Автореферат (Метод доминантного параметра в моделировании и анализе динамики биологических осцилляторов), страница 4

Так как рН хлоропласта меняется в зависимости отинтенсивности света, то была введена феноменологическая зависимость дляℎ от интенсивности светового сигнала , как: ℎ = ̃ℎ − , где выраже­(ℎ −1)̃,где=,ние для ̃ℎ , полученное из схемы, следующее: ̃ℎ = 1+ℎ0=̃2 ℎ −4 −5 ℎ1 5 (−4 +−5 ℎ +5 ) ,=4 5 1−4 −5 ℎ ,20 Vanselow=4 1−4 +−5 ℎ +5 .K.H., Kolbowski J., Hansen, U.P. “Further evidence for the relationship between light-inducedchanges of plasmalemma transport and transthylakoid proton uptake”, J. Exp.

Bot. 40, 239-245 (1989)21 Hansen, U.P., Kolbowski, J., Dau,H.“Relationship between photosynthesis and plasmalemma transport”,J. Exp. Bot. 38, 1965-1981 (1987)12Интенсивность света ̃ меняется в экспериментально обозначенныхпределах19 от 0 до 100 Wt/m2 , 0 - насыщающая интенсивность16 , принимаю­щая значение 0 = 40 Wt/m2 , ℎ концентрация протонов внутри хлоропла­ста; ℎ = + ′ полная концентрация фермента транспортера на мембранехлоропласта.Рис.

1. Пример вейвлет-преобразования динамики трансмембранного потенциала при из­менении интенсивности света: Верхняя панель- хаотическая динамика потенциала, безраз­мерный потенциал vs время; Средняя панель показывает модуль вейвлет-преобразованиякак функцию текущего времени и текущего периода; красный цвет соответствует наиболь­шим значениям модуля; Нижняя панель- соответствующие максимы модуля в зависимостиот медленного изменения доминантного параметра, интенсивности света()Бифуркационный анализ данной системы крайне сложен, так как стан­дартные программы вроде Matcont или Auto, не предназначены для иссле­дования систем с сильной нелинейностью с трансцендентными функциями,и работают крайне медленно даже в случае найденных численно интерваловдля тех или иных режимов.

В этом случае для исследования нерегулярнойи хаотической динамики переменных, был впервые применен метод, кото­рый используется для расшифровки сильно зашумленных эксперименталь­ных сигналов-метод непрерывного вейвлет преобразования22 . Он позволяет,по сравнению с обычным бифуркационным анализом, быстро и более деталь­но исследовать переходные режимы (хаотическая перемежаемость) и бифур­22 Mallat,S.A Wavelet Tour of Signal Processing, Academic Press (1999)13кации (удвоение периода) при медленном изменении ключевого параметра23 ,в частности, интенсивности света.Непрерывное вейвлет преобразование функции () вейвлетом Морлеопределяется как:∫︁+∞2− (−)0 −2 √2(, ) = (),22(4)−∞где and - переменные времени и сдвига, - масштабная переменная и 0 центральная частота.Рис.

2.Фазовые портреты, соответствующие Рис. 1: трансмембранный потенциал vs.производная потенциала по времени (левая панель) и действительная часть vs. мнимойчасти модуля вейвлета соответствующего максимальному периоду (правая панель).Численные исследования проводились при медленном изменении пара­метра в пределах от 0.7 до 0.68, и при зафиксированных остальных пара­метрах, которые были определены, исходя из экспериментальных характери­стик: = 1.81, 3 = 0.5, 2 = 0.001, = 0.339, 0 = −0.21, = 0.0596, = 4, = 1.678, = 0.01.

Были получены бифуркация Хопфа при ≈ 0.7055, бифуркация удвоения периода в диапазоне изменения интен­сивности = 0.70155 < < 0.70041, режим хаотической перемежаемо­сти с переходом к хаосу при дальнейшем понижении интенсивности света = 0.70041 < < 0.69908 (см. Рис. 1, Рис. 2), а также установление двухпериодического цикла, с дальнейшим “слипанием” траекторий, приводящимк установлению стабильного релаксационного цикла при понижении интен­сивности до = < 0.684.23 Arnold,V.I.GeometricalMethods in the Theory of Ordinary Differential Equations, Springer (1998)14Интенсивность света также является ключевым параметром при возбуж­дении фоторецепторных клеток брюхоногих[23]. Вейвлетный анализ был про­веден здесь для идентификации характерных частот нейроосцилляций, чтопомогает определить существуют ли химические взаимодействия между фо­торецепторами или нет.Результаты второй главы опубликованы в работах [1–6, 23].В третьей главе представлена биофизическая модель простран­ственно-временной динамики гликолиза, где в качестве доминантного пара­метра выбран неоднородный приток субстрата (АТФ), что приводит к эффек­там “переворота” фазовой волны и неупорядоченным блуждающим фазовымкластерам; представлен анализ результатов моделирования, которые соответ­ствуют экспериментальным данным и объяснен механизм возникновения дан­ных эффектов на основе аналитического амплитудно-фазового представле­ния; предложена схема выявления класса биохимических моделей, сводимыхк форме, изоморфной уравнению Селькова, в частности, проведен подробныйанализ типичного представителя этого класса – Брюсселятора, для котороговпервые показано существование математически точной эквивалентной емубиологической модели.

В конце главы отдельным параграфом рассматрива­ется модель транформации меркаптопурина в печени при лечении лейкозов,где в качестве переключателя разветленного метаболического пути можетвыступать начальная концентрация АТФ.Гликолиз играет центральную роль в энергетическом метаболизме по­чти всех живых организмов, в результате которого образуются две молекулыАТФ, НАДН и пирувата, вступающего затем в дальнейшие метаболическиепреобразования. Также гликолиз является уже классическим примером ко­лебательной биохимической реакции в биофизике, исследованной в большомколичестве экспериментов и моделей.В клеточных экстрактах наблюдается пространственно-временная дина­мика метаболитов гликолитической реакции(синхронные колебания, фазовыеи спиральные волны).

Предполагается, что такие пространственные явлениямогут содержать информацию о состоянии системы, в частности, могут иг­рать роль при передаче информации, так как направление распространенияволны зависит и от концентрации ключевых метаболитов в клетке и от вне­клеточного распределения биохимических компонентов.24 , 25 Основную рольв генерации пространственно-временной динамики метаболитов реакции, какНАД+ /НАДН и АТФ/АДФ и других, играет ключевой фермент гликолити­ческого пути – фосфофруктокиназа (ФФК).26 , 2724 PettyH.R., Worth R.G.

Kindzelskii A.L. Imaging sustained dissipative patterns in the metabolism ofindividual living cells. Phys. Rev. Lett. 84, 2754–2757 (2000)25 Mair T., Müller S.C. Propagating waves of biological activity. Rec. Dev. Biophys. Chem.

1, 105–121 (2000)26 Goldbeter, A. Patterns of spatiotemporal organization in an allosteric enzyme model. Proc. Natl. Acad.Sci. U.S.A. 70, 3255–3259 (1973)27 Mair, T., Warnke, C., Müller, S.C. Spatio-temporal dynamics in glycolysis. Faraday Discuss. 120, 249–259(2001)15Рис. 3.Схема реактора: экстрактклетокдрожжейcarlsbergensisSaccharomycesфиксировали в агароз­ном геле, имеющем 24 мм в диаметреи 1.3 мм в толщину; экстракт поме­щалсянаспециальнуюмембрану,проницаемую для молекул субстратаипродуктаиконтактирующуюспроточным реактором, который иг­рает роль резервуара для субстратови кофакторов реакции.В принципе, пространственно-временная динамика гликолиза можетиметь намного более сложный характер, как было показано на экстрактедрожжей в открытом реакторе28 , где волны во время эксперимента могут ме­нять свое направление.

Была попытка объяснить такой эффект на примеремодели Ландау-Гинзбурга29 , что мало имеет отношение непосредственно кгликолизу и эксперименту, более того, переворот волны так и не был проана­лизирован.В данной работе рассматривается модель, разработанная в [7–9], где вкачестве управляющего параметра выступает гетерогенный вток субстрата(АТФ) и объяснен механизм “переворота” направления волн.Эксперимент проводился на экстракте дрожжей28 (см.рис 3): через 10минут после начала реакции в системе возникали бегущие волны(колебанияидентифицировались по флуоресценции восстановленной формы никотина­мидаденин-динуклеотида NADH), распространяющиеся от краев геля к егоцентру или от центра к краям. Однако в ряде случаев картина была болеесложной – спустя некоторое время после возникновения круговых волн, рас­пространяющихся в одном направлении, наступает период малоупорядочен­ных колебаний по всей поверхности гелевого экстракта, после чего направле­ние распространения волн меняется на противоположное и далее сохраняетсяв пределах длительности эксперимента.Для описания наблюдаемой динамики была рассмотрена модифициро­ванная модель Селькова30 , которая описывает первую ключевую реакциюгликолиза (катализируемую ФФК), приводящую к развалу глюкозы на дватриуглеродных сахара за счет энергии АТФ.

Модель состоит из двух урав­нений, где в качестве двух переменных выступают субстрат АТФ и продуктАДФ. Надо отметить, что пара АТФ/АДФ являются основными регулято­28 BagyanS., Mair T., Dulos E., Boissonade J., De Kepper P., Müller S.C. Glycolytic oscillations and wavesin open spatial reactor: impact of feedback regulation of phosphofructokinase. Biophys. Chem.

116, 49–62 (2005)29 Straube R., Bagyan S., Suchorski Y., Hauser M.J.B., Mair T. Spatial desynchronization of glycolytic wavesas revealed by Karhunen-Loéve analysis. J. Phys.Chem. B 112, 14334–14341 (2008)30 Sel’kov, E.E. Self-oscillations in glycolysis, a simple kinetic model.

Eur. J.Biochem. 4, 79–86 (1968)16Рис. 4.Расходящиеся и сходящиеся волны: эксперимент и модель. Левая па­нель: сходящиеся волны (a) Пространственно-временной срез вдоль диаметра мембра­ны полученных в эксперименте NADH волн (время от 42 до 67 минут, диаметр 1.6 см).(b) Численный эксперимент, параметры:0 =2.7, =2.75,= 2,1=2= 0.0006. (c)Локальная динамика трех осцилляторов в эксперименте, выбранных в позициях соглас­но рис (а), обозначено черными стрелочками: осцилляторы были выбраны посередине(черная линия), справа (серая линия) и слева (прерывистая линия).

(d) Численный экспе­римент: колебания субстрата АТФ (), обозначения и позиции осцилляторов те же, что ина рисунке (с). Правая панель: расходящиеся волны(a) Пространственно-временнойсрез вдоль диаметра мембраны полученных в эксперименте NADH волн.( время от 217 до242, длина диаметра 1.6 см) (b) Численный эксперимент, параметры:= 2,1 =2 =0 =0.0002.