Автореферат (1150424), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Отметим,что не исключается ни случай s = 0, когда A лишь равномерно непрерывна, ни случай s = 1, когда A уже липшицева.Рассмотрим ограниченный оператор Aε , который действует между1 d nH (R ) и H −1 (Rd )n и дается выражениемAε = − div A(x, x /ε)∇.Предположим, что Aε равномерно коэрцитивен по ε из некоторого интервала E = (0, ε0 ], — иначе говоря, существуют постоянные c ∗ > 0 и C ♭ Ê 0,такие чтоRe(Aε u, u)Rd +C ♭ kuk22,Rd Ê c ∗ k∇uk22,Rdпри всех u ∈ H 1 (Rd )n и ε ∈ E. Оператор Aε тогда оказывается m -секториальным, поэтому если µ находится вне соответствующего сектора S, тоопределена и равномерно ограничена резольвента (Aε − µ)−1 .Как и в первой части, «предельные» операторы вводятся посредствомвспомогательной функции.
Пусть Nξ (x, · ) при x ∈ Rd и ξ ∈ Cd ×n — периодическое векторное решение задачи− divy A(x, · )(∇y Nξ (x, · ) + ξ) = 0,ZQNξ (x, y) dy = 0,на ячейке Q (она понимается в слабом смысле). Из равномерной коэрцитивности оператора Aε вытекает, что задача однозначно разрешима,и, таким образом, Nξ (x, · ) корректно определено. Как видно, отображение ξ 7→ Nξ линейно по ξ, стало быть сводится к оператору умножения на11функцию, которую мы обозначим через N . Легко понять, что N имеет туже самую гладкость по первому аргументу, что и A .Эффективный оператор A0 отображает H 1 (Rd )n в H −1 (Rd )n по формулеA0 = − div A 0 (x)∇,в которойA 0 (x) =ZQA(x, y)(I + ∇y N (x, y)) dy.Из свойств функций A и N следует, что A 0 ∈ C 0,s (R̄d ).
Выясняется также,что оператор A0 сильно эллиптичен, а значит, m -секториален, причемего сектор может быть выбран равным сектору S.Теорема 6. Пусть µ ∉ spec A0 . Тогда если s = 0, то (Aε − µ)−1 при ε → 0сходится по операторной норме в L 2 к (A0 −µ)−1 . Если же s ∈ (0, 1], то найдется такая окрестность нуля Eµ ⊂ E, что для всех ε ∈ Eµ и f ∈ L 2 (Rd )nk(Aε − µ)−1 f − (A0 − µ)−1 f k2,Rd É C εs k f k2,Rd .Постоянная C явно контролируется через s , n , d , µ, c ∗ , C ♭ , kAkC 0,s , расстояние от µ до spec A0 , а интервал Eµ — еще и через ε0 .
В частности,если дополнительно µ ∉ S, то Eµ = E.Следующий результат касается приближения резольвенты в классеСоболева H s (Rd )n , поэтому мы будем считать, что s 6= 0. В качестве традиционного корректора выступит оператор Kµε , заданный равенствомKµε f (x) =ZN (x + εz, x /ε)∇(A0 − µ)−1 f (x + εz) dz.QОн непрерывно переводит L 2 (Rd )n в H 1 (Rd )n , если s = 1. Чтобы и при s < 1Kµε был непрерывен в паре пространств L 2 (Rd )n и H s (Rd )n , нужно дополнительно предположить, что дробная производнаяDxs A(x, y) =µZRd|h|−d −2s2|A(x + h, y) − A(x, y)| dh¶1/2равномерно ограничена (об этом условии см.
в § 3.1 диссертации).Теорема 7. Пусть µ ∉ spec A0 , и пусть s ∈ (0, 1) и Dxs A ∈ L ∞ (Rd × Q) илиs = 1. Тогда при всех ε ∈ Eµ и f ∈ L 2 (Rd )nk(−∆)s/2 ((Aε − µ)−1 f − (A0 − µ)−1 f − εKµε f )k2,Rd É C εs k f k2,Rd .Постоянная C явно контролируется через s , n , d , µ, c ∗ , C ♭ , kAkC 0,s , расстояние от µ до spec A0 , а при s < 1 — еще и через kDxs AkL ∞ .12Отметим, что в корректор Kµε входит быстро осциллирующая функция x 7→ N (x + εz, x /ε), так что операторная норма (−∆)s/2 Kµε на пространстве L 2 неограниченно растет, когда ε → 0. Однако если s < 1, то благодаря множителю ε слагаемое с корректором всё же оказывается мало; последняя теорема тогда влечет за собой сходимость композиции(−∆)s/2 (Aε −µ)−1 . Мы доказываем подобный результат для (−∆)r /2 (Aε −µ)−1при любых r ∈ (0, 1) и даже с меньшими требованиями на коэффициенты.Ниже через α∧β обозначяется наименьшее из чисел α и β.Теорема 8.
Пусть µ ∉ spec A0 . Тогда если s = 0 и r ∈ (0, 1), то при ε → 0(−∆)r /2 (Aε − µ)−1 сходится по операторной норме в L 2 к (−∆)r /2 (A0 − µ)−1 .Если же s ∈ (0, 1] и r ∈ (0, 1), то для всех ε ∈ Eµ и f ∈ L 2 (Rd )nk(−∆)r /2 ((Aε − µ)−1 f − (A0 − µ)−1 f )k2,Rd É C εs∧(1−r ) k f k2,Rd .Постоянная C явно контролируется через s , r , n , d , µ, c ∗ , C ♭ , kAkC 0,s ирасстояние от µ до spec A0 .Подчеркнем, что в наших условиях образ корректора Kµε попадаетлишь в H s (Rd )n , а значит, использовать этот оператор в приближениидля композиции (−∆)r /2 (Aε − µ)−1 при r > s заведомо нельзя.Теперь мы уточним аппроксимацию из теоремы 6 за счет еще одного корректора.
Корректор такого типа уже встречался в первой части,однако сейчас он будет устроен сложнее.Пусть (Aε − µ)+ — сопряженный к Aε − µ оператор. Для него аналогичным образом строятся такие же объекты, как и для Aε − µ, — их мыстанем помечать символом «+». Предположим, что или s = 1/2 и Dx1/2 A ∈∈ L ∞ (Rd × Q), или s > 1/2.
В таком случае, согласно утверждениям о повышении гладкости, (A0 − µ)−1 будет непрерывно отображать L 2 (Rd )nв H 3/2 (Rd )n . Кроме того, будет корректно определен и ограничен дифференциальный оператор третьего порядкаL = divZQN +( · , y)∗ divx A( · , y)(I + ∇y N ( · , y)) dy ∇,действующий из H 3/2 (Rd )n в H −3/2 (Rd )n . Отсюда видно, что композицияLµ = (A0 − µ)−1 L(A0 − µ)−1окажется непрерывной в пространстве L 2 (Rd )n . Далее, пустьM ε (x) = ε−1ZQ(I + ∇y N +(x, x /ε + z))∗ ∆εz A(x, x /ε + z)(I + ∇y N (x, x /ε + z)) dz,13где ∆h A(x, y) = A(x + h, y) − A(x, y), и пустьMε = − div M ε ∇.Зададим с помощью Mε ограниченный в L 2 (Rd )n операторMεµ = (A0 − µ)−1 Mε (A0 − µ)−1 .Тогда искомый корректор будет иметь видCµε = (Kµε − Lµ ) − Mεµ + ((Kµε )+ − L+µ )∗ .Теорема 9.
Пусть µ ∉ spec A0 , и пусть s = 1/2 и Dx1/2 A ∈ L ∞ (Rd × Q) илиs ∈ (1/2, 1]. Тогда при всех ε ∈ Eµ и f ∈ L 2 (Rd )nk(Aε − µ)−1 f − (A0 − µ)−1 f − εCµε f k2,Rd É C ε2s/(2−s) k f k2,Rd .Постоянная C явно контролируется через s , n , d , µ, c ∗ , C ♭ , kAkC 0,s , расстояние от µ до spec A0 , а если s = 1/2, — то еще и через kDx1/2 AkL ∞ .Интерполяция дает следующий результат.Следствие 10. Пусть µ ∉ spec A0 , и пусть s ∈ [1/2, 1) и Dxs A ∈ L ∞ (Rd × Q)или s = 1.
Тогда если r ∈ (0, s], то при всех ε ∈ Eµ и f ∈ L 2 (Rd )nk(−∆)r /2 ((Aεµ )−1 f − (A0µ )−1 f − εCµε f )k2,Rd É C εs(2−r )/(2−s) k f k2,Rd .Постоянная C явно контролируется через s , n , d , µ, c ∗ , C ♭ , kAkC 0,s , расстояние от µ до spec A0 , а если s < 1, — то еще и через kDxs AkL ∞ .Мы видим, что в Cµε , по сравнению с таким же корректором из первой части, появился новый член Mεµ . Можно показать, что избавиться от него, сохранив порядок погрешности, вообще говоря, нельзя —см. п. 2.6.4 диссертации.
Тем самым данный член оказывается своегорода особенностью непериодических задач.С другой стороны, если от Cµε в теореме 9 оставить лишь Mεµ , то погрешность станет порядка ε1∧2s/(2−s) . Выясняется, что аналогичный результатсправедлив для любых s ∈ (0, 1), причем без дополнительных условий надробную производную Dxs A . Помимо прочего, это наводит на мысль, чтоMεµ при s < 2/3 играет ведущую роль в корректоре Cµε .14Теорема 11. Пусть µ ∉ spec A0 , и пусть s ∈ (0, 1). Тогда при всех ε ∈ Eµ иf ∈ L 2 (Rd )nk(Aε − µ)−1 f − (A0 − µ)−1 f + εMεµ f k2,Rd É C ε1∧2s/(2−s) k f k2,Rd .Постоянная C явно контролируется через s , n , d , µ, c ∗ , C ♭ , kAkC 0,s и расстояние от µ до spec A0 .С помощью интерполяции приходим к еще одному утверждению.Следствие 12.
Пусть µ ∉ spec A0 , и пусть s ∈ (0, 1). Тогда если r ∈ (0, 1),то при всех ε ∈ Eµ и f ∈ L 2 (Rd )nk(−∆)r /2 ((Aεµ )−1 f − (A0µ )−1 f + εMεµ f )k2,Rd É C ε(1−r )(1∧2s/(2−s)) k f k2,Rd .Постоянная C явно контролируется через s , n , d , µ, c ∗ , C ♭ , kAkC 0,s и расстояние от µ до spec A0 .Публикации автора в научных журналах, рекомендованных ВАК[A1] Сеник Н. Н.
Усреднение периодического эллиптического операторав полосе при различных граничных условиях // Алгебра и анализ. —2013. — Т. 25, № 4. — С. 182–259.[A2] Сеник Н. Н. Об усреднении несамосопряженных периодических эллиптических операторов в бесконечном цилиндре // Функц. анализи его прил. — 2016. — Т. 50, № 1. — С.
85–89.[A3] Senik N. N. Homogenization for non-self-adjoint periodic elliptic operators on an infinite cylinder // SIAM J. Math. Anal. — 2017. — Vol. 49,no. 2. — Pp. 874–898.[A4] Сеник Н. Н. Об усреднении несамосопряженных локально периодических эллиптических операторов // Функц. анализ и его прил. —2017. — Т. 51, № 2.
— С. 92–96.Публикации автора в иных научных изданиях[A5] Senik N. N. On homogenization for periodic elliptic second order differential operators in a strip // Proceedings of the International ConferenceDays on Diffraction. — 2012.
— Pp. 215–220.[A6] Senik N. N. Homogenization for non-self-adjoint locally periodic ellipticoperators. — 2017. — arXiv: 1703.02023 [math.AP].15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
