Автореферат (Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности), страница 3

Библиотека Graphine, используя в качествевнутреннего представления GraphState, позволяет выполнять манипуляциинад графами (характерные для наиболее распространенных методов расчетафейнмановских диаграмм).Использование данных библиотек при многопетлевых расчетах позволя­ет легко решить такие нетривиальные проблемы как генерация диаграмм, по­иск симметрийных коэффициентов, поиск подграфов диаграмм по заданнымправилам, трансформация диаграмм (добавление, удаление линий, стягива­ние подграфов в точку и т.п.). Подобные возможности позволяют существен­но оптимизировать многопетлевые расчеты, проводя большую часть преоб­разований подынтегральных выражений на уровне графов, а не символьныхвыражений (что заведомо медленнее).Большинство расчетов [1–11, 14], приведенных в данной диссертации,используют данные библиотеки.Так, например, с использованием библиотеки GraphState/Graphine раз­работан алгоритм [5], автоматизирующий вычисление контрчленов диаграммс использованием * операции [26,27], метода интегрирования по частям и со­отношений ’т Хофта [28], с его помощью вычислена аномальная размерностьполя и индекс Фишера в рекордном шестипетлевом приближении (см.

главу2).Улучшен алгоритм численного вычисления диаграмм с использовани­ем техники разбиения на сектора. При численных расчетах фейнмановскихдиаграмм (в каком бы представлении не проводилось вычисление) возникаетдве основных проблемы: первая – выделение полюсных вкладов, соответству­ющих (под)расходимостям диаграммы, вторая – наличие интегрируемых осо­бенностей, ухудшающих сходимость процедуры численного интегрирования.Для диаграмм в импульсном представлении на настоящий момент не су­ществует последовательного способа решения этих проблем и, как правило,применяются некие трюки, приспособленные к конкретной диаграмме или10классу диаграмм. С другой стороны, в фейнмановском представлении дан­ная проблема решена полностью при помощи техники разбиения на сектора(sector decomposition) [29].

Данный подход позволяет эффективно выделятьвычеты при полюсах по , представляя их в виде интегралов от непрерывныхфункций с ограниченной вариацией. Полученные интегралы затем вычисля­ются численно, как правило, методом Монте-Карло [30, 31]. Основным огра­ничивающим фактором при использовании данного подхода является коли­чество получающихся секторов, на которые надо разбить пространство инте­грирования: в случае пятипетлевых диаграмм оно достигает десятков тысяч,а в случае шестипетлевых – сотен тысяч.В диссертации предложена оптимизация данного алгоритма с исполь­зованием библиотеки GraphState [23].

Основным преимуществом предложен­ного подхода является то, что он позволяет находить сектора, имеющие (сточностью до замены переменных) одинаковые подынтегральные выраженияна уровне графа, даже не выписывая самого выражения. Подобный учет сим­метрий позволяет, как правило, сократить количество вычисляемых секторовв несколько раз, а для ряда диаграмм в десятки и даже в сотни раз, что при­водит к заметному приросту производительности и позволяет продвинутьсяв старшие порядки теории возмущений.Процедура вычисления диаграмм при помощи разбиения на сектора сучетом симметрий реализована в виде программы на языке Питон. Даннаяпрограмма обладает большой гибкостью и позволяет оптимизировать проце­дуру разбиения на сектора для чрезвычайно широкого класса задач от супер­симметричной теории Янга-Миллса [6] до моделей критической динамики [1].В суперсимметричной теории Янга-Миллса в пространствах размерно­сти = 6, 8, 10 (одной из существенных проблем является тот факт, что онанеренормируема и стандартные методы перенормировки и ренормгруппы длянее не работают) были вычислены и просуммированы вклады старших полю­сов во всех порядках ТВ для четырехточечной амплитуды [6].

Использованиеразработанного алгоритма позволило автору диссертации оптимизироватьпроцедуру численного расчета и продвинуться вплоть до 4-го порядка ТВ,что до этого момента не представлялось возможным с использованием стан­дартных программ [32]. Это позволило проверить аналитические расчеты,проводимые с использование операции, найти рекуррентные соотношениядля коэффициентов при ведущих полюсах и построить (для неренормируе­мой теории) уравнения, аналогичные уравнениям ренормгруппы [6].Для моделей критической динамики аналитические методы вычисленийпрактически не разработаны, что связано с нестандартной формой фейнма­новских интегралов. Специфика подынтегральных выражений приводит к то­му, что стандартные методы расчета (как аналитические, так и численные),11разработанные в физике высоких энергий, оказываются неприменимы.

Авто­ром диссертации адаптирован метод разбиения на сектора для вычисленияинтегралов, встречающихся в моделях критической динамики. Разработан­ный подход был применен к модели Е критической динамики (см. [33]), вкоторой на тот момент существовали взаимоисключающие результаты двухгрупп [34–36]. Выполненный расчет [1] показал справедливость работы [36].Также с использованием разработанных программ были выполнены чис­ленные проверки аналитических расчетов в 4 модели (см.

главу 2) и расчетыв главе 3.Одним из наиболее мощных аналитических методов, использованных вдиссертации, является параметрическое интегрирование (в фейнмановскомпредставлении) с использованием гиперлогарифмов [37]Z(1 , . . . , ; ) =011 − 1Z102···2 − 2−1Z0. − Этот метод позволяет выполнить явное интегрирование по всем фейнманов­ским параметрам, если на каждом шаге подынтегральное выражение можнопредставить в виде:−∑︁ (→ ; )−1 =,, ,( − )→− ,,где и не зависят от , – фейнмановский параметр, по которому бу­дет производиться следующее интегрирование. Единственной существеннойпроблемой при применении параметрического интегрирования является на­личие в интегралах подрасходимостей, поскольку для применения алгоритманеобходимо разложить подынтегральное выражение по , а в случае наличияподрасходимостей получающиеся после разложения интегралы оказываютсярасходящимися и плохо определенными.

Для решения данной проблемы быларазработана специальная схема подвычитаний, позволяющая для диаграммс подрасходимостями построить сходящееся выражение, состоящее из иско­мого интеграла и интегралов с меньшим числом петель, которые могут бытьвычислены данным методом.Подробно рассмотрены проблемы [24], возникающие при борелевскомпересуммировании асимптотических рядов, и выявлена наиболее приемлемаясхема этой процедуры [38, 39].Алгоритмы, изложенные в этой главе, были использованы для расчетовв работах [1, 3, 5, 6, 10].В главе 2 приведены результаты расчетов в ( ) симметричной век­торной 4 модели и ее тензорных обобщениях.

Расчеты в ( ) симметричнойвекторной модели 4 имеют долгую историю, которая началась в 1972 году,12когда К. Вильсон применил метод ренормгруппы и разложения для вычис­ления критических показателей 4 модели [40]. Вычисленные им показателиоказались существенно ближе к экспериментальным значениям, чем предска­зываемые теорией среднего поля. Вычисление последующих поправок к кри­тическим экспонентам показало, что старшие вклады теории возмущений припрямом суммировании ряда ухудшают согласие с экспериментом, посколькуряд является асимптотическим. Тем не менее, из данных рядов можно полу­чать уточненные значения критических показателей при помощи борелевско­го пересуммирования, однако для того, чтобы пересуммированные результа­ты давали разумные предсказания, требуется достаточно большое число чле­нов соответствующего асимптотического ряда, а также учет дополнительнойинформации о ряде (например, асимптотики высоких порядков [41]).Попытка пересуммирования, например, трех членов ряда (даже с уче­том асимптотики высоких порядков), как правило, приводит разве что к каче­ственному совпадению с экспериментом.

Поэтому для таких теорий особенноважно вычисление многопетлевых поправок к критическим показателям.В ( ) симметричной модели 4 в рамках -разложения одно- и двух­петлевое приближение были вычислены К. Вильсоном [40], трехпетлевое при­ближение для -функции и четырехпетлевое приближение для индекса Фише­ра были рассчитаны в [42]. С использованием квантово-полевой ренормгруп­пы четырехпетлевые поправки для всех критических индексов были найденыв [43]. Аномальная размерность поля и индекс Фишера с пятипетлевойточностью были вычислены в [44], а пятипетлевая -функция впервые былаопубликована в [45, 46]. Позднее в этих расчетах были найдены некоторые(численно не существенные) неточности [47].Для трехмерной модели Изинга ( = 1) пересуммированные значе­ния критических экспонент разумно совпадают с оценками, полученными врамках высокотемпературного разложения и моделирований методом Монте­Карло (порядка ∼ 1%).