Диссертация (Усовершенствование моделей и методов расчета турбулентных течений в недеформируемых границах), страница 33

ТогдаКД (с) = в 2 р 2 —2 d t .(7.6)Учитывая, что —2 h2 = q - удельный расход, выражение (7.6) можно записатьв виде:КД (с) = P 2 Pq—2 d t .(7.7)Аналогично можно выразить количество движения в отсеке (а)КД (а) = e 1p q —1d t .(7.8)Принимая закон распределения скоростей по глубине потока одинаковымдля сечений1и 2 , то при слабоизменяющейся величине в = в 1 =изменение ко­личества движения окажется равнымA(mu) = pPqdt ( — 2 - —1 ).(7.9)Для определения сил, действующих на массу жидкости между сечениями 1-2необходимо определить продольный размер отсека, который примем равным dx(поперечный размер принимается равным1м).Вес отсекаG = 2 p g (h + h2 )dx .При h1 = hh2 = h1 + — dx = h + d h , тогда выражение для G запишется вdxвиде:1G = —p g \ +2Vdh1dh----- dx dx = pghdx + —p g h — d x •dxOx/v2dxdx1 0 )V* /( 7256Очевидно,чтовтороеслагаемоевправойчастиуравнения(7.10)~ p gh —~ dx •dx = —p gh •dh •dx является величиной высшего порядка малости и2—x2может быть опущено.

При этом проекция силы G на ось х окажется равнойFg = pghldd x ,(7.11)где уклон дна ld = sin в .При плавноизменяющемся движении распределение давления в потоке счи­тается гидростатическим. Тогда сила давления, действующая на отсек слева (приh 1 =h) запишется как1P2= - Pgh2 .(7.12)Аналогично, сила давления справа2dhP2 = ~Pgh 2 = ~ P g h + — dx22dxx уV —1 ,211(7.13)Так как при раскрытии скобок выражения (7.13) третье слагаемое оказывает­ся малым и силы Р 1 и Р 2 направлены в противоположные стороны, тогда сумма ихпроекций на ось х окажется равнойdhFp = P 1 - P 2 = -p g h — d x .dx(7.14)Кроме этих сил, по нижней границе потока будет действовать сила трения,проекцию которой на ось х запишем в виде:F = Т0н •dx,(7.15)где т0н - напряжение трения по дну при неравномерном движении.Заметим, что изменение силы трения вдоль оси х в пределах dx дает величинувысшего порядка малости, которая может не учитываться.ГF =т-12л-Л—Т0н 1Т0н + Т0н + —f Ldx dx = - r 00нdx +dx12• —Т°н •dx •d x .dxгде т0н - напряжение терния по дну в сечении 1 .Рассмотрим вопрос о том, возникает ли в этом случае сила инерции.

На пер­вый взгляд кажется, что не возникает, поскольку движение установившееся, но257при этом не следует забывать, что при нахождении силы инерции, действующей вжидкости, необходимо учитывать полное ускорение, а не только его локальнуюсоставляющую, которая в данном случае действительно равна нулю. Конвекцион­ная составляющая ускорения вдоль оси х равнаdux TTdVux — x = V ----.dxdx(7.16)Поскольку не вся масса в отсеке (1 - 2) ускоряется одинаково, так же как принахождении изменения количества движения, будем считать, что в отсеке (b) из­менений не происходит, а ускоряется только масса отсека (а), как бы перемещаясьв положение (с). При одинаковой массе жидкости в отсеках (а) и (с), равной pqdt,проекция силы инерции, возникающей при ускорении этой массы вдоль оси х ,равнаpPqdt ■V ■— .dx(7.17)Выражая скорость через удельный расход q = Vh, который не изменяетсявдоль х, выражение (7.17) можно записать в виде_ 7 q d f qЛ„ 3 ,1d f1Л^ 3 , 1dhpfiqdt —----— = pPq d t ---------— = -p P q d t —------- .h 3dxh dx vhJhh dx vhhJюч(7.18)Запишем изменение количества движения и баланс сил в проекции на ось хдля ускоряющегося неравномерного потока.

Заметим, что при ускорении потокаf dh Лвдоль оси х глубина его уменьшается — < 0 и согласно (7.17) выражение дляv dxJсилы инерции приобретает положительный знак. Однако, поскольку сила инерциипрепятствует ускорению, в баланс сил она должна войти с противоположным зна­ком.

Таким образом, с учетом выражений (7.9), (7.11), (7.14), (7.15) и (7.18) запи­шем следующее равенство (при в = 1 ):N1 11 dh ,73 7 1 dhpghi^dx - pgh — dx - T0 Hdx + pq a t — ----dxh 3dxС о к р ащ ая н а p d td x , п олучаем :d t = 0.(7.19)2583,., dh т0н q dt dhghid - g h - ------ 0 н + \ ~ ~ = 0.dxph 3 dx dx(7.20)В последнем слагаемом уравнения (7.20) для неравномерного стационарногоdt1hтечения величина — = — = —.dx — qС учетом этого уравнение (7.20) приобретает вид:2q dh,., dh- 7 2 ^ = ghid - gh dxdxт0нhp~T,ч(7.21)7.2 Анализ особенностей напряжений тренияпри неравномерном движении потока( dh^Для случая равномерного движения — = 0 уравнение (7.21) сводится к изVdx)вестному уравнению равномерного движенияТ = p g h01д .(7-22)Рассмотрим уравнение (7.21) для случая ускоренного течения вдоль оси х(рисунок 7.2).

При этом — < 0, количество движения возрастает и левая частьdxуравнения положительна.Рисунок 7.2 - Схема ускоренного течения вдоль оси х259Увеличению количества движения при ускорении потока способствует про­дольная составляющая силы тяжести, которая входит в правую часть уравнениясо знаком плюс, и сила гидростатического давления, связанная с различием глу­бин на границах рассматриваемого отсека. Поскольку при ускорении потокавдоль оси х сила P\ > Р2, то разность этих сил направлена вдоль оси х и способст­вует увеличению количества движения, то есть второе слагаемое в правой частиуравнения является положительным. Это подтверждается, так как — < 0.

Силаdxтрения препятствует движению и должна входить в правую часть со знаком ми­нус.Таким образом, в качественном отношении уравнение (7.21) кажется верным.При этом уравнение (7.21) можно записать в виде:т0н,., dh q dh_ ghid - gh — + 2_.pdx h dx__N(7.23)Из уравнения (7.23) следует важный вывод о том, что при неравномерномдвижении трениесоответствует трению при равномерном движении (7.22)только в единственном случае при определенной глубине, когда два последнихслагаемых в (7.23) компенсируют друг друга. Эту глубину обозначим к с.2ghc _ -qVк,(7.24)Из (7.24) находим, что глубина hc равна:— _ ккр .g(7.25)qПоскольку — _ Vc , условие (7.24) можно записать в безразмерной форме вhcвиде числа Фруда_C_ 1.ghcVC2F r, _(7.26)260Как известно, выражения (7.25) и (7.26) совпадают с условиями, соответст­вующими критическому режиму течения, при котором глубина равномерногодвижения h 0 совпадает с критической глубиной —кр.

Только в том сечении, гдекривая свободной поверхности пересекает линию критической глубины, каса­тельные напряжения при неравномерном движении т0н совпадают с касательныминапряжениями при равномерном движении т0 (при h0 = hKp ). Если с касательнымнапряжением т0н в каждом сечении с глубиной hl при неравномерном движениисопоставлять касательные напряженият 01в равномерном потоке с глубинойhi = —0 i (рисунок 7.3), то очевидно, что изменение величины трения при неравно­мерном движении по сравнению с трением при движении равномерном определя­ется не только характером изменения глубины (знаком — ), но и значением числаdxФруда.Рисунок 7.3 - Условие сопоставления касательных напряжений при неравномерноми равномерном движенииdhТак, из (7.23) очевидно, что при ускоренном течении (— <0) трение т 0н1 будетdxбольше по сравнению с трением при равномерном движении при h = —0 i , еслиотрицательное по знаку третье слагаемое (из-за — < 0 ) будет меньше по модулюdx261второго слагаемого положительного по знаку, то есть при gh > V 2 , то есть приV2Fr = — < 1, когда поток спокойный (рисунок 7.4).ghРисунок 7.4 - Сопоставление касательных напряжений при неравномерном ускоряющемся теdhчении (— < 0) и различных числах Фруда с напряжениями при равномерном движенииdxПри Fr > 1 трение при ускоряющемся течении т0щ будет меньше, чем приравномерном течении т0г-при h = h0i.dhan > о^lЕсли движение замедляющееся вдоль хтрение при неравномерномdxдвижении будет больше при* <£ •V2то есть при Fr = — > 1.ghПри Fr < 1 (при замедляющемся вдоль оси х спокойном течении) трение х0шбудет меньше, чем т0г-при равномерном течении (при h = h0i) (рисунок 7.5).262Рисунок 7.5 - Сопоставление касательных напряжений при неравномерном замедляющемся теdhчении (— > 0) и различных числах Фруда с напряжениями при равномерном движенииdxРезультаты, полученные на основе выполненного анализа, показывают, чтоответ на часто возникающий вопрос о том, как соотносится величина трения приускоряющемся и замедляющемся течении, не может быть однозначным.

При спо­койном режиме течения ( Fr < 1), как ясно из сопоставления рисунка 7.3 и рисун­ка 7.4, трение в ускоряющемся потоке больше, чем трение в замедляющемся по­токе (если сопоставляются потоки с одинаковой глубиной и одинаковым (по мо­дулю) значением — ).dxV2При бурном режиме течения ( Fr _ ----> 1) трение в замедленном потоке буghдет больше трения в потоке ускоряющемся (см. рисунок 7.4 и рисунок 7.5) притех же условиях сравнения, то есть при h0i _ к .Таким образом, предположения о возможной зависимости гидравлическогосопротивления открытых потоков от числа Фруда, которые высказывалисьА.Д. Альтшулем [2], получили аналитическое подтверждение, однако только длянеравномерных потоков.Установленный неоднозначный характер зависимости величины трения отdh— при плавноизменяющемся неравномерном движении, связанный с влияниемdx263числа Фруда, что ранее не учитывалось [107], который открывает возможностидальнейшего уточнения расчета неравномерных потоков.7.3 Соотношение коэффициентов гидравлического сопротивлениядля равномерного и неравномерного движенияРассмотрим вопрос о соотношении коэффициентов гидравлического сопро­тивления для равномерного и неравномерного движения при hi = h ^ .Определяя коэффициент гидравлического сопротивления, как это принятодля равномерного движения, в видеЛр = -8^ ,р¥2(7.27)сопоставим величинупротивленияЛ„ЛнЛрс местным значением коэффициента гидравлического со­для неравномерного движения при условии hi = h0 i :(7.28)= 8 !° 2pV 2Преобразуем выражение (7.23):т0н, dh0н = ghid - gh —pdxq 2 dh+•—hdx=ghi-, dhgh —dxV 2 h 2 dh+hdx-,., dh tt2 dhghi - gh — + V —dxdxПодставляя данное выражение в формулу (7.28), получим:Л 8 gh^ dh 8 gh dh 8V 28 ghi^dh 8ghdhЛн = ----------------- +----------- ;t- = ----------------- ;r- + 8 --Vdx Vdx VVdx VdxВыполненные преобразования уравнения (7.23) позволили найти соотноше­ние между коэффициентами сопротивления Лн неравномерного и Лр равномерногопотоков при hi = h0i264т f V21 Лh = 1 + V r - 1 ] —h .=1+ — “ - — —lddxXpVghld ld J dxхн(7.29)Рассматривая частный случай замедленного неравномерного движения с гоdhризонтальной линией свободной поверхности (— = ld), из (7.29) находимdxХп2-JL = Fr = ■ £ - .X pgh(7.30)XПолученное выражение показывает, что отношение —- > 0 и коэффициентXpсопротивления неравномерного замедленного потока весьма сильно уменьшается8 gс ростом глубины h, в то время как коэффициент Xp = ——(С - коэффициент ШеC 2P1зи, определяемый, например, по Маннингу как C p = —h 1/6, где n - шероховатостьnрусла) зависит от глубины значительно слабее8gn 2Xp = тhЬ т -(7-31)При этомj=8н4^h3334.= 8 gn 2 V * ’ = 8gh 3 3 3h^ = 8| F r .gh CP(7.32)Заметим, что число Фруда здесь величина переменная, изменение которойсвязано с изменением h при неравномерном движении.Таким образом, к использованию формул сопротивления равномерных пото­ков при расчете потоков неравномерных следует подходить с крайней осторожно­стью во избежание серьезных погрешностей в расчетах.2657.4 Анализ форм кривых свободной поверхности при различныхкоэффициентах сопротивления и числах ФрудаС использованием полученного выражения (7.29) можно найти некоторыеограничения для характеристик потока при неравномерном движении (при 1 д> 0 ),Xн ^ ^1dhиспользуя очевидное условие ----> 0 .

Обозначая --------= L , это условие с ис^pIдпользованием (7.29) запишем в виде1 + L[Fr - 1] > 0,(7.33)откудаL>11- FrЕdh > 0 , то параметр LrЕслирассматривается замедляющееся движение ( —^ dxJ>00,что обеспечивается только при числах Fr < 1, то есть при спокойном течениивозможно выполнение очевидного необходимого условия — > 0 .хрЕЕслирассматривать ускоряющееся движениеdh < 0^ , параметр Lг < 0,0—что^ dxJ(обеспечивается только при Fr > 1, то есть только при сверхкритических (бурных)режимах течения обеспечивается выполнение необходимого условия — > 0 .ЛрТаким образом, анализ, выполненный без каких-либо априорных гипотез от­носительно коэффициента гидравлического сопротивления при неравномерномдвижении кроме того, что он (X) положителен по знаку, приводит к выводу о том,что замедляющееся движение с кривой подпора возможно только при спокойныхрежимах течения, а ускоряющееся движение возможно только при сверхкритических (бурных) режимах течения, что не согласуется с результатами анализа обыч­но выполняемого в предположении применимости формулы Шези для неравно­мерного движения.266Поскольку соотношение коэффициентов сопротивления при неравномерноми равномерном течении неизвестно и, как это следует из зависимости (7.29),сложным образом связано с характеристиками потока, проанализируем эту взаи­мосвязь более детально.Рассматривая течение при id > 0, предположим, что —^ > 1, т.