Автореферат (Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности), страница 4

С другой стороны, для двумерной модели Изинга,в которой известно точное решение Онсагера, несмотря на высокий порядоктеории возмущений, вычисленный в данной модели, получаемые пересумми­рованные значения для критических экспонент заметно отличаются (∼ 10%)от точных значений. Все это делает исключительно важным вычисление стар­ших поправок к критическим показателям, однако более 30 лет данная про­блема оставалась нерешенной из-за существенных технических сложностей,сопряженных с многопетлевыми расчетами.В диссертации впервые выполнен шестипетлевой аналитический расчетаномальных размерностей и бета-функции.

Вычисление аномальной размер­ности поля проводилось по ”классической” схеме, использовавшейся ранеедля четырех- и пятипетлевых расчетов, подразумевающей использование ин­13фракрасного преобразования (замена инфракрасной (ИК) регуляризации пу­тем сведения интегралов к безмассовым интегралам на одном внешнем им­пульсе – p-интегралы). При проведении пятипетлевых расчетов данный под­ход был расширен на случай ”некорректной” ИК регуляризации (путем вве­дения дополнительных инфракрасных контрчленов – * операция [26, 27]),а также дополнен техникой интегрирования по частям [48, 49].

* опера­ция позволяет свести вычисление -петлевого контрчлена к вычислению( − 1)-петлевых интегралов.В настоящий момент интегрирование по частям позволяет вычислятьp-интегралы вплоть до четырех петель [50], это означает, что пятипетлевыеренормгрупповые вычисления с использованием данного подхода выполни­мы, в то время как шестипетлевые, в общем случае, нет.

Упрощающим момен­том при проведении вычислений в модели 4 является то, что большинстводиаграмм оказываются двувершинно приводимыми, т.е. при разрыве некимобразом двух вершин диаграммы, диаграмма распадается на два несвязныхподграфа с ненулевым числом петель. Для данного класса диаграмм * опе­рация позволяет свести вычисление контрчленов к диаграммам с числом пе­тель не более, чем ( − 2), что, как следствие, позволяет вычислить большин­ство шестипетлевых контрчленов с использованием четырехпетлевого инте­грирования по частям.

Данная программа была реализована при помощиподходов, описанных в главе 1. В шестом порядке теории возмущений в ано­мальную размерность поля дают вклад 50 диаграмм, 48 из которых двувер­шинно приводимы. Две оставшиеся диаграммы оказалось возможным вычис­лить при помощи дополнительных трюков: одну при помощи соотношений ’тХофта [28], другую – перейдя к дуальному представлению.Что касается диаграмм, дающих вклад в аномальную размерность мас­сы и бета-функцию, то здесь ситуация оказалась менее оптимистичной: из627 диаграмм классическим подходом не могут быть вычислены 22 диаграм­мы.

10 из них являются примитивными (не содержат подрасходимостей) ибыли вычислены ранее [51, 52]. Однако оставшиеся 12 диаграмм являютсясущественно нетривиальными и содержат до четырех подрасходимостей, чтоделает невозможным вычисление как с использованием классического подхо­да, так и методов, применявшихся в [51, 52]. Поэтому для проведения расче­та оставшихся ренормгрупповых функций было решено использовать методпараметрического интегрирования с использованием гиперлогарифмов (см.главу 1).

Оказалось, что с использованием разработанного в главе 1 подходавычисления интегралов можно без применения * операции вычислить всешестипетлевые диаграммы (включая диаграммы, дающие вклад в аномаль­ную размерность поля) кроме единственной, известной из [51,52]. Необходимоотметить, что последняя диаграмма также может быть вычислена при помо­14щи разработанного подхода, но требует проведения нетривиальной заменыпеременных.Ниже, в качестве примера, приведены полученные автором результатыдля аномальных размерностей и бета-функции ( ) симметричной вектор­ной 4 модели для случая = 1 (модель Изинга):MSMS[︂]︂ 51 21 365 4= − + + − 3709 − 1152 4 + 432 3+12161922304[︂]︂ 6g2+ 73667 + 31536 4 − 4608 3 + 57600 6 − 42624 5 + 14160 3+9216+ ( 7 ) ≈(1)234567≈ 0.0833 − 0.0625 + 0.3385 − 1.9255 + 14.383 + ( ),(2)(︂)︂(︂)︂17 31453 4994() = −2 + 3 − + 12 (3) + − 120 (5) − 18 (4) + 78 (3) +53848(︂)︂6751 1897 965764 6212+ 1 323 (7) + 45 (3) − (6) + 987 (5) − (4) + (3) +628162 304(︂46 11251 984264 543− (9) + 768 3 (3) + (3, 5) − (8) + 4 704 (3) (5)3252563 6278 678 26 69163 723+ (7) − 162 (3) (4) + (3) − (6) + (5)5510)︂ 2(︀ )︀16 989779 60318 841 427 7− (4) + (3) + + 8 ≈(3)1624011 520(︀ )︀≈ −2 + 3 2 − 5.67 3 + 32.5 4 − 271.6 5 + 2849 6 − 34776g7 + 8 ,(4)MS2 ()2(︂)︂34775 2 7 34= − + − + 3 4 + 3 +62232(︂)︂756515191588492+ − 6 + 9 3 − 5 −4 −3 −524482304(︂5570146291141972(3, 5) +8 − 288 3 5 −7 + 54 3 4 +6+ −25100204)︂(︀ )︀446 2 401916954728917915913+3 +5 +4 +3 +g6 + 7 ≈(5)54032144023040(︀ 7 )︀MS23456≈ .

(6)2 () ≈ − + 0.833 − 3.5 + 19.96 − 150.76 + 1354.6g + Необходимо отметить, что в ответ входит двойная дзета функция∑︁1 (3, 5) =≈ 0.037707673 ,3 51≤<которая не сводится к произведению дзета-функций.Как видно из приведенных результатов, полученные ряды имеют асимп­тотический характер и требуют дополнительного пересуммирования.

В ка­честве метода пересуммирования был выбран метод борелевского пересум­мирования с конформным маппингом, предложенный в [38, 39]. Этот метод15пересуммирования характерен тем, что при восстановлении ряда по конеч­ному числу членов он дополняет информацию об асимптотике высоких по­рядков [41] информацией об асимптотике больших значений константы связи( → ∞). В случае, когда такая асимптотика неизвестна, используются до­полнительные соображения для ее оценки.Пересуммирование ряда согласно [38,39] производится следующим обра­зом:∞Z () =(︂ )︂2 − 1 −2 () ,(7)0где функция () имеет вид(︃ )︃(︁ )︁ ∑︁ () ,() ==0√1 + − 1,где () = √1 + + 1(8)а коэффициенты выбираются так, чтобы при разложении по воспроиз­водить известные (начальные) коэффициенты борелевского образа пересум­мируемого ряда ≡.Γ( + 1 + 1 − 2 )2Параметры борелевского преобразования находятся из требования совпаде­ния асимптотики высоких порядков пересуммированного ряда с асимптоти­кой, предсказываемой теорией.

Для модели 4 она была найдена в [41]: ∼ (−1) ! 0 (1 + (1/)) ,(9)c = 1 и 0 = 3 + /2, 2 + /2, 3 + /2 для бета-функции, аномальнойразмерности поля и аномальной размерности массы, соответственно. Для то­го, чтобы воспроизвести указанные асимптотики, параметр 1 должен бытьвыбран равным 0 + 3/2. Обычно в литературе используют преобразование с2 = 0 (как наиболее простое), однако преобразование с 2 ̸= 0 имеет лучшуюсходимость (см. [38, 39]). В диссертации используется максимальное целоезначение параметра 2 , ограниченное условием 1 − 2 ≥ 0.Оставшийся параметр определяет асимптотику пересуммированнойфункции при → ∞.

Было показано, что для рядов, где асимптотика → ∞известна, наиболее точные значения (после пересуммирование конечного от­резка ряда) получаются, если параметр выбирается в соответствии с асимп­тотикой → ∞. Более того, при этом вклад старших членов ряда минимизи­руется. Также при правильном выборе параметра функция (), разложен­ная по , наиболее точно предсказывает старшие члены изначального ряда16Петли40.2960 0.0951 1.5138 16.9170 0.8520 0.2232550.2263 0.1038 1.5661 16.0887 0.8869 0.2340760.1249 0.1161 1.6428 15.1454 0.9375 0.24775точн.

реш.00.1251.751510.25Таблица 1. Пересуммированные значения для критических показатели двумерной моделиИзинга.(например, в бета-функции по пятипетлевому приближению шестипетлевоепредсказывается с точностью до ∼ 1.5%). Это дает основание предположить,что построенные таким образом ряды максимально близко воспроизводят из­начальный ряд, а это, в свою очередь, дает основание ожидать качественныхрезультатов пересуммирования.Анализ, проведенный в диссертации, показал, что наиболее адекватны­ми значениями параметра являются 1.9, 3.0 и 1.5 для бета-функции, ано­мальной размерности поля и аномальной размерности массы, соответственно.Необходимо отметить, что результаты пересуммирования достаточно слабозависят от выбора параметра в довольно широкой области порядка ±0.2, сдругой стороны, существенное отклонение от данных значений приводит какк неадекватным предсказаниям старших членов ряда, так и к существенномуухудшению сходимости процедуры пересуммирования.Пересуммирование критических экспонент осуществлялось в два этапа.Сначала находилось положение фиксированной точки * как нуля пересумми­рованной бета функции, а затем осуществлялось пересуммирование аномаль­ных размерностей (как рядов по ) при = * .