Автореферат (Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности), страница 5

После пересуммированияполученные индексы комбинируются в общепринятые комбинации:=2Δ2 − Δ − 2Δ, =, =,Δ2Δ2Δ2 − Δ, = 2Δ − + 2 = 2* ,=Δ(10)**где Δ2 = 2+2 = 1/, Δ = /2−1+ . Проведя пересуммирование в рам­ках описанной схемы, в диссертации были получены значения критическихпоказателей для двумерной (таблица 1) и трехмерной (таблица 2) моделиИзинга.Из таблиц видно, что сходимость процедуры в трехмерной модели суще­ственно лучше, чем в двумерной.

Это является следствием большого значенияпараметра разложения ( = 1 для = 2), однако даже в двумерном случае17Петли40.12700.32331.22644.79400.62430.0355650.12020.32461.23074.79160.62660.0359960.11230.32611.23554.78870.62920.03650HT/MC0.110(1)0.3265(3)0.63010.0365(4)эксп.1.2372(5) 4.789(2)0.104-0.111 0.315-0.341 1.14-1.320.606-0.70 0.030-0.058Таблица 2.

Пересуммированные значения для критических показатели трехмерной моделиИзинга.согласие с точным решением Онсагера достаточно хорошее. Что же касаетсятрехмерного случая, то тут согласие очень хорошее как с результатами высо­котемпературного разложения и Монте-Карло симуляций (HT/MC) [53], таки с экспериментальными данными [53].Рассмотренная выше ( )-симметричная векторная модель описываетширокий класс физических процессов от фазового перехода в системе жид­кость-пар до расслоения бинарных смесей и магнетиков. Однако существуютфизически интересные случаи, которые, хотя и близки к данной модели, но несводятся к ней. Так, например, заметный интерес представляет исследованиефазовых переходов в ферми-системах. Чтобы описать равновесное состояниеквантовой ферми-системы, в работе используется формализм температурныхфункций Грина, квантовополевые методы и метод ренормгруппы.

Анализ ос­нован на микроскопической модели с локальным притягивающим четырех­фермионным взаимодействием типа “плотность-плотность” [33, 54, 55]. Дей­ствие для фермионных полей в ИК пределе может быть переформулировано втерминах бозонных тензорных полей. Получающееся действие соответствует () симметричной 4 модели с комплексным тензорным антисимметричнымполем (по традиции поле в данной модели обозначается ). Существеннымотличием данной модели от классической 4 модели является наличие двухвзаимодействий с независимыми зарядами:)︀2 0201 (︀0 = tr † (−Δ) + 0 tr † +tr † +tr † † .(11)44Критерий стабильности действия (положительная определенность взаимодей­ствия) для данной модели дается неравенством 2 +1 > 0 для 2 > 0.

Выходза пределы данной области до того, как происходит фазовый переход второгорода, интерпретируется как фазовый переход первого рода.Проведенный ренормгрупповой анализ модели в трехпетлевом прибли­жении показал, что для физически интересных случаев (четные > 4) ИКпритягивающая точка отсутствует и для трехмерных систем пересуммирован­18ные РГ траектории выходят за область стабильности действия. Однако дляболее прецизионного анализа потребовалось выполнить РГ анализ с пятипет­левой точностью, с его помощью удалось показать, что старшие члены даютмалую поправку к РГ траекториям.

Используя данные расчеты, оказалосьвозможным показать, что температура фазового перехода больше, чем тем­пература, предсказываемая на основе формализма для фазовых переходоввторого рода. Что касается двумерных систем, то оказалось, что учета пяти­петлевого приближения недостаточно для того, чтобы сделать предсказаниео типе фазового перехода, а также его температуре.Также было рассмотрено ()-симметричное обобщение 4 модели наслучай вещественного антисимметричного тензорного поля. Показано, чтодля > 4 имеет место ситуация, аналогичная комплексному случаю, в товремя как при = 4 существует нетривиальная ИК-притягивающая точка иобласть параметров, при которых система испытывает фазовый переход вто­рого рода, а в оставшейся области параметров система испытывает переходпервого рода, как и в комплексном случае.Результаты данной главы опубликованы в работах [3, 4, 9, 11].В главе 3 излагается предложенный автором новый подход, основан­ный на R операции и схеме вычитаний с точкой нормировки, позволяющийвыразить аномальные размерности через несингулярные интегралы в виде,удобном для численного счета.Аналитические расчеты критических показателей в моделях критическо­го поведения методом РГ и -разложения сталкиваются в старших порядкахтеории возмущений с существенными трудностями [56].

Это наиболее сильнопроявляется в моделях критической динамики, где точность расчета даже внаиболее простой, так называемой -модели, до последнего времени ограни­чивалась трехпетлевым приближением [57].Результаты РГ расчетов с использованием -разложения существенноотстают от соответствующих расчетов в “реальном пространстве“ (семь пе­тель), в которых не стоит проблема вычисления сингулярных по константренормировки и главная задача заключается в вычислении конечных интегра­лов высокой кратности, которые можно находить численно.

Основной цельюданной главы является нахождение такой реализации РГ подхода с исполь­зованием -разложения, в которой задача также сводилась бы к вычислениюконечных интегралов, и весь процесс расчета можно было автоматизировать.Для решения этой задачи важно выбрать наиболее удобную схему ре­нормировки. Мы будем использовать реализацию процедуры ренормировки втерминах -операции, в которой ренормированные величины записываются ввиде [33] Γ = Γ = (1−)′ Γ, где ′ – неполная -операция, устраняющаярасходимости в подграфах диаграмм, операция (1 − ) устраняет остающую­19ся поверхностную расходимость.

Выбор операции (выделение расходящей­ся части) неоднозначен, в схеме мнинимальных вычитаний (MS) выделяютсятолько полюса по , в схеме вычитаний на нулевых импульсах ( ) – отре­зок ряда по импульсу, длина которого определяется размерностью подграфа.Конечный продукт – критические показатели в форме -разложения – не за­висит от схемы ренормировки.Схема MS удобна для аналитических вычислений, для численных рас­четов более удобна схема .

Операцию вычитания (1 − ) в этой схемеможно, используя известную формулу для вычитания из функции () пер­вых членов ее ряда Тэйлора, записать в виде(1 − ) () = () −∑︁!=0 () |=0Z11=(1 − ) +1 ().!(12)0Поскольку в схеме вычитается начальный отрезок ряда по импульсу, этопозволяет получить следующее представление для действия -операции [58]∏︁ 1 Z (1 − ) +1 ({}), = !1(13)0где произведение берется по всем существенным подграфам (включая диа­грамму как целое) () с канонической размерностью ≥ 0, – параметррастяжения внутри -то подграфа импульсов, втекающих в этот подграф.Преимущество такой записи ренормированных величин в том, что ответ пред­ставляется в виде интегралов, конечных при = 0, причем в форме, в которойне происходит сокращения больших вкладов в подынтегральном выражении(“теория без расходимостей“ [58]).Основной задачей в рассматриваемых моделях является расчет РГфункций (-функции и аномальных размерностей), определяющих в виде-разложения критические индексы модели.

Эти функции имеют наиболеепростой вид в схемах с ”примитивными“ вычитаниями, в которых контрчле­ны являются полиномами по импульсам и массам, а РГ функции от масс независят (например, схема ) [33]. Cхема не является примитивной, ностановится таковой после небольшой модификации, при этом в полученнойсхеме сохраняется возможность записи интересующих нас величин в удобнойдля расчета форме (13).Проиллюстрируем данный метод на примере 4 модели с ренормирован­ным действием ( = 4 − ):111 = − (2 1 + 2 )2 − 2 ()2 − 3 4 ,224!20(14)где константы ренормировки 1 , 2 , 3 могут быть выражены в терминахконстант ренормировки массы 2 , поля и константы взаимодействия следующими соотношениями1 = 2 2 ,2 = 2 ,3 = 4 .(15)Мы будем использовать схему с точкой нормировки (NP), которая длямодели 4 определяется следующим образом:Γ̄2 |=0,=0 = 0,Γ̄1 |=0,= = 1,Γ̄2 |=0,= = 1,Γ̄4 |=0,= = 1,(16)где Γ̄ – нормированные функции Грина:(︂Γ2 − Γ2 |=0Γ̄1 = −2)︂,Γ̄2 = −2 Γ2 ,Γ̄4 = Γ4 /(−2 ) .(17)Константы ренормировки, определенные условиями (16), как и в схеме MS,не зависят от массы , а уравнения РГ совпадают с уравнениями в схемеMS.

Для нормированных функций (17) получим( + − 2 2 ) Γ̄ = Γ̄ ,(18)где, в соответствии с (15),1 = 2 + 2 ,2 = 2 ,3 = + 4 .(19)Рассматривая уравнения (18) в точке нормировки = 0, = и при­нимая во внимание (16), мы можем выразить РГ функции через ренорми­рованные функции Γ̄ в точке нормировки [12, 14]: =2,1 + 2 − 1(︀)︀ ≡ −2 2 Γ̄ |=0,= , = 1, 2, 4 .(20)Величины конечны, однако оказываются неудобными для численногорасчета, поэтому удобно ввести[︀(︀)︀]︀ = −2 2 Γ̄ |=0,= .(21)В диссертации доказано соотношение − = 1 , = 2, 4.(22)В итоге это позволяет переписать (20) в следующем виде =2,1 + 221 = 2, 4 .(23)Соотношения (21) и (23) используются для последующих численных расче­тов.

Преимущество этих соотношений по отношению к (20) состоит в том, что-операция в (21) рассматривается непосредственно в точке нормировки, чтоделает вид вычитательной операции более простым. -операция в (21) можетбыть представлена в терминах произведения операций 1 − (13), которыеустраняют все расходимости в диаграммах [58].С использованием данного подхода был произведен пятипетлевой рас­чет в ( ) симметричной векторной модели 4 (на тот момент это был ре­кордный результат, полученный в [44–47]). Критические показатели совпалис аналитическими значениями с точностью порядка 0.01%, что, с одной сторо­ны, подтвердило эффективность данного подхода, а с другой стороны, сталопервой, полностью независимой проверкой результатов работ [44–47].В дальнейшем было выполнено обобщение данного подхода на моделистохастической динамики и выполнен ряд многопетлевых расчетов: модель Акритической динамики (3 петли), модель направленной перколяции (2 петли).В стохастической теории турбулентности выполнены трехпетлевые расчетыбета-функции и поправочного индекса в пространствах высокой размерно­сти (см также главу 4).