Автореферат (Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности), страница 6

Расчеты, изложенные в этой главе, опубликованы вработах [2, 7, 8, 10, 12, 14].В главе 4 приведены результаты исследования стохастической теориитурбулентности.Статистическая модель развитой изотропной турбулентности несжимае­мой жидкости основана на стохастическом уравнении Навье-Стокса (см. [33]),которое эквивалентно квантовополевой модели с двойным набором попереч­ных векторных полей Φ ≡ {, ′ } и действием(Φ) = ′ ′ /2 + ′ [− + 0 2 − ()],(24)где корреляционная функция случайной силы′ Z⟨︀⟩︀[︀]︀(−)′ (, x) (′ , x′ ) ≡ (, x; ′ , x′ ) =k(k)()expik(x−x),(2)(25)2 (k) = − / – оператор поперечного проектора, – размерностьпространства координат.

Для функций () в РГ подходе при > 2 исполь­зуется стандартная степенная форма. () = 0 4−−2 .(26)Величина > 0 в (26) играет роль формального параметра разложения. Дляфизической модели = 2, что соответствует накачке энергии бесконечнобольшими вихрями. Параметром разложения в теории возмущений являетсяконстанта связи 0 ≡ 0 /03 .22Модель (24) логарифмическая (т.е. константа 0 безразмерна) при = 0.Анализ показывает, что при > 2 для устранения расходимостей требуетсяединственный контрчлен вида ′ 2 .

Однако в частном случае = 2 возни­кает новая УФ расходимость в один-неприводимой функции Γ′ ′ .Одним из основных объектов интереса в стохастической теории турбу­лентности является поиск аномального скейлинга (см.ниже) и вычислениеконстанты Колмогорова:2 () = ℰ 2/3 2/3 ,(27)где константа Колмогорова связана с константой Колмогорова энергети­ческого спектра простым соотношением [59], а – структурные функции,определяемые соотношениями⟨︀⟩︀( · ) () ≡ [ (, x + r) − (, x)] , ≡.|r|(28)В работе [21] автором диссертации было предложено вычислять константуКолмогорова через универсальное отношение амплитуд() ≡ 2 () 2 ()=.|3 ()|2/3(−3 ())2/3Константа Колмогорова (27) выражается через величину ( = 2)[︂]︂2/33(2)12 =.2( + 2)(29)(30)Обычное разложение величины для размерности > 2 во втором порядкетеории возмущений было получено в [21]:1/3(, ) = ∞∑︁ () .(31)=0При выполнении данных расчетов было замечено, что часть диаграммдает подавляющий вклад в РГ функции. Этот факт связан с тем, что данныедиаграммы имеют расходимости в двумерном пространстве (полюса по Δ впространстве размерности = 2 + 2Δ).Для того, чтобы просуммировать эти расходимости, необходимо вычис­лить величину в рамках двойного (, Δ)-разложения.

Анализ двух рядов(полученных при помощи обычного и двойного разложений) показал, что этиряды суммируют различные подпоследовательности двойной суммы1/3(, ) = ∞ ∑︁∞∑︁=0 =023(/Δ) Δ .(32)()Рис. 2. Схема суммирования при вычислении в (34).В [22] была предложена процедура улучшения разложения с помощьювзаимно дополняющей информации о величине , содержащейся в частичныхсуммах разложений(),Δ≡1/3−1∑︁Ψ () ,()1/3≡=0−1∑︁ () ,(33)=0где ≥ 1 число петель.()Члены в двойной сумме, которые были приняты во внимание в ,Δ()и , схематически изображены на рис.2 в виде заштрихованных горизон­тальных и вертикальных полос, соответственно.

Все члены в заштрихованнойплощади будут учтены в эффективной величине() =()+(),Δ()− ,()≡1/3−1 ∑︁−1∑︁(/Δ) Δ .(34)=0 =0Член () необходим для того, чтобы избежать двойного подсчета членов с ≤ − 1, ≤ − 1 (дважды заштрихованная площадь на рис. 2). Его мож­но найти, беря соответствующее число членов из разложений (33). С точкизрения обычного разложения (31) соотношение (34) можно интерпретиро­вать следующим образом: в − 1 первых членах разложения коэффициенты () из (31) вычислены точно, а все члены более высокого порядка ( > )– приближенно, с учетом − 1 первых членов их рядов Лорана по Δ.Наши двухпетлевые расчеты , Δ разложения величины вместе с двух­петлевыми расчетами [21] позволили получить улучшенное разложение ве­24Таблица 3.

Одно- и двухпетлевые значения константы Колмогорова в обычном разло­жении ( и в двойном , Δ разложении (,Δ ); вклад в (30) из поправки () в (34) ивеличина из (30), (34).n ,Δ 1 1.47 1.68 1.37 1.792 3.02 3.57 4.22 2.37личины во втором порядке теории возмущений [22]. Для константы Кол­могорова, вычисленной по (30) для = 3, это приводит к результату, приве­денному в Табл. 3.В таблице 3 для сравнения приведены значения константы Колмогоро­ва, вычисленные по (30) в первом и втором порядке обычного разложения( ), двойного , Δ разложения (,Δ ), вклад в (30) из поправки в(34) и величину , полученную из соотношений (30) и (34).

Во всех слу­чаях рекомендованное экспериментальное значение константы Колмогорова = 2.01 [60] лежит между величинами первого и второго приближения.Разница между этими величинами весьма существенна как в разложении,так и в (, Δ) разложении, не говоря уже о ведущих членах разложения. Од­нако для улучшенного разложения, т.е. для величины = +,Δ − ,вычисленной в соответствии с (34) и (30), эта разница примерно в три разаменьше и имеет лучшее согласие с экспериментальными данными.Объяснение аномального скейлинга развитой турбулентности, которыйописывает отклонения от феноменологической теории Колмогорова, являет­ся одной из актуальных проблем современной статистической механики. Кнастоящему времени были вычислены аномальные экспоненты, и аномаль­ный скейлинг был подтвержден только в упрощенной модели турбулентно­сти – модели пассивной скалярной примеси [61].

Было показано [62], что впространствах с большими размерностями эта модель сводится к теорииКолмогорова, и что экспоненты аномального скейлинга стремятся к нулюпри → ∞. Эти экспоненты были вычислены в первом порядке по 1/ в [62].Есть соображения, что и в теории турбулентности, основанной на уравне­ниях Навье-Стокса, размерность → ∞ играет роль критической размер­ности пространства, для которой теория Колмогорова становится справедли­вой [63]. Для анализа этой асимптотической теории в [18] был применен методРГ и -разложения. В работе [18] была выявлена возможность существенно­го упрощения в пределе → ∞. Это позволило выполнить трехпетлевыеаналитические вычисления РГ фиксированной точки и показателя .

Вычис­ленный в рамках двойного (1/, )-разложения (в ведущем по 1/ порядке)25поправочный индекс имеет рациональные коэффициенты:10 32 + (4 ) .(35) = ′ (* ) = 2 + 2 +39Этот результат позволяет надеяться на существование точного решения введущем по 1/ приближении и возможность построения аналога 1/ раз­ложения для 4 модели.

Вычисленная в рамках данного подхода константаКолмогорова для = 3(1) ≈ 1.75,(2) ≈ 1.94,(3) ≈ 1.50,также находится в разумном согласии с экспериментальным значением.Полученные в рамках 1/ разложения результаты позволяют надеять­ся на решение проблемы аномального скейлинга в теории турбулентности,однако в настоящий момент данная проблема остается нерешенной из-за су­щественных технических трудностей.

Тем не менее удалось исследовать про­блему аномального скейлинга в более простой модели – модели турбулентногопереноса векторной примеси, являющейся наиболее близкой к теории турбу­лентности моделью.В рамках этой модели удалось вычислить показатели аномального скей­линга для структурных функций поля примеси вплоть до структурной функ­ции 28 . Однако следует отметить, что даже в такой относительно простоймодели это оказывается весьма нетривиальной проблемой из-за смешиваниябольшого количества составных операторов. Также удалось получить при­ближенное выражение для произвольного 2 (r) ≃ 0− (2−2/3) ()Δ ,(︀)︀Δ = −(2/3) 22 − 3 + 1/2 + (1/) .(36)Полученные результаты оставляют надежду на решение проблемы ано­мального скейлинга в теории турбулентности в рамках данного подхода.Результаты данной главы опубликованы а работах [13, 15–22].В Заключении представлены основные результаты диссертации, а так­же список основных публикаций автора по теме диссертации.Основные результаты диссертацииОсновные результаты, полученные в диссертации, можно сформулиро­вать в следующем виде.1.

Разработаны новые методы вычисления многопетлевых диаграмм.Предложено обобщение индекса Никеля на графы, у которых линии и верши­ны могут обладать произвольными свойствами, подобное обобщение позволя­ет описывать графы практически любой известной теории. С использованием26данного представления разработана библиотека, позволяющая выполнять ма­нипуляции над графами: поиск подграфов, стягивание подграфов в точку ит.п. Разработана программа, позволяющая полностью автоматизировать вы­числение контрчленов с использованием * операции и интегрирования почастям. Разработан алгоритм, основанный на учете симметрий графа, поз­воляющий существенно уменьшить количество вычисляемых (численно) сек­торов.

Данный подход позволил произвести ряд вычислений, недоступныхранее. В частности были выполнены:расчет ведущих сингулярностей в суперсимметричной теории Янга­Миллса в различных размерностях пространства (вплоть до 4 порядка ТВ),что позволило проверить аналитические расчеты и выполнить суммированиеданных вкладов во всех порядках ТВ;полностью независимая численная проверка пятипетлевых расчетов вмодели 4 ;двухпетлевой РГ расчет в Е модели критической динамики, позволив­ший разрешить противоречия в результатах двух групп;численная проверка ряда шестипетлевых интегралов, сосчитанных ана­литически.2.

Впервые выполнен шестипетлевой расчет аномальной размерностиполя. Выполнен расчет бета-функции и аномальной размерности массы с ис­пользованием параметрического интегрирования (гиперлогарифмы). Показа­но преимущество данного метода в сравнении с интегрированием по частям:оказалось возможным произвести полные шестипетлевые расчеты без исполь­зования * операции и интегрирования по частям. Выполнено пересумми­рование критических экспонент и произведено сравнение с экспериментом,высокотемпературным разложением и методом Монте-Карло. Показано, чторезультаты хорошо согласуются с известными данными.3.