Вопросы для подготовки к экзамену

Московский Государственный университетКафедра математикиT562g (2014-2015)-508 (508)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен16.4.2. Математический анализ, Вопросы для подготовки к экзамену 1семестра 2014-2015 [4199]Замечание. Вопросы, в формулировке которых присутствует термин "ряд", в январе 2014года на экзамене присутствовать не будут.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d1.t9-2сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 101(d1.t9-2)1.

Сформулируйте определение сходящегося числового ряда.2. Сформулируйте "по Коши" отрицание к утверждению "limx→+∞ f (x) = b".3. Сформулируйте теорему о необходимом условии возрастания дифференцируемой функциина промежутке.R4. Найдите xln√xx dx.5. Докажите, что произведение бесконечно малой при x → a функции и ограниченной вокрестности точки x = a функции является бесконечно малой при x → a функцией.6. Докажите теорему о достаточных условиях перегиба графика дважды дифференцируемойфункции.¯¯¯ x Pn xk ¯ 10·2n+17.

Докажите, что ∀n > 0, ∀x ∈ [0; 2] верно неравенство ¯e − k=0 k! ¯ < (n+1)! .Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d2.t1сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 102(d2.t1)1. Сформулируйте определение ограниченного сверху множества вещественных чисел.2. Напишите формулу дифференциала первого порядка сложной функции.3.

Сформулируйте теорему о признаке Лейбница сходимости числового ряда.4. Нарисуйте эскиз графика функции f (x) = xe−x .5. Докажите теорему об интегрировании методом замены переменной для неопределенногоинтеграла.6. Докажите, что если limx→+∞ f (x) = b "по Гейне", то limx→+∞ f (x) = b "по Коши".Pn x2n+17. Докажите, что ∀x числовой ряд +∞n=0 (−1) (2n+1)! сходится и его сумма равна sin x.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d3.t4сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 103(d3.t4)1.

Сформулируйте "по Коши" определение предела функции f (x) при x → −∞.2. Сформулируйте определение точки разрыва первого рода функции f (x).3. Сформулируйте теорему о достаточных условиях перегиба графика трижды дифференцируемой функции.R4. Найдите arctg x dx.Px2k+1+ o(x2n+1 ) при x → 0.5. Докажите, что ∀n > 1 верно равенство sin x = nk=0 (−1)k (2k+1)!6. Докажите теорему о производной обратной функции.√7.

Докажите, что функция f (x) = 3 x равномерно непрерывна на промежутке (−∞, +∞).1 сентября 2014Математический анализ, Экзамен(508)k1s1, часть 1Московский Государственный университетКафедра математикиT562g (2014-2015)-509 (509)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d4.t6сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 104(d4.t6)1. Сформулируйте определение первообразной.2. Сформулируйте "по Гейне" определение: "f (x) → +∞ при x → +∞".3.

Что такое неопределенный интеграл?4. Сформулируйте теорему о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.Pxn5. При каких x ряд +∞n=1 n сходится (1) абсолютно, (2) условно.6. Докажите, что многочлен Тейлора Pn (x) дифференцируемой n раз в точке x0 функции f (x)и все его производные до n-го порядка включительно в точке x0 равны соответственно f (x0 )и f (k) (x0 ), k = 1, 2, . . . , n.7. Докажите вторую теорему Вейерштрасса.√8. Докажите, что последовательность xn = n n − 1 является бесконечно малой.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.

анализаK1 S1 M1-4, T562g-d1.t1-v1сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 111(d1.t1-v1)1. Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел.2. Сформулируйте определение производной n—го порядка функции.3. Сформулируйте теорему о признаке Коши сходимости числового ряда в "предельной форме".4. Нарисуйте эскиз графика функции f (x) = x2 ln x.5. Докажите теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла.6.

Докажите, что если limx→a f (x) = b "по Гейне", то limx→a f (x) = b "по Коши".7. Докажите, что limn→+∞ nn!n = 0.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d1.t2-v2сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 112(d1.t2-v2)1. Сформулируйте определение сходящегося числового ряда.2.

Сформулируйте "по Коши" отрицание к утверждению "f (x) → −∞ при x → +∞".3. Сформулируйте теорему о достаточных условиях экстремума дифференцируемой функции.R x√ dx.4. Найдите lnx5. Докажите, что произведение бесконечно малой при x → a функции и ограниченной вокрестности точки x = a функции является ограниченной в некоторой окрестности точкиx = a функцией.6.

Докажите теорему о достаточных условиях перегиба графика дважды дифференцируемойфункции.½ −1/x2e, если x 6= 0,7. Пусть f (x) =Найдите f 0 (0).0, если x = 0.1 сентября 2014Математический анализ, Экзамен(509)k1s1, часть 1Московский Государственный университетКафедра математикиT562g (2014-2015)-510 (510)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d1.t3-v3сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 113(d1.t3-v3)1. Сформулируйте определение функции, ограниченной на заданном множестве.2. Сформулируйте определение обратной функции.3. Сформулируйте теорему о необходимых и достаточных условиях существования наклоннойасимптоты графика функции f (x) при x → +∞.R √4.

Найдите ex 1 + ex dx.5. Докажите, что если limx→a f (x) = A, limx→a g(x) = B 6= 0, и обе функции определены на(x)Aсоответствующих множествах, то ∃ limx→a fg(x)=B.6. Докажите теорему об обобщенной формуле конечных приращений (Коши).¯¯¯ x Pn xk ¯ 10·2n+17. Докажите, что ∀n > 0, ∀x ∈ [0; 2] верно неравенство ¯e − k=0 k! ¯ < (n+1)! .Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d1.t4-v4сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 114(d1.t4-v4)1. Сформулируйте "по Коши" определение предела функции в точке x = a.2.

Сформулируйте определение точки перегиба графика функции y = f (x).3. Сформулируйте теорему о достаточном условии убывания дифференцируемой функции наинтервале.R dx4. Найдите x(1+x2) .Pk5. Докажите, что ∀n > 0 верно утверждение ex = nk=0 xk! + o(xn ) при x → 0.6. Докажите теорему о производной ½частного двух функций.x1−x , если x > 0,имеет правую производную в точке7. Докажите, что функция f (x) =0, если x = 0,x = 0 и найдите ее значение.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.

анализаK1 S1 M1-4, T562g-d1.t5-v5сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 115(d1.t5-v5)1. Сформулируйте определение непрерывной на промежутке функции.2. Сформулируйте определение производной функции f (x) в точке x = a.3. Сформулируйте необходимое условие сходимости числового ряда.R4. Найдите ex cos x dx.15. Докажите, не пользуясь формулой Тейлора и правилом Лопиталя, что √1+x= 1 − x2 + o(x)при x → 0.6.

Докажите, чтоограниченная последовательность имеет предел.½ возрастающая13x cos x2 , если x 6= 0,Докажите, что ∃f 0 (x) при x 6= 0, ∃f 0 (0), 6 ∃ limx→0 f 0 (x).7. Пусть f (x) =0,если x = 0.1 сентября 2014Математический анализ, Экзамен(510)k1s1, часть 1Московский Государственный университетКафедра математикиT562g (2014-2015)-511 (511)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.

анализаK1 S1 M1-4, T562g-d1.t6-v6сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 116(d1.t6-v6)1. Сформулируйте "по Гейне" определение: "f (x) → b при x → +∞".2. Сформулируйте определение дифференциала функции в данной точке.3. Сформулируйте теорему о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.Pxn4. При каких x ряд +∞n=1 n сходится (1) абсолютно, (2) условно.5. Докажите теорему о производной суммы двух функций.6.

Докажите теорему о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение.½|x| ln |x| при x 6= 0,Найдите первообразную этой функции на всей числовой7. Пусть f (x) =0 при x = 0.оси.Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем. анализаK1 S1 M1-4, T562g-d1.t7-v7сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 117(d1.t7-v7)1. Сформулируйте определение первообразной.2. Сформулируйте определение предельной точки последовательности, которое используетпонятие окрестности.3. Используя теорему о производной обратной функции и формулу (ex )0 = ex , найдите производную функции f (x) = ln x.4.

Нарисуйте эскиз графика функции f (x) = xe−x .5. Докажите теорему теорему о достаточном условии возрастания дифференцируемой функции на интервале.6. Докажите, что фундаментальная последовательность является ограниченной.7. Пусть f (x) = arcsin x. Найдите f (n) (0).Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.

анализаK1 S1 M1-4, T562g-d2.t1сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 121(d2.t1)1. Сформулируйте определение ограниченного сверху множества вещественных чисел.2. Напишите формулу дифференциала первого порядка сложной функции.3. Сформулируйте теорему о признаке Лейбница сходимости числового ряда.4. Найдите производную 7–го порядка функции f (x) = √1x .5. Докажите теорему об интегрировании методом замены переменной для неопределенногоинтеграла.6. Докажите, что если limx→a f (x) = b "по Коши", то limx→a f (x) = b "по Гейне".Pn x2n+17. Докажите, что ∀x limm→+∞ mn=0 (−1) (2n+1)! = sin x.1 сентября 2014Математический анализ, Экзамен(511)k1s1, часть 1Московский Государственный университетКафедра математикиT562g (2014-2015)-512 (512)Физический факyльтетМГУ курс 1, семестр 1, экзамен1Московский Государственный университетФизический факyльтетКафедра математикиВопросы для подготовки к экзамену по курсу матем.

анализаK1 S1 M1-4, T562g-d2.t2сентябрь-декабрь 2014T562g, T562g-Набор вопросов 122(d2.t2)1. Сформулируйте определение суммы числового ряда.2. Сформулируйте определение вертикальной асимптоты графика функции y = f (x).3. Сформулируйте теорему о формуле Тейлора с остаточным членом в общей форме.R4. Найдите sin ln x dx.5. Докажите, что сумма двух ограниченных на множестве X функций является ограниченнойна множестве X функцией.6.