Диссертация (Усовершенствование моделей и методов расчета турбулентных течений в недеформируемых границах), страница 32

Переходим непосредствен­но к решению уравнения (6.36). Решаем однородное уравнение:dh 1 0 bh ~l3/3 0 Л— + ---------~S_0 .dS 3 ,д - b h 4 0 / 3Разделяем переменные и интегрируем:г dS 10 гdh;J S ~ 3 J idhu/3 - bh ’_ . h ( h 10/ 3h h'm- bh _ JJ h-1 4d__________^-~ ) - 1 dh •Согласно теореме Чебышева [18] этот интеграл (биномиальный интеграл)может быть выражен в элементарных функциях.Выполним замену переменных:t _ rjh , где r - наименьшее общее кратное S и 10;t _ \[h ;h _ t324911- 3 {gt io - ~ у i t 2 d t = з { t { д : - ~^(6.38)Согласно основной теореме алгебры [103] многочлен десятой степени имеет10 корней [18] и, следовательно, выражение (6.38) можно представить с помощьюпростых дробей. Дальнейшее решение выполняется согласно схеме, изложеннойвыше. Поскольку окончательное аналитическое решение, в принципе возможное,требует сложного математического аппарата, рассмотрим возможность численно­го решения уравнения.

Расчет может быть выполнен методом Рунге-Кутта обес­печивающим точность до 4-го члена ряда Тейлора, в видеdSdhh 1 0 / 3 - ah 1 3 - 24,73~ - 10/з~ Sh _ 1idh10/3 - b(6.39)Во второй задаче ошибка расчета по Б.А. Бахметеву определялась для усло­вий:1)q=5; 10; 20; м2 /с; n=0,0225; 1д=0,005.Для расчета критической глубины по формуле hKp = 3 а — необходимо опреgделить коэффициент Кориолиса а по зависимости (6.33) и коэффициент Шези поформуле Маннинга C = 1 R 1 6 = 1 h06 для широкого канала.nn2)n=0,01; 0,015; 0,0225 с/м1/3; q=5 м2 /с; 1д =0,005.3)1д=0,05; 0,005; 0,0005; q=5 м2 /с; n=0,0225.Для заданных условий расчета значения нормальной глубины, критическойглубины, коэффициента Шези и коэффициента Кориолиса приведены в таблице6.2 .Таблица 6.2 - Расчет параметров потока при 1д=0,005; n=0,02252//см,q,Caм,,0hм,£кh546,551 , 1 01,321,411 049,91,082 , 0 02 , 2 22 053,481,073,043,52250Результаты расчетов представлены графиками на рисунках 6.3, 6.4, по кото­рым видно, что наибольшие расхождения имеют место при значениях глубин,близких к h0 (при /д</кр) или к ^кр (при г'д>г'кр).

Расчет проводился при глубинах боль­ших h0 или h^ соответственно при гд<гкр или iд >г'кр.А/,%1812 %\6/ п=0,01VОп=0,015-6/7=0,10225■12■1813579h ,MРисунок 6.3 - Относительное уточнение в определении длины участка неравномерногодвижения при различной шероховатости канала при q=5 м2/с и уклоне i^=0,005251Рисунок 6.4 - Относительное уточнение в определении длины участка неравномерногодвижения для различных уклонов канала при q=5 м /с, «=0,0225При увеличении шероховатости или уменьшении q, i значение расстояниямежду створами, получаемое по методу Б.А.

Бахметева, больше, но при дальней­шем увеличении глубины расстояние, полученное в результате уточненного ме­тода, превосходит Бахметевское (рисунки 6.3, 6.4).С уменьшением шероховатости с возрастанием q значение расхождения прималых h резко возрастает, но в дальнейшем расхождение стабилизируется и приглубинах 10 - 15 м расхождение близко к 5 - 10%. Однако расхождение тем боль­ше, чем больше q и меньше шероховатость n.При изменении шероховатости расхождение получается тем больше, чемменьше шероховатость.

Таким образом, максимальное расхождение наблюдаетсяпри минимальном расходе и минимальной шероховатости.Интересно отметить, что точность вычислений при расчете глубины на за­данном расстоянии от створа с известной глубиной меньше, чем точность прирасчете расстояния между двумя створами с заданными глубинами. Это объясня­ется тем, что в расчетную формулу (6.39) расстояние S входит в первой степени, а252h в степени 10/3. Поскольку h (или S) вычисляются приближенно, с определеннойточностью, то в первом случае, при вычислении S, ошибка будет меньше.При вычислении глубины при заданном расстоянии от створа методом Б.А.Бахметева также возникает ошибка, так как глубина не выражается явно и урав­нение приходится решать итерациями с определенной точностью.Таким образом, получено уточненное дифференциальное уравнение нерав­номерного движения с учетом изменения коэффициента Кориолиса и коэффици­ента Шези.

Проанализированы факторы, влияющие на величину гидравлическогопоказателя русла трапецеидальных каналов, получены зависимости для его расче­та. Рассмотрена возможность отыскания аналитического решения уточненногодифференциального уравнения. Получено решение для гидравлического показа­теля русла х=3, свойственного широким каналам. Выполнено численное интегри­рование уравнения неравномерного движения для различных условий.

Анализ ре­зультатов интегрирования позволил установить, что уточнение может достигать18% по сравнению с известным методом расчета неравномерного движения,предложенным Б.А. Бахметевым.Выполненный анализ уравнения неравномерного движения с учетом изме­нения коэффициента Кориолиса и его связи с коэффициентом гидравлическогосопротивления показал, что эти факторы, обычно не учитываемые при традици­онном анализе, играют значимую роль и могут приводить к значительным расхо­ждениям с результатами расчетов по методу Б.А. Бахметева.

Это указывает на не­обходимость разработки других подходов к анализу неравномерного движения.253Глава 7. ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОДК АНАЛИЗУ НЕРАВНОМЕРНОГО УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯВ ШИРОКИХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ РУСЛАХ7.1Анализ действующих сил и изменения количества движенияв установившемся неравномерном потокеК анализу закономерностей неравномерного движения обычно применяютподход, основанный на дифференциальном уравнении сохранения энергии [99],аналитическое интегрирование которого для практически важных случаев, какпоказано выше, вызывает затруднения и должно выполняться численно.

Приме­ром такого подхода является известное решение Б.А. Бахметева [7], которое опи­рается на ряд допущений, содержащих определенные неточности: постоянствогидравлического показателя русла на участке неравномерного движения, которыйв действительности изменяется вследствие изменения относительной ширинырусла B/h [130]; определение гидравлического уклона с использованием формулыШези, применимой только для движения равномерного, а также тех или иныхформул для вычисления коэффициента Шези, полученных для условий равномер­ного движения.

Дополнительные неточности решения связаны с предположениема С 2i B ,ллпостоянства на участке интегрирования комплекса--------- (где а — коэффициентg XКориолиса, С - коэффициент Шези, В, х - ширина и смоченный периметр русла).Следует заметить, что энергетическое уравнение сводится к балансу уклонов, ко­торые для равнинных водотоков являются величинами весьма малыми, порядка1 0 " 4^1 0"5, что требует весьма высокой точности решения уравнения, чему не от­вечает в полной мере процедура, предложенная Б.А. Бахметевым.

Указанные не­точности могут привести к существенным ошибкам при прогнозировании зон за­топления, в особенности на равнинных территориях. Все эти обстоятельства со­храняют актуальными вопросы гидравлики неравномерных плавноизменяющихсяоткрытых потоков.254Возможности использования динамического подхода при анализе неравно­мерного плавноизменяющегося движения в открытом широком призматическомрусле рассматривались в работах автора [31, 50, 57].Рассмотрим изменение количества движения в выделенном объеме междусечениями 1-2 (рисунок 7.1) под действием приложенных к нему сил в проекциина направление движения. Расстояние между сечениями 1-2 принимается равнымdx.Рисунок 7.1 - Расчетная схема изменения количества движения в объеме жидкости при нерав­номерном движенииЗа время dt масса жидкости переместится и займет положение между сече­ниями 1-2'.

Выделяя в зоне движения три области, количество движения в на­чальный момент можно условно записать в виде:(mu) t = КД (a ) , + КД (b) , .(7.1)В момент времени t + dt(mu) t+dt=К Д (b) t+dt + К Д (c ) t+d t .(7-2)При этом изменение количества движения выразится какА(mu) = КД(с ) - К Д (a ),(7.3)поскольку в отсеке (b) за время dt изменений не происходит, то естьКД (b ) t +d,=КД (b) , .Поскольку движение установившееся, очевидно, что количество движения вотсеке (а) и в отсеке (с) не будет зависеть от времени t, поэтому индексы в выра­жении (7.3) исключены.255Выражая количество движения в отсеке (с) какКД (с) = pdW •- 2 ,(7.4)где dW = — 2 •dt •h2 — объем жидкости в отсеке (с), запишемК Д (c) = ph2 —2 d t .(7.5)Для учета неравномерности распределения скоростей по глубине потока ввыражение (7.5) необходимо ввести корректив количества движения в — коэф­фициент Буссинеска.