Автореферат (Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности)

На правах рукописиk>/,/Компаниец Михаил ВладимировичМногопетлевые расчеты в моделяхкритического поведения и стохастическойтурбулентности01.04.02 – теоретическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степенидоктора физико–математических наукСанкт–Петербург – 2016Работа выполнена в ФГБОУ ВО«Санкт-Петербургский государственный университет»Научный консультант:Аджемян Лоран Цолакович,д. ф.-м. н., проф. СПбГУ.Официальные оппоненты:Деркачев Сергей Эдуардович, д. ф.-м. н.,вед.

науч. сотр. Санкт-Петербургского отде­ления Математического института им. В.А.Стеклова Российской Академии Наук;Катаев Андрей Львович, д. ф.-м. н.,вед. науч. сотр. Института ядерных исследо­ваний Российской Академии Наук;Котиков Анатолий Васильевич, д. ф.-м. н.,нач. сектора Лаборатории теоретическойфизики Объединенного института ядерныхисследований.Ведущая организация:Петербургский институт ядерной физики им.Б.П.

Константинова НИЦ "Курчатовский ин­ститут"Защита состоится « 27 » октября 2016 г. в 15-00 на заседании диссертаци­онного совета Д 212.232.24 при Санкт–Петербургском государственном уни­верситете по адресу: 199004, Санкт–Петербург, Средний пр., В.О., д. 41/43,ауд. 304.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им.

М. ГорькогоСПбГУ и на сайте https://disser.spbu.ru/Автореферат разослан «»2016 г.Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печа­тью, просьба высылать по адресу 198504, Санкт–Петербург, Ульяновская ул.,д.1, корпус И, каб. 417.Ученый секретарьдиссертационного совета,д.ф.-м.н.Аксёнова Елена ВалентиновнаОбщая характеристика работыИсследование поведения физических систем в окрестности критическихточек уже весьма продолжительное время является предметом пристально­го интереса и экспериментаторов, и теоретиков. При подходе к критическойточке восприимчивость системы неограниченно возрастает, имеются такжеаномалии теплоемкости и других термодинамических величин.

Весьма чув­ствительными к близости к критической точке оказываются и многие дина­мические характеристики – коэффициенты диффузии и теплопроводности,скорость звука и т.д. Исследование этих «критических явлений» и составляетпредмет теории критического поведения. Важной особенностью критическо­го поведения является его универсальность, которая проявляется в зависимо­сти лишь от общих свойств системы – размерности пространства, природыпараметра порядка, симметрии системы, но не от ее деталей.

Естественноеобъяснение универсальности было предложено в теории, сформулированнойв 1937 году Ландау. Эта теория дает определенные предсказания относитель­но сингулярностей различных величин в критической точке. Однако посленахождения Онсагером в 1942 году точного решения двумерной модели Изин­га стало ясно, что предсказания теории Ландау неточны. Это подтвердилии экспериментальные исследования критических сингулярностей, выполнен­ные в шестидесятые годы. Было экспериментально подтверждено, что крити­ческие сингулярности действительно носят степенной характер (скейлинг),но показатели степеней – критические индексы – отличаются от значений,предсказываемых теорией Ландау.В определенной степени похожая картина имеет место для систем с раз­витой гидродинамической турбулентностью.

Здесь качественное объяснениенаблюдаемым спектрам турбулентных пульсаций было дано Колмогоровым(колмогоровский скейлинг), но впоследствии выяснилось, что имеются систе­матические отклонения показателей от колмогоровских – так называемыйаномальный скейлинг. Отклонение критических показателей от теории Лан­дау и аномальный скейлинг в теории турбулентности требуют усовершенство­вания теоретических методов исследования этих явлений и разработки новыхметодов, которые позволят улучшить согласие теории и эксперимента.Разработанность темы исследования.До определенной степени роднит эти задачи и то, что они могут бытьсформулированы в виде некоторых моделей квантовой теории поля.

В случаекритических явлений конструктивный способ обработки этих моделей – обос­3нование критического скейлинга и расчет критических показателей – былнайден Вильсоном в 1971 году. Вильсон рассматривал зависимость критиче­ского поведения от размерности пространства и установил, что существуеткритическая размерность , такая, что при > справедлива теория Лан­дау. Для случая модели 4 = 4. Используя метод ренормализационнойгруппы (РГ), Вильсон обосновал критический скейлинг и научился находитькритические показатели в виде так называемого эпсилон разложения – рядапо формально малому параметру = − . Найденные Вильсоном первыепоправки к значениям критических показателей в теории Ландау значитель­но приблизили их значения к экспериментальным. В настоящее время методРГ является общепризнанным в теории критического поведения.

Техниче­ская сложность использования этого метода состоит в том, что продвижениев каждый следующий порядок теории возмущений (ТВ) требует вычислениявсе более сложных диаграмм Фейнмана. К тому же ряд является асимптоти­ческим, и для получения достоверных результатов требуется его пересумми­ровать по Борелю.В случае теории турбулентности метод РГ также может быть использо­ван. Роль параметра эпсилон в этом случае играет дополнительно вводимыйв теорию формально малый параметр. Хотя физическое значение этого па­раметра не мало, особые свойства модели позволяют обосновать колмогоров­ский скейлинг вне рамок ТВ.

Однако обоснование аномального скейлинга досих пор остается сложной нерешенной задачей. Некоторый успех достигнутв этом отношении для модели турбулентного перемешивания пассивного ска­лярного поля, в которой показатели аномального скейлинга были рассчитаныв третьем порядке ТВ.Актуальность темы исследования.Проведение процедуры борелевского суммирования требует знания повозможности большего числа членов разложения, это делает весьма актуаль­ной задачу расчета многопетлевых диаграмм Фейнмана. В 4 модели в этомотношении к концу прошлого века был достигнут рекордный результат – пя­типетлевой аналитический ответ. Однако и этот результат не дал ответы навсе вопросы, например, совпадают ли предсказываемые 4 моделью индек­сы с точным решением Онсагера модели Изинга для двумерной системы.

Всвязи с этим весьма актуальным является разработка новых методов и подхо­дов, позволяющих проводить расчеты в более высоких порядках теории воз­мущений. В теории турбулентности актуальной задачей является обобщениерезультатов вычисления показателей аномального скейлинга пассивной при­меси на случай векторной примеси, что приблизило бы к решению задачиобоснования аномального скейлинга собственно поля турбулентных пульса­ций. Это является весьма сложной технической задачей.4Целями данной работы являются разработка новых методов расчетамногопетлевых диаграмм и применение этих методов для решения задач кри­тического поведения и стохастической турбулентности.Для достижения поставленных целей решаются следующие задачи.∙ Разработать методы, дающие возможность увеличить точность много­петлевых расчетов и решать задачи в области критического поведенияи стохастической турбулентности в более высоких порядках теории воз­мущений.∙ Вычислить критические показатели ( ) симметричной векторной мо­дели в шестом порядке теории возмущений.∙ Исследовать тензорные обобщения 4 модели.∙ Разработать подход, позволяющий при проведении численных расчетоввычислять аномальные размерности без использования констант ренор­мировки.∙ В рамках стохастической теории турбулентности разработать подход,позволяющий эффективно суммировать вклады диаграмм, имеющихсингулярности в пространстве размерности = 2.∙ В рамках двойного (1/, ) разложения исследовать модель стохастиче­ской турбулентности и модель переноса пассивного векторного поля.Основные положения, выносимые на защиту.1.

Сформулировано компактное представление графов с произвольнымисвойствами линий и вершин (обобщенный индекс Никеля). На основеданного представления разработаны алгоритмы вычисления многопет­левых диаграмм.2. В шестипетлевом приближении вычислены аномальные размерности ибета функция ( ) симметричной векторной 4 модели. Произведеносуммирование полученных рядов методом Бореля с конформным мап­пингом.3.

Произведен ренормгрупповой анализ обобщения модели 4 на тензор­ное антисимметричное поле в пятипетлевом приближении, показано,что при > 4 в модели вместо фазового перехода второго рода проис­ходит переход первого рода.54. Предложен подход, в котором вычисления проводятся без исполь­зования сингулярных по констант ренормировок, а все необходи­мые ренормгрупповые функции выражаются через ультрафиолетово(УФ)-конечные интегралы. С использованием данного метода произве­ден ренормгрупповой расчет в ряде моделей критической статики и ди­намики.5.

В модели стохастической турбулентности построена «улучшенная тео­рия возмущений», в которой суммируются вклады диаграмм, УФ-рас­ходящихся при = 2, вычислена константа Колмогорова.6. В стохастической теории турбулентности в ведущем порядке по 1/ вы­полнен расчет ренормгрупповых функций и константы Колмогорова втретьем порядке теории возмущений. В рамках двойного (1/, ) разло­жения вычислены показатели аномального скейлинга в модели турбу­лентного переноса векторного поля.Научная новизна и практическая значимость работы.Все перечисленные выше положения, выносимые на защиту, основанына результатах, полученных впервые.