое приближение сопровождаетсяточной по порядку оценкой погрешности.Во-вторых, была изучена локально периодическая задача усреднениядля матричного сильно эллиптического оператора − div A(x, x /ε)∇ в Rd .Функция A здесь предполагается гёльдеровой по первому аргументу с показателем s ∈ [0, 1] и периодической — по второму.

Для резольвенты приε → 0 найдены два старших члена в приближении по операторной нормена L 2 , а также старший член в приближении по операторной норме изL 2 в H r , где r ∈ (0, 1), если s < 1, и r ∈ (0, 1], если s = 1. При s > 0 установлены оценки соответствующих погрешностей; они зависят от гладкостифункции A и являются точными по порядку, когда s = 1.Данные результаты являются новыми. Прежде подобные приближения доказывались только при значительно более сильных ограниченияхна коэффициенты. Так, условие полуограниченности оператора сейчасзаменяется на условие слабой коэрцитивности, что позволяет рассмотреть не только самосопряженные операторы, но и m -секториальные.Ослабляется также требование к гладкости коэффициентов по «медленной» переменной, и вместо липшицевости теперь достаточно гёльдеровости.

Наиболее тонким результатом является двухчленное приближениедля резольвенты в операторной топологии на пространстве L 2 , котороебыло известно ранее лишь в полностью периодическом случае.Методика исследования. Идеи, используемые для изучения общихпериодических операторов, с одной стороны, и локально периодическихоператоров с липшицевыми по «медленной» переменной коэффициентами — с другой, во многом похожи. Процесс усреднения строится вокругспециального операторного тождества, включающего резольвенты исходного и эффективного операторов, а также некоторый корректор. Обосновать сходимость резольвенты удается благодаря тому, что старшиевклады в тождестве сокращаются, а скорость сходимости получается,если аккуратно оценить оставшиеся слагаемые. Отметим, что подобная«операторная» точка зрения вообще была характерна для абстрактноготеоретико-операторного подхода М.

Ш. Бирмана и Т. А. Суслиной; в тоже время использование конкретного первого приближения сближает5проводимые здесь рассуждения с подходами Ж. Гризо и В. В. Жикова иС. Е. Пастуховой.С помощью сглаживания функции A приближение для локально периодического оператора с «гёльдеровыми» коэффициентами сводитсяк такому же вопросу для оператора с «липшицевыми» коэффициентами. Это позволяет далее применить уже известные оценки и получитьискомые результаты.

Однако постоянные в оценках ранее зависели отлипшицевой полунормы функции A , поэтому недостаток гладкости сейчас приходится компенсировать величиной погрешности.Теоретическая и практическая значимость. Предложенный подход вдальнейшем может быть использован для изучения других задач теорииусреднения, а полученные результаты могут оказаться полезными приисследовании физических процессов в сильно неоднородных средах.Достоверность результатов обеспечивается строгими математическими доказательствами.Личный вклад. Все результаты получены соискателем лично.Апробация работы.

Результаты по теме диссертации докладывалисьна семинаре кафедры Высшей математики и математической физикиСПбГУ, на семинаре по математической физике ПОМИ им. В. А. СтекловаРАН, а также на международных конференциях International Conferenceon Differential and Functional Differential Equations (Москва, Россия, 2014 и2017 гг.), St. Petersburg Conference in Spectral Theory (Санкт-Петербург, Россия, 2012, 2015 и 2017 гг.), Days on Diffraction (Санкт-Петербург, Россия, 2012,2013, 2015 и 2017 гг.), Trilateral German–Russian–Ukrainian Summer School:Spectral Theory, Differential Equations and Probability (Майнц, Германия,2016 г.), Mathematical Methods for Spectral Problems: Applications to Waveguides, Periodic Media and Metamaterials (Хельсинки, Финляндия, 2013 г.),Trilateral French–German–Russian Workshop: Asymptotic Analysis and SpectralTheory on Non-Compact Structures (Майнц, Германия, 2012 г.).Публикации.