Отзыв официального оппонента (Разработка методов и алгоритмов решения многомерных минимаксных задач тропической оптимизации)

Отзыв официального оппонента Ерохина Владимира Ивановича на диссертацию Сорокина Владимира Николаевича «Разработка методов и алгоритмов решения многомерных минимаксных задач тропической оптимизации» представленной па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности О! .01.07 — вычислительная математика Рецензируемая диссертационная работа посвящена разработке теории и методов численного решения задач тропической оптимизации, а также реализации указанных методов в практическом решении задач сетевот о планирования. принятия решений, оптимального размещения объектов. Актуальность работы обусловлена рядом причин: востребованностью эффективных методов и численных алгоритмов в практи теских приложениях, большим ттт до конца еще не раскрытым) потенциалом, которым в принципе обладактт методы тропической оптнмизапии и в то же время наличием ряда нерешенных теоретических и алгоритмических проблем теории и методов тропической оптимизации.

Практическая значимость исследования в силу широкого распространения упомянутых вьпле задач сетевого планирования, принятия решений, оптзтмального размещения объектов и нм подобных достаточно очевидна. Теоретттчеснаи значимость результатов диссертании определяется теоретической значимостью огтио;о из г>сигтгтттьтх резитыиаиим и~ротттптескгтт) «пипи.игтзапии как таковой. а именно, возможносп ю в явном конструктивном виде получать ттараметрпческпе семейства. описыватощие все возможные отттттхтттттт,ттые рсптепия исследуемых задач. Новизной об:тяпают следуктщие результаты: - достаточные условия существования решения, минимальное значение нелевой функции и вид параметрического семейства решений задачи поиска минимума псевдо- квадратичной функции при наличии ограничений в ттиде системы линейных неравенств тв тропической арифме.птке); алгоритм построения параметрического семейства решений указанной вьште зада ти и теоретическая опенка его трудобмкостп (оказавтттаттся полиномиальной); - формализация в виде задачи поиска минимума псевдоквадратичной функции прп наличии ограничений задачи сетевого планирования специального вида(с ограничениями на моменты начала и окончаттия работ.

а также на их продолжительность) и числетщое построение параметрического семейства ее решений с помощью упомянутого выше алгоритлт а; - достаточныс условия сутцествования рептения и вид параметрического семейства рецтений задачи псевдочсбышеской аппроксимации в ~ропическом векторном пространстве; алгоритм построения параметрического сезтейсттттт решений указанной выше задачи; метод и алгоритм построения всех решений векторттогтт неравенства 1в тропической арифметике). Достоверность результатов диссертации обеспечена корректным использованием аппарата классической и тропической линейной алгебры, классической и тропической теорией линейных неравенств, а также методов тропической оптимизации, и подтверждена вычислительными экспериментами. Замечатттттт; 1.

В тексте диссертации соискатель предваряет выполненные им в тропической арифметике теоретические выкладки и доказательства достаточно подробным описанием операций над скалярами в илемпотентном полуполе„ а затем на этой основе строит тропическую алгебру матриц. охватьтватотттуто также бттиарные операции сложения и умножения операндов.

имеющих разнук размерность тскттляров. векторов. матриц). Однако диссертация содержит также нетривиальные выкладки с тропическими системами линейных неравенств (см., например, доказательство Теоремы 4), не сопровождаемые какими-то ни было комментариями. Например, левая часть неравенства-следствия получается перемножением левых частей неравенств системы, правая часть неравенства- следствия — соответственно перемножением правых частей неравенств системы.

В диссертации следовало бы привести необходимые сведения о способах эквивалентных преобразований тропических систем линейных неравенств и способах получения следствий. 2. Тематика диссертационной работы и характер решаемых или упоминающихся в ней прикладных оптимизационных задач (задачи сетевого планирования, оптимального размещения, принятия решений) и оптимизационных задач общего характера (задачи линейного программирования) предполагает более широкую апробацию работы, чем та, которая в действительности имела место. Так, конференция «МагЬегпа6са! Мос(е!!пд» (Вогочеы, Вп!яаг(а — 2017) является широкопрофильной и не сфокусированной на вопросах оптимизации, конференция «Теоретические и прикладные вопросы комплексной безопасности» вЂ” в большей степени прикладная, чем математическая и т.д.

Между тем, результаты диссертационной работы следовало бы обсудить как со специалистами в области дискретной оптимизации (оптимизации на графах), так и со специалистами в области математического программирования. Среди большого количества периодических отечественных конференций, на которых стоило бы заслушать результаты данной диссертационной работы, в качестве примера (не претендующего на полноту) можно указать Московскую международную конференцию по исследованию операций (ВЦ РАН вЂ” ВМиК МГУ), конференции «Математическое программирование и приложения» (ИММ УрО РАН). «Дискретная оптимизация и исследование операций» (ИМ СО РАН), «Байкальская международная школа семинар «Методы оптимизации и их приложения» (ИСЭМ СО РАН).

3. В диссертационной работе недостаточно чдтко прослеживается логическая связь между материалами первой и второй главы с одной стороны, и материалом третьей и четвертой глав — с другой. Так, текст первой и второй глав представляет собой выстроенный в строгой логической последовательности материал, содержащий необходимые определения, выкладки, доказательства и последовательность вспомогательньгх задач, подводящих к главному теоретическому результату — теореме о достаточных условиях существования и виде решения задачи поиска минимума псевдо- квадратичной функции при наличии ограничений в виде системы линейных неравенств (в тропической арифметике), и завершающийся иллюстрацией — формализацией и доведением до численного ответа задачи из класса задач сетевого планирования. В то же время, рассматриваемая в третьей главе задача «псевдочебышевской аппроксимации в тропическом векторном пространстве» и рассматриваемый в четвертой главе «метод построения множества всех решений тропического векторного неравенства» выглядят как независимые математические этюды.

Выкладки в каждой из указанных глав замкнуты и самодостаточны, теоретические результаты других глав в них не используются. 4. Выбранный для программной реализации предложенных в диссертации методов и алгоритмов язык программирования К имеет специфический синтаксис и является малораспространйнным в среде специалистов, занимающихся задачами сетевого планирования, оптимального размещения, принятия решений, общими вопросами математического программирования и дискретной оптимизации, что, несомненно, затруднит практическое применение указанных методов и алгорьтмов. Указанные замечания не снижают общей ценности диссертационной работы. В целом диссертационная работа Сорокина В.Н.

представляет собой законченное научное исследование, выполненное на высоком уровне. Теоретические результаты являются новыми и оригинальными. Личный вклад автора не вызывает сомнений. Основные результаты работы апробированы на двух международных конференциях, а 2 также опубликованы в пяти печатных работах, в том числе в двух статьях, вьппедших в журналах из списка ВАК.

Автореферат полно отражает содержание диссертации. Оформление диссертации соответствует общепринятым математическим стандартам. Заключение. Диссертационны работа Сорокина В.Н. «Разработка методов и алгоритмов решения многомерных минимаксных задач тропической оптимизации» удовлетворяет всем необходимым требованиям, предъявляемым Положением о порядке присуждения ученых степеней, утвержденным Постановлением Правительства РФ от 24 сентября 2013 г.

№ 842. Ее автор, Сорокин В.Н., заслуживает присуждения ученой степени кандидата физико-математических наук по научной специальности 01.01.07— вычислительнаяматематика. Ерохин В.И. 29 мая 2018 г. Федеральное государственное бюджетное военное образовательное учреждение высшего образования «Военно-космическая академия имени А.Ф.

Можайского» Адрес: 197198, г. Санкт-Петербург, ул. Ждановская, д. 13 Телефон: +7 (812) 230-28-15 ы: уЦЯщй, Подпись доктора физико-математических Ивановича заверяю. Врио начальник отдела кадров 29 мая 2018 г. Официальный оппонент доктор физико-математических наук., профессор, старший научный сотрудник Военно-космической академии имени А.Ф. Можайского наук, профееспра --.Ерохина Владимира Забельская Е.А. .3 .