Диссертация (1141455), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Таким образом,Hиспользование зависимости (6.23) при анализе критических режимов возможнолишь для волновых возмущений, длина которых почти в2 0раз и более превышает глубину потока. При — < п значение th, становится близким к 1, и завиИЯв //Исимость (6.25) упрощается к виду:с =4gH1—вА! 2п И(6.26)С использованием зависимости (6.26), справедливой для волновых возмущений, имеющих длину соизмеримую с глубиной потока, условие - кр=С даёт:^ 21ЯFr == _ ^ —S—кр ghp 2п hKp’причем Fr(6.27)УJЯравен 1 только при значении ——=2п (которое выходит за пределыhкрдиапазона волн малой длины).Расчеты по (6.27) показывают, что критические числа Фруда оказываютсязначительно меньше 1 при волновых возмущениях, длина которых меньше 2пИ.241Таким образом, «волновая» трактовка критического режима не даёт однозначных результатов по критическому числу Фруда.Единственным отличием бурных потоков от спокойных является бугристостьсвободной поверхности, которая связывается с проявлением на поверхности турбулентных пульсаций скорости и давления.Эта физическая особенность может быть использована в качестве более общей физической трактовки критического режима.Очевидно, что маломасштабные возмущения на поверхности потока могутподавляться силами поверхностного натяжения.
Анализ, выполненный с использованием формулы Лапласа для давления, вызванного поверхностным натяжением при искривлении свободной поверхности:Рл _ — .r(6-28)где а - поверхностное натяжение.Возмущения с радиусом кривизны свободной поверхности г<1,5см будут подавляться силами поверхностного натяжения.Фотографии свободной поверхности бурных потоков, выполненные с малойэкспозицией, обнаруживают стохастический характер бугристости, которая перемешивается вдоль потока со скоростью, близкой к скорости течения (рисунок6.2 ).Рисунок 6.2 - Свободная поверхность бурного потокаПринимая среднее значение стандарта турбулентных пульсаций давления впридонной области потокаp_ 3,5pu*2(6.29)242и считая, что это возмущение "проявится" на поверхности потока стохастическойбугристостью высотой К , запишем:p ' _ pgh1_ 3Дpu*(6.30)откуда3h' _5u 2(6.31)gИспользуя известную связь между динамической и средней скоростью потоXка (м*2 _ — V2), выражение (6.31) запишем в виде:8Vi _кgH 3,5 XC H(6.32)Выражение (6.32) показывает, что высота бугристости на свободной поверхности потока нарастает с ростом числа Фруда и коэффициента гидравлическогосопротивления Хс.Числовая оценка числа Фруда, при котором на поверхности потока появляется различимая бугристость для лабораторных условий при H ~ 0,1м и Хс = 0,02,даетgHкр_ _ 8 __ 1 1 0 -3_ 1,14_ 3,5 0,02 10- 12Для натурных условий (например, горной реки, H - ^ ; к’ ~10" м; Л,с=0,025)критическое число Фруда составит:-28gH .кр11 03,5 0,025 10 - 1_ 0,91Приведенные оценки критического числа Фруда, выполненные на основепредлагаемого феноменологического подхода, дают числовые значения критического числа Фруда, близкие к 1,0, что позволяет считать предлагаемый подходфизически и формально приемлемым для определения критического режима течения [2 0 ].2436.3Уточнение уравнения неравномерного движения с учетомзависимости коэффициента Кориолиса от коэффициента Шези а=ДС)При интегрировании уравнения по Б.А.
Бахметеву предполагается постоянство коэффициента Кориолиса а при изменении глубины, однако проф. д.т.н. А.Д.Альтшулем установлено [2], что коэффициент а связан с коэффициентом гидравлического сопротивления I или коэффициентом Шези С, который, как известно,зависит от глубины h и шероховатости п:%Cпри(6.33)2Следовательно, коэффициент Кориолиса а при неравномерном движении неявляется величиной постоянной, как предполагал Б.А. Бахметев, а зависит от h ип. Кроме того, на участке интегрирования считается постоянным коэффициент _/ср,в который входит коэффициент Шези С, зависящий от h и п.
Установлено также,что гидравлический показатель русла x является строго постоянной величинойлишь для треугольного и широкого канала. Учет указанных обстоятельств позволяет произвести более точный расчет неравномерного движения.Возвращаясь к уравнению (6.1) и учитывая, чтоdHI - уклон свободной~dSповерхности (пьезометрический уклон), выразим потери напора через расход:hQ2 S®2C 2Rпри этом уравнение (6 . 1 ) запишется в виде:21Q daaQ 2 dI=+ ^2 g dS y ® 2 j 2 g® dSгдеdhdSQ2 sdS K®2C 2R Jr\ 2 o J /•»2d(d2C 2Rd a = d 1+ 2 ,6 5 % Л~dS ~ d SC2dhwwdS+(6.34)1\C2R dS v ® 2 Jd ( 1 л2,65 •8 g — | - 2d S VC z j+Q2S d r\1®2R d S C2+ Q2S d ( I ' N.®2C 2 dS I R J ’244Выражая С по Маннингу, находим—dSdR= — (n2R 4 / 3 ) = -----j 1dS3n2 R " 4 3 dSПерепишем выражение (6.34) с учетом полученных соотношений:12,65Q 1dRaQ d++8 g2 g dS v o J 2 g o 23n3 R “ 4 / 3 dSdR Q 2SQ2S d r 1 \+■++ Q 2 S ( - 1 n2R -V3+ ^dS o 22C23o 2 C2R C/ R dS v o J o 2RI1R 2dR—sПоскольку в общем случае o = f (h, S ), то d o = d ^ d S + ^ ^ —h , тогда( d o d o dh^+o v dS dh dS J—dS v o 2 J2Далее, рассматривая призматическое широкое сечение (do~dS0, b>>h, R=h),запишем:I =-2 2aQ 2 ( 2 d o dh IQ 2 n 2 dhQ 2n- 3,53+2 go 3 dh dSo 2 h 4 / 3 dS o 2 h 4 / 3Q2Sn2 ( 2 d o dh Ih4/ 3o 3 dh dSПоскольку I22 14 QAnzSdh3 o 2 h 7 / 3 dSdHdS; iadzdh— ; I = L ------, так как z + h = H .dSdSdoТак как — = B - ширина русла поверху (для прямоугольного русла B=b),dhокончательно получаемdhdS1-Q2gb 2 h 3l - Qn2_д b2 h1 0 / 324,73Q2n2b2 h 1 0 / 310 Q2 n2S3 b2 h13/3(6.35)Полученное уточненное уравнение для неравномерного движения в призматическом русле отличается от известного уравнения [99] двумя дополнительнымислагаемыми в знаменателе выражения (6.35), влияние которых следует оценить.2456.4 Аналитическое решение уравнения неравномерного движениядля широкого призматического каналаДля оценки влияния дополнительных слагаемых выполним анализ возможности аналитического решения данного уравнения.
Ход возможного аналитического решения дифференциального уравнения следующий.Запишем выражение (6.35) в виде2-224,73QAn1b2 h 1 0 / 3QAn11gb 2 h 3ъ2 — 1 0 / 310 Q1n1S dh3 b 2 h 1 3 / 3 dSВведем обозначенияQ Уъ2=a.=bПосле преобразований получаемb h -13/3■+SdS 3 ld - bh -10/3dh1 01 - ah- 3 - 24,73bh -10/3-10/3d bh(6.36)Полученное уравнение решается при помощи метода произвольной постоянной Лагранжа [18]У + P(x )У = g (x).1.(6.37)Находим первоначально решение однородного уравнения:y' + P(x )y = 0 ;dy= - P(x )dx;Уln y = - J P(x )dx + ln C2.y = Ce-J P(x)dxРешение неоднородного уравнения находится с учетом правой частиg(x) и найденного решения однородного уравнения:y = C (x )e_JР(хd ;подставляя однородное уравнение в выражение (6.37), получим:C '(x ) е-J P(x)dxC (x ) p-J P(x)dx(x )е+ C (x ) p-J P(x)dx(x )eg (x ) ;246C (x ) = g (x )e 1 P(x* ;C (x ) = J g (x )eJ PPx dx + C ;-I P(x)dx -I P(x)dx г / \ IP(x\dx .y = Ce J+e JI g (x)eJdx.Таким образом, получена сумма общего решения однородного уравнения ичастного решения.
Для дальнейшего анализа используется метод Рунге - Кутта[6 ].При решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений первогопорядкаУ' = f (x, УXy (xo) = Уоприближенное значение функции в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:Ук+ 1 = Ук + ак1 + в к 2 + кгдек 1+ 554 ,= h f (x5 ; у к ) ;к 2 = h f (x5 + a1h; у к + ь1к1) ;к3 = h f (x5 + a2h; у к + b 2 к 2 ) ;к 4 = h f (x5 + a3h;у к + b3к3) ;h — величина шага по x.Этот метод имеет четвёртый порядок точности, то есть суммарная ошибка наконечном интервале интегрирования имеет порядок o(h 4 ) (ошибка на каждомшаге порядка o (h 5)).При шаге h=1 коэффициенты принимают следующие значения:а=5=1/6;Р=у=1/3;a 1 =b2 =a 2 =b2 = 1 /2 ; a3=b3=1;у к+1 = у к + 7 (к1 + 2к2 + 2к3 + к 4);6к1 = h f (x5 ; Ук) ;247hk2=hfxk + 2 ; y k + 2hk2Лxk + ~ ; yk +v2л 2 _k 4 = h f (xk + h; Ук + k3) .При расчете для заданных условий исследовалось изменение расстояния Sмежду створами с заданной глубиной.
Для сравнения расстояние определялосьтакже по методу Бахметева и вычислялась относительная ошибка. В случае широкого русла гидравлический показатель русла х близок к 3 и интеграл Бахметеваможет быть вычислен в квадратурах:г dx1 ,( 1 - x) 2+I----- 3 = — ln - ^J 1 - x361 + x + x12 x + 1—r arctg — j=v3V3При других значениях х интеграл может быть получен численно по методуСимпсона.6.5 Количественные оценки уточненных решенийДля количественных оценок уточненных решений были рассмотрены три задачи:1.
Исследовались формы кривых свободной поверхности при /д</кр; гд> кр.2. Определялась величина расхождения в результатах двух методов расчетапри вычислении расстояния между створами с заданными глубинами.3. Определялась величина расхождения в результатах двух методов расчетапри вычислении глубины на заданном расстоянии от створа с известной глубиной.По ходу решения первой задачи необходимо вычисление критической глубины h^, критического уклона /кр и нормальной глубины h0.
Глубина h^ в случае248прямоугольного русла равна hкр _3aQ22 ,; критическийg j -; норкритический уклонуклон 1,кр __ ---gbаС крмальная глубина определяется по методу Бахметева, приведенному выше.При расчете по уточненному методу глубины к0 и ккр определялись по формесвободной поверхности следующим образом. Учитывалось, что если 1д>1кр, то приувеличении глубины от0до к 0 расстояние между створами возрастает, а на интервале от к 0 до ккр расстояние между створами убывает.
Таким образом, по характеруповедения S как функции h можно определить ккр и к0. Расхождение в значениях к,фи к 0 незначительно, 0,5% - 1,0%. Поскольку имеет место асимптотическое стремление кривой свободной поверхности к к0 (в случае 1д>1 кр) и к ккр (при 1д> 1кр), расхождение в длинах, определенных по методу Бахметева и предлагаемому методу вблизи к 0 и ккр весьма значительно и может достигать 50% и более.Вторая и третья задачи решались при различных условиях: варьировалосьзначение удельного расхода q и уклон дна 1д, так как именно эти параметры наиболее сильно влияют на характер движения жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
