0735-1-opreview (Аналитико-численное моделирование динамических систем с хаотическим поведением аттракторы и гомоклинические бифуркации)

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Тульский государственный университет» Отзыв официального оппонента на диссертацию Мокаева руслана Назировича "Аналитико-численное моделирование динамических систем с хаотическим поведением: атгракторы и гомоклинические бифуркации", представленную на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 05.

13. 18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Теория нелинейных колебаний динамических систем была создана в первой половине прошлого века Значительный вклад в развитие и становление этой теории был сделан научной школой академика А.А. Андронова. А.А Андронов соединил математические идеи анализа локальной устойчивости А.М. Ляпунова и идеи А.

Пуанкаре возникновения колебаний для глвдких динамических систем с инженерными потребностями учета разрывных нелинейностей и создал математическую теорию колебаний, объясняющую поведение многих прикладных систем На начальном этапе развития теории колебаний исследовались системы невысокого порядка, структура которых была такой, что сам факт существования колебаний был очевиден, поэтому основные усилия были сосредоточены на анализе свойств и формы таких колебаний. Так в работах Л.И. Мандельштама, Н.Д. Папалекси и А.А.

Андронова при описании колебательных систем устойчивый стационарный режим характеризовался как несамовозбужденное состояние, а переход от ставшего неустойчивым стационарного режима к периодическому колебательному режиму описывался как свмовозбуждение автоколебаний (предельного цикла) В 19бЗ г американским метеорологом Э. Лоренцем было показано, что аналогичное самовозбуждение может приводить не только к периодическим, но и к хаотическим предельным колебательным режимам (хаотическим аттракторам) в гладких многомерных динамических системах. Однако в рамках данного подхода открытым оставался вопрос, могут ли существовать в системе аттракторы, к которым не притягиваются траектории из окрестностей состояния равновесия Ответ на этот вопрос дает теория скрытых колебаний, отражающая современный этап развития теории колебаний Андронова.

Центральным объектом изучения этой теории является скрытый аттрактор, бассейн притяжения которого, в отличие от самовозбуждающегося аттрактора, не связан с состояниями равновесия.. Численная локализация скрытых аттракторов является сложной задачей, потребовавшей разработки специальных аналитико-численных методов и подходов. Такая разработка, инициированная в Санкт-Петербургском университете Г.А.Леоновым и НВ.Кузнецовым, вызвала огромный интерес ученых по всему миру. Более сотни работ по этой тематике опубликовано исследователями из стран, география которых, без преувеличения, охватывает весь земной шар. Актуальным современным направлением исследования сложных динамических систем является сиять аналитических методов и возможностей, которые предоставляются использованием вычислительных мощностей современных ЭВМ Такой синтез, получивший название "компьютерное доказательство" (сошрп1ег-азяз1ей ргоо1), позволяет существенно продвинуться в решении многих сложных задач теории нелинейных колебаний.

Именно в рамках этого направления выполнено диссертационное исследование Р Н.Мокаева. В первой части диссертации Р.Н. Мокаева рассматривается задача поиска скрытых аттракторов в системах Лурье Эта задача непосредственно связана с вопросом о совпадении условий глобальной устойчивости нелинейной системы с условием устойчивости ее линейного приближения. В рамках исследования этого вопроса известным американским инженером и специалистом в области теории управления Р. Калманом в 1957 году была сформулирована известная гипотеза о моноустойчивости системы Лурье с единственным состоянием равновесия. В ней утверждается, что если производная функции нелинейности ограничена сверху и снизу, и асимптотически устойчива линейная система, полученная из исходной путем замены нелинейности на линейную функцию из соответствующего угла, то исходная нелинейная система асимптотически устойчива в целом.

В рамках исследования гипотезы Калмана была доказана ее справедливость для систем первого, второго и третьего порядка, однако для систем более высокого порядка она оказалась неверна. В работах Р.Э. Фиттса, Н.Е. Барабанова, Х. Берната, Ж. Либре, Г.А. Леонова и Н.В. Кузнецова были предложены контрпри меры к гипотезе Кал мана, в которых единственное локально устойчивое состояние равновесия сосуществует с устойчивым периодическим решением Такое колебание является в данном случае скрытым.

Первым результатом диссертации является разработка и реализация алгоритма синтеза моделей в форме Лурье, являющихся контрпримерами к проблеме Калмана. Разработанный автором алгоритм является развитием идей Н Е. Барабанова, предложившего на начальном этапе построения контрпр имер ов использовать системы с разрывной нелинейностью и идей Х. Берната, Ж Либре, подчеркнувших важность учета поведения системы на разрыве и исследования нелокальных бифуркаций при замене разрывной нелинейности непрерывной Алгоритм, предложенный в диссертационной работе, использует метод точечных отображений Андронова для аналитико-численного вычисления начальных данных периодических траекторий системы Лурье с разрывной правой частью. Автором использован метод продолжения по параметру для перехода от системы с периодическим аттрактором к системе с хаотическим аттрактором, а также обратный сценарии разрывной аппроксимации решений дифференциальных уравнений с разрывной правой частью по Айзерману-Пятницкому для перехода от разрывной нелинейности к непрерывной.

Применяя данный алгоритм, Р.Н.Мокаев построил на основе передаточной функции линейной части системы Фиттса контрпример к гипотезе Калмана, демонстрирующий мультиустойчивость В фазовом пространстве построенной диссертантом системы сосуществуют локально устойчивое состояние равновесия, скрытый хаотический аттрактор и скрытая периодическая орбита. Стоит подчеркнуть, что контрпример с хаотическим аттрактором принципиально не мог быть построен методами А.А.

Андронова поиска периодических колебаний Вторая часть диссертации посвящена исследованию хаотической динамики в классе модельных систем лоренцевского типа В 19бЗ Э. Лоренц открыл и численно исследовал модель конвекции жидкости в двумерном слое, и обнаружил в этой модели "странный аттрактор", реализующий ее хаотическое поведение.

Это открытие стимулировало дальнейшее развитие раздела качественной теории дифференциальных уравнений, связанного с исследованием хаотического поведения конечномерных динамических систем, а также привлекло интерес ученых к модельным конечномерным системам, имеющим конкретное прикладное значение. Позднее, в рамках изучения различных физических процессов (взаимодействие волн в плазме, солнечное динамо, динамика лазеров, и т д), появились модельные системы, обобщающие классическую систему Лоренца, которые получили название "системы лоренцевского типа". Важным свойством таких систем является существование в фазовом пространстве при некоторых значениях параметров хаотических аттракторов.

Одним из основных направлений исследования сценариев перехода к хаотической динамике в конечномерных системах является исследование гомоклинических бифуркаций в работах научной школы Л.П. Шильникова. Эти исследования показали, что при изменении некоторых параметров систем возникновению хаотических аттракторов предшествует появление так называемых гомоклинических траекторий, двояко-асимптотических к некоторому неустойчивому состоянию равновесия. В диссертационной работе рассмотрены системы лоренцевского типа, обобщающие динамические модели Лоренца, Чена, Лу, Тигана-Янга и Шимицу-Мор и ока. Диссертантом проведены аналитико-численные исследования, развивающие аналитические критерии рождении гомоклиниче ской бифуркации и позволяющие провести численную проверку возможности возникновения хаоса.

Опираясь на аналитический критерий Г А Леонова, автор расширил класс систем лоренцевского типа, для которых доказано существование гомоклинических траекторий к седловому нулевому состоянию равновесия. Результат оформлен в виде теоремы. При численном исследовании найденной области диссертантом также обнаружен новый сценарий гомоклинической бифуркации, связанный со слиянием двух хаотических аттракторов в один При помощи аналитических и численных методов автор диссертации выделил три области в пространстве параметров, в которых нет глобального аттрактора и все траектории системы, кроме траекторий на устойчивых многообразиях седел, либо уходят на бесконечность, либо стремятся к стационарному множеству; либо, наконец, все траектории попадают в ограниченное абсорбирующее множество, содержащее глобальный аттрактор.

Выделение таких областей открыло возможность дальнейшего эффективного поиска гомоклинических траекторий в фазовом пространстве В первых двух областях параметров в окрестности возможной гомоклинической бифуркации наличие хаотической динамики исключено, в последней области возможно проведение полного численного анализа качественного изменения всего фазового портрета при исследовании гомоклинической бифуркации. Сильное впечатление производит тот факт, что проведенные диссертантом численные эксперименты и их сопоставление со строгими аналитическими результатами наглядно продемонстрировали возможность возникновения так называемых "компьютерных структур", которые могут привести к ложным выводам относительно характера поведения реальной системы Последнее обстоятельство служит весомым аргументом в пользу необходимости сочетания численных и строгих аналитических методов при исследовании сложных динамических систем Несмотря на большой объем проделанной работы и общее положительное впечатление считаю необходимым сделать следующие замечания по содержанию диссертации.