Автореферат (Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности), страница 2

Разработаны новые численные и анали­тические алгоритмы вычисления многопетлевых диаграмм. С помощью этихметодов решен ряд конкретных задач, перечисленных в пунктах 1-6. Эти ме­тоды могут служить основой для решения широкого класса задач квантовойтеории поля.Достоверность полученных результатов обеспечивается применениемкорректных математических методов и использованием теоретически и экспе­риментально установленных принципов квантовой теории поля, теории кри­тического поведения и стохастической теорией турбулентности. Результатыдокладывались на конференциях и семинарах, они опубликованы в ведущихроссийских и зарубежных журналах и цитируются в работах других авторов.Публикации и личный вклад автора.Основные результаты диссертации опубликованы в 22 печатных рабо­тах [1-22] в изданиях, индексируемых базами данных "Web of Science" или"SCOPUS" и включенных в перечень ВАК.

Работы написаны диссертантомв соавторстве с его учениками и российскими или зарубежными коллегами.Вклад диссертанта во все выносимые на защиту результаты является опреде­ляющим.Апробация работы.Основные результаты диссертации докладывались на международ­ных конференциях: "Small Triangle Meeting" (Словакия, 2003, 2004, 2013),6"Renormalizaton Group" (Хельсинки, 2005), "Models in Quantum Field Theory"(Санкт-Петербург, 2012, 2015), "Calculations for Modern and Future Colliders"(CALC) (Дубна, 2012, 2015), "Advanced Computing and Analysis Techniquesin physics research" (ACAT) (Пекин, 2013), International Baldin Seminar”Relativistic Nuclear Physics & Quantum Chromodynamics” (Дубна, 2014),"Advanced Methods of Modern Theoretical Physics: Integrable and StochasticSystems" (Дубна, 2015), "Advanced Computing and Analysis Techniques inphysics research" (ACAT) (Вальпараисо, 2016), PNPI Winter School (Санкт­Петербург, 2016), QUARKS-2016 (Санкт-Петербург, 2016); на научных семи­нарах кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц физическогофакультета СПбГУ.Объем и структура работы.Диссертация состоит из Введения, 4 глав и Заключения.

Полный объемдиссертации составляет 233 страницы. Диссертация содержит 22 рисунка, 5таблиц и список литературы из 165 наименований.В начале каждой главы приведено ее краткое содержание и указаныработы, в которых опубликованы вошедшие в нее результаты. Основные ре­зультаты, полученные в диссертации, сформулированы в Заключении.Содержание диссертации по главам имеет следующий вид.Введение1. Методы вычисления диаграмм1.1. Представление диаграмм при помощи расширеного индекса Нике­ля1.2. Вычисление диаграмм при помощи интегрирования по частям1.3. Вычисление контрчленов с помощью * операции1.4.

Обобщение ограничений ’т Хофта на случай конкретных диаграмм1.5. Вычисление интегралов с использованием гиперлогарифмов1.6. Вычисление интегралов при помощи разбиения на сектора1.7. Борелевское пересуммирование2. Расчеты в модели 42.1. ( ) симметричная векторная 4 модель2.2. Тензорные обобщения модели 43. Теория без расходимостей3.1. Введение3.2.

Представление расходящихся интегралов через несингулярные ин­тегралы3.3. Представление аномальных размерностей через несингулярные ин­тегралы3.4. Теория без расходимостей в стохастической динамике74. Исследование стохастической модели турбулентности в пространствахразличной размерности4.1. Улучшенное -разложение для трехмерной турбулентности4.2. 1/d разложение в теории турбулентностиЗаключениеОсновное содержание диссертацииВо Введении обосновывается актуальность темы диссертации.

Форму­лируются цели работы, приводятся основные положения, выносимые на за­щиту, и аргументируется научная новизна и значимость полученных резуль­татов.В первой главе излагаются методы вычисления диаграмм, использо­вавшиеся в данной диссертации: как уже хорошо известные и хорошо разра­ботанные, так и оригинальные, предложенные автором.В настоящее время проведение многопетлевых вычислений невозмож­но себе представить без соответствующей автоматизации, поэтому одним изрешающих факторов становится правильное представление фейнмановскихдиаграмм. Надлежащим образом выбранное представление способно суще­ственно упростить процесс автоматизации расчетов, а также позволяет с ми­нимальным набором исправлений использовать уже написанные программыдля расчетов в других теориях.Наиболее универсальным и максимально гибким представлением гра­фов в настоящий момент является номенклатура (индекс) Никеля [25] и егообобщение GraphState [23].

Номенклатура Никеля позволяет для ненаправ­ленного мультиграфа (граф, который может содержать несколько линий, со­единяющих одну и ту же вершину) построить каноническое представление,одинаково легко воспринимаемое как человеком, так и компьютером. Под ка­ноническим представлением здесь понимается представление, не зависящееот изначальной нумерации вершин и линий графа, т.е. две диаграммы, име­ющие одинаковое каноническое представление, изоморфны.Для наглядности приведем пример индекса Никеля и соответствующейему диаграммы.

Рассмотрим индекс Никеля ′ 12|223|3||′ . Для того, что­бы построить соответствующую ему диаграмму, необходимо воспользоватьсяследующими правилами. Вертикальные линии разделяют индекс Никеля насекции, каждая из которых соответствует одной из вершин. Предполагается,что вершины нумеруются с 0 (в нашем случае до 3).

Каждая из секций опи­сывает ребра графа, присоединенные к данной вершине, т.е. вершина 0 имеетдве внешних линии (e – external) и линии, соединяющие эту вершину с вер­шинами 1 и 2. Следующая секция описывает линии графа, присоединенные8к вершине 1 (за исключением тех, что присоединены к вершине 0): две линиив вершину 2 и одна в вершину 3. Третья секция – линии, присоединенные квершине 2 (кроме тех, что присоединены к 0 и 1) и т.д.

Рисуя граф подобнымобразом, мы получим диаграмму, изображенную на рисунке 1, а.10323012(а) Диаграмма, соответствующаяиндексу Никеля ′ 12|223|3||′(б ) Направленный графРис. 1. Диаграммы, иллюстрирующие индекс НикеляПостроение индекса Никеля по графу является более сложной задачей:необходимо рассмотреть все возможные нумерованные графы, для каждогонумерованного графа написать представление Никеля (как описано выше)и затем выбрать минимальное (в каком-то смысле) представление в каче­стве индекса Никеля. Как правило, в качестве критерия выбора минимально­го представления используется обычное лексикографическое упорядочение.Также необходимо отметить, что несмотря на то, что формально необходимоперебрать ! нумерованных графов, в большинстве физически интересныхслучаев удается избежать факториального перебора, что делает данный под­ход весьма эффективным при поиске изоморфных графов (см.

[23]).В диссертации предложено обобщение индекса Никеля на случай диа­грамм с произвольными свойствами линий и вершин. Рассматривая диаграм­му общего вида, мы можем думать о ней как о некой многослойной структуре:первым слоем является соответствующий ей ненаправленный граф без допол­нительных свойств линий и вершин. Поверх этого слоя мы можем добавлятьновые слои, соответствующие различным свойствам: направлениям линий, атакже различным свойствам вершин и линий. Используя данную схему, мыможем полностью определить наш граф.Так, например, для направленного графа на рисунке 1, б расширенныйиндекс Никеля будет иметь вид: ′ 12|3|33|| : < _< _ >|>_ >|< _ >||′ В дан­ном случае в расширенном индексе Никеля присутствуют две секции: первая– индекс Никеля для ненаправленного графа, она задает ”топологию”, а так­же каноническое упорядочение вершин и линий.

Вторая секция для каждойиз линий (в соответствии с каноническим упорядочением) задает направлениеданной линии относительно канонического (от меньшего номера к большему).В случае, если направления совпадают, стоит знак ’>’, если противополож­ны – ’<’. В случае, если ненаправленный граф имел симметрии, эта процеду­9ра неоднозначна, и для того, чтобы получить расширенный индекс Никеля,необходимо из всех возможных представлений снова взять минимальное влексикографическом смысле.Если кроме направлений нам необходимо задать какие-то дополнитель­ные свойства, мы можем просто добавить еще одну или несколько секций,определяющих данные свойства линий или вершин.Данное представление графов весьма универсально и позволяет зада­вать графы с произвольными свойствами линий и вершин, систематизироватьграфы и находить среди них изоморфные.Описанный выше способ обобщения представления (индекса) Никеляреализован в виде библиотеки GraphState и сопутствующей ей библиотекиGraphine для языка Питон [23].