Автореферат (1145285), страница 4
Текст из файла (страница 4)
С другой стороны, для двумерной модели Изинга,в которой известно точное решение Онсагера, несмотря на высокий порядоктеории возмущений, вычисленный в данной модели, получаемые пересуммированные значения для критических экспонент заметно отличаются (∼ 10%)от точных значений. Все это делает исключительно важным вычисление старших поправок к критическим показателям, однако более 30 лет данная проблема оставалась нерешенной из-за существенных технических сложностей,сопряженных с многопетлевыми расчетами.В диссертации впервые выполнен шестипетлевой аналитический расчетаномальных размерностей и бета-функции.
Вычисление аномальной размерности поля проводилось по ”классической” схеме, использовавшейся ранеедля четырех- и пятипетлевых расчетов, подразумевающей использование ин13фракрасного преобразования (замена инфракрасной (ИК) регуляризации путем сведения интегралов к безмассовым интегралам на одном внешнем импульсе – p-интегралы). При проведении пятипетлевых расчетов данный подход был расширен на случай ”некорректной” ИК регуляризации (путем введения дополнительных инфракрасных контрчленов – * операция [26, 27]),а также дополнен техникой интегрирования по частям [48, 49].
* операция позволяет свести вычисление -петлевого контрчлена к вычислению( − 1)-петлевых интегралов.В настоящий момент интегрирование по частям позволяет вычислятьp-интегралы вплоть до четырех петель [50], это означает, что пятипетлевыеренормгрупповые вычисления с использованием данного подхода выполнимы, в то время как шестипетлевые, в общем случае, нет.
Упрощающим моментом при проведении вычислений в модели 4 является то, что большинстводиаграмм оказываются двувершинно приводимыми, т.е. при разрыве некимобразом двух вершин диаграммы, диаграмма распадается на два несвязныхподграфа с ненулевым числом петель. Для данного класса диаграмм * операция позволяет свести вычисление контрчленов к диаграммам с числом петель не более, чем ( − 2), что, как следствие, позволяет вычислить большинство шестипетлевых контрчленов с использованием четырехпетлевого интегрирования по частям.
Данная программа была реализована при помощиподходов, описанных в главе 1. В шестом порядке теории возмущений в аномальную размерность поля дают вклад 50 диаграмм, 48 из которых двувершинно приводимы. Две оставшиеся диаграммы оказалось возможным вычислить при помощи дополнительных трюков: одну при помощи соотношений ’тХофта [28], другую – перейдя к дуальному представлению.Что касается диаграмм, дающих вклад в аномальную размерность массы и бета-функцию, то здесь ситуация оказалась менее оптимистичной: из627 диаграмм классическим подходом не могут быть вычислены 22 диаграммы.
10 из них являются примитивными (не содержат подрасходимостей) ибыли вычислены ранее [51, 52]. Однако оставшиеся 12 диаграмм являютсясущественно нетривиальными и содержат до четырех подрасходимостей, чтоделает невозможным вычисление как с использованием классического подхода, так и методов, применявшихся в [51, 52]. Поэтому для проведения расчета оставшихся ренормгрупповых функций было решено использовать методпараметрического интегрирования с использованием гиперлогарифмов (см.главу 1).
Оказалось, что с использованием разработанного в главе 1 подходавычисления интегралов можно без применения * операции вычислить всешестипетлевые диаграммы (включая диаграммы, дающие вклад в аномальную размерность поля) кроме единственной, известной из [51,52]. Необходимоотметить, что последняя диаграмма также может быть вычислена при помо14щи разработанного подхода, но требует проведения нетривиальной заменыпеременных.Ниже, в качестве примера, приведены полученные автором результатыдля аномальных размерностей и бета-функции ( ) симметричной векторной 4 модели для случая = 1 (модель Изинга):MSMS[︂]︂ 51 21 365 4= − + + − 3709 − 1152 4 + 432 3+12161922304[︂]︂ 6g2+ 73667 + 31536 4 − 4608 3 + 57600 6 − 42624 5 + 14160 3+9216+ ( 7 ) ≈(1)234567≈ 0.0833 − 0.0625 + 0.3385 − 1.9255 + 14.383 + ( ),(2)(︂)︂(︂)︂17 31453 4994() = −2 + 3 − + 12 (3) + − 120 (5) − 18 (4) + 78 (3) +53848(︂)︂6751 1897 965764 6212+ 1 323 (7) + 45 (3) − (6) + 987 (5) − (4) + (3) +628162 304(︂46 11251 984264 543− (9) + 768 3 (3) + (3, 5) − (8) + 4 704 (3) (5)3252563 6278 678 26 69163 723+ (7) − 162 (3) (4) + (3) − (6) + (5)5510)︂ 2(︀ )︀16 989779 60318 841 427 7− (4) + (3) + + 8 ≈(3)1624011 520(︀ )︀≈ −2 + 3 2 − 5.67 3 + 32.5 4 − 271.6 5 + 2849 6 − 34776g7 + 8 ,(4)MS2 ()2(︂)︂34775 2 7 34= − + − + 3 4 + 3 +62232(︂)︂756515191588492+ − 6 + 9 3 − 5 −4 −3 −524482304(︂5570146291141972(3, 5) +8 − 288 3 5 −7 + 54 3 4 +6+ −25100204)︂(︀ )︀446 2 401916954728917915913+3 +5 +4 +3 +g6 + 7 ≈(5)54032144023040(︀ 7 )︀MS23456≈ .
(6)2 () ≈ − + 0.833 − 3.5 + 19.96 − 150.76 + 1354.6g + Необходимо отметить, что в ответ входит двойная дзета функция∑︁1 (3, 5) =≈ 0.037707673 ,3 51≤<которая не сводится к произведению дзета-функций.Как видно из приведенных результатов, полученные ряды имеют асимптотический характер и требуют дополнительного пересуммирования.
В качестве метода пересуммирования был выбран метод борелевского пересуммирования с конформным маппингом, предложенный в [38, 39]. Этот метод15пересуммирования характерен тем, что при восстановлении ряда по конечному числу членов он дополняет информацию об асимптотике высоких порядков [41] информацией об асимптотике больших значений константы связи( → ∞). В случае, когда такая асимптотика неизвестна, используются дополнительные соображения для ее оценки.Пересуммирование ряда согласно [38,39] производится следующим образом:∞Z () =(︂ )︂2 − 1 −2 () ,(7)0где функция () имеет вид(︃ )︃(︁ )︁ ∑︁ () ,() ==0√1 + − 1,где () = √1 + + 1(8)а коэффициенты выбираются так, чтобы при разложении по воспроизводить известные (начальные) коэффициенты борелевского образа пересуммируемого ряда ≡.Γ( + 1 + 1 − 2 )2Параметры борелевского преобразования находятся из требования совпадения асимптотики высоких порядков пересуммированного ряда с асимптотикой, предсказываемой теорией.
Для модели 4 она была найдена в [41]: ∼ (−1) ! 0 (1 + (1/)) ,(9)c = 1 и 0 = 3 + /2, 2 + /2, 3 + /2 для бета-функции, аномальнойразмерности поля и аномальной размерности массы, соответственно. Для того, чтобы воспроизвести указанные асимптотики, параметр 1 должен бытьвыбран равным 0 + 3/2. Обычно в литературе используют преобразование с2 = 0 (как наиболее простое), однако преобразование с 2 ̸= 0 имеет лучшуюсходимость (см. [38, 39]). В диссертации используется максимальное целоезначение параметра 2 , ограниченное условием 1 − 2 ≥ 0.Оставшийся параметр определяет асимптотику пересуммированнойфункции при → ∞.
Было показано, что для рядов, где асимптотика → ∞известна, наиболее точные значения (после пересуммирование конечного отрезка ряда) получаются, если параметр выбирается в соответствии с асимптотикой → ∞. Более того, при этом вклад старших членов ряда минимизируется. Также при правильном выборе параметра функция (), разложенная по , наиболее точно предсказывает старшие члены изначального ряда16Петли40.2960 0.0951 1.5138 16.9170 0.8520 0.2232550.2263 0.1038 1.5661 16.0887 0.8869 0.2340760.1249 0.1161 1.6428 15.1454 0.9375 0.24775точн.
реш.00.1251.751510.25Таблица 1. Пересуммированные значения для критических показатели двумерной моделиИзинга.(например, в бета-функции по пятипетлевому приближению шестипетлевоепредсказывается с точностью до ∼ 1.5%). Это дает основание предположить,что построенные таким образом ряды максимально близко воспроизводят изначальный ряд, а это, в свою очередь, дает основание ожидать качественныхрезультатов пересуммирования.Анализ, проведенный в диссертации, показал, что наиболее адекватными значениями параметра являются 1.9, 3.0 и 1.5 для бета-функции, аномальной размерности поля и аномальной размерности массы, соответственно.Необходимо отметить, что результаты пересуммирования достаточно слабозависят от выбора параметра в довольно широкой области порядка ±0.2, сдругой стороны, существенное отклонение от данных значений приводит какк неадекватным предсказаниям старших членов ряда, так и к существенномуухудшению сходимости процедуры пересуммирования.Пересуммирование критических экспонент осуществлялось в два этапа.Сначала находилось положение фиксированной точки * как нуля пересуммированной бета функции, а затем осуществлялось пересуммирование аномальных размерностей (как рядов по ) при = * .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
