Диссертация (О некоторых операциях между теориями когомологий алгебраических многообразий), страница 2

Ýòî íåñëîæíî ïðîâåðèòü äëÿ ãðóïï ×æîó, îäíàêî, ëþáàÿ ñâîáîäíàÿ òåîðèÿ* , êîëüöî êîýôôèöèåíòîâ êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ Q -àëãåáðîé, êàíîíè÷åñêèåèçîìîðôíà ãðóïïàì ×æîó c êîýôôèöèåíòàìè â , ò.å. * ⊗Z , è óòâåðæäåíèå äëÿ * òàêæå ñëåäóåò.Òåì íå ìåíåå, öåëî÷èñëåííî ñâîáîäíûå òåîðèè î÷åíü ñèëüíî îòëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé è îïåðàöèè ìåæäó íèìè ïîçâîëÿþò ïîëó÷àòü èíôîðìàöèþ îáîäíèõ èíâàðèàíòàõ ïðè ïîìîùè äðóãèõ èíâàðèàíòîâ, êîòîðûå â êîíêðåòíîé çàäà÷å ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû áîëåå ïðîñòûì ñïîñîáîì. Íàèáîëåå òèïè÷íûì ïðèìåðîì òàêîãî ðîäà ÿâëÿþòñÿ êëàññû ×åðíà, êîòîðûå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàêîïåðàöèè èç Ê-òåîðèè âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé ñî çíà÷åíèÿìè â ãðóïïàõ ×æîóèëè â ïðîèçâîëüíîé îðèåíòèðîâàííîé òåîðèè. Äëÿ íåêîòîðûõ ìíîãîîáðàçèé(êàê, íàïðèìåð, êâàäðèêè èëè ìíîãîîáðàçèÿ Ñåâåðè-Áðàóýðà) ïîñòðîåíèå âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé íà íèõ èëè äàæå âû÷èñëåíèå Ê-òåîðèè ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîéçàäà÷åé, à âû÷èñëåíèå ãðóïï ×æîó, â îáùåì ñëó÷àå, ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì âîïðîñîì. Êëàññû ×åðíà âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé â òàêèõ ïðèìåðàõ ïîçâîëÿþò ñòðîèòüýëåìåíòû â ãðóïïàõ ×æîó, êîòîðûå ñëîæíî ïîñòðîèòü äðóãèì îáðàçîì. äàííîé ðàáîòå ìû ñòðîèì îïåðàöèè èç ()* â * ⊗ Z() , ãäåZ() ëîêàëèçàöèÿ öåëûõ ÷èñåë âíå ïðîñòîãî ÷èñëà , íàçûâàåìûå íàìè êëàññàìè ×åðíà, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ìîäèôèöèðîâàííîé ôîðìóëå Êàðòàíà: ( + ) = () ( (), ()),ãäå =∑︀≥1 , à () ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí, àññîöèèðîâàííûé ñÊ-òåîðèåé Ìîðàâû.

Êðîìå òîãî, ìû ïîêàçûâàåì, ÷òî ëþáàÿ îïåðàöèÿ èç ()*â * ⊗Z() ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà åäèíñòâåííûì îáðàçîì êàê ôîðìàëüíûéðÿä îò êëàññîâ ×åðíà. Ñóùåñòâîâàíèå îïåðàöèé , óäîâëåòâîðÿþùèõ óêàçàííûì ñâîéñòâàì, óêàçûâàåò íà íåêîòîðóþ ñõîæåñòü ìåæäó Ê-òåîðèÿìè Ìîðàâûè Ê-òåîðèåé Ãðîòåíäèêà. Ìû òàêæå äîêàçûâàåì, ÷òî ïåðâûå êëàññîâ ×åðíàÿâëÿþòñÿ ñþðüåêòèâíûìè, áëàãîäàðÿ ÷åìó èõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îöåíêèðàçìåðà ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðóïï ×æîó â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà Ê-òåîðèþ Ìîðàâûìíîãîîáðàçèÿ ìîæíî âû÷èñëèòü.8Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî "êëàññû ×åðíà" èç Ê-òåîðèé Ìîðàâû ìîæíî îïðåäåëèòü ñî çíà÷åíèÿìè âî âñåõ -òèïè÷åñêèõ îðèåíòèðîâàííûõ òåîðèÿõ.

 ÷àñòíîñòè, ìîæíî îïðåäåëèòü êëàññû ×åðíà èç ()* â ()* . Èñïîëüçóÿ ýòèîïåðàöèè, ìîæíî îïðåäåëèòü, àíàëîãè÷íî Ê-òåîðèè, ãàììà-ôèëüòðàöèþ íà Êòåîðèÿõ Ìîðàâû è äîêàçàòü å¼ ñâîéñòâà, àíàëîãè÷íûå êëàññè÷åñêèì ñâîéñòâàìãàììà-ôèëüòðàöèè íà 0 .  ÷àñòíîñòè, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïåðâûå ôàêòîðîâ ãàììà-ôèëüòðàöèè íà ()* ñþðüåêòèâíî è àääèòèâíî îòîáðàæàþòñÿ âñîîòâåòñòâóþùèå ãðóïïû ×æîó ñ Z() -êîýôôèöèåíòàìè.

Ýòî ïîçâîëÿåò ïðèìåíÿòü Ê-òåîðèþ Ìîðàâû äëÿ îöåíîê êðó÷åíèÿ â ãðóïïàõ ×æîó íåêîòîðûõìíîãîîáðàçèé.Ïðèìåðàìè òàêèõ ìíîãîîáðàçèé ÿâëÿþòñÿ êâàäðèêè ñïåöèàëüíîãî âèäà.Âîîáùå ãîâîðÿ, íåòðèâèàëüíîñòü êâàäðàòè÷íîé ôîðìû íàä ïîëåì èçìåðÿåòñÿ å¼ êëàññîì â êîëüöå Âèòòà ( ) . Êîëüöî Âèòòà ôèëüòðîâàíî ñòåïåíÿìèôóíäàìåíòàëüíîãî èäåàëà = ( ) ⊂ ( ) , è ñîãëàñíî ãèïîòåçå Ìèëíîðà(òåîðåìå Âèøèêà-Âîåâîäñêîãî-Îðëîâà) âûñîêèì ñòåïåíÿì èäåàëà ñîîòâåòñâòóåòêîãîìîëîãè÷åñêèå èíâàðèàíòû âûñîêîé ãðàäóèðîâêè ó ñîîòâåòñòâóþùåé êâàäðèêè.Êàê çàìåòèë Â. Âîåâîäñêèé íà ïðèìåðå êâàäðèê Ïôèñòåðà, -àÿ Êòåîðèÿ Ìîðàâû "íå îòëè÷àåò" êâàäðèêó, êëàññ êîòîðîé ëåæèò â + 2 -îé ñòåïåíè ôóíäàìåíòàëüíîãî èäåàëà, îò ñàìîé ïðîñòî óñòðîåííîé êâàäðèêè, ðàñùåïèìîé.

Äàííîå óòâåðæäåíèå áûëî äîêàçàíî Í. Ñåì¼íîâûì äëÿ ïðîèçâîëüíîéêâàäðèêè èç ñòåïåíè ôóíäàìåíòàëüíîãî èäåàëà. Ýòî ïîçâîëÿåò íàì, èñïîëüçóÿêëàññû ×åðíà è ãàììà-ôèëüòðàöèþ íà Ê-òåîðèÿõ Ìîðàâû, ïîëó÷èòü îöåíêè íàêðó÷åíèå â ïåðâûõ 2 ãðóïïàõ ×æîó êâàäðèêè èç èäåàëà +2 .Цели исследованияÖåëÿìè äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî òàííàêèåâîñòè êàòåãîðèè ïëîñêèõ ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà è êëàññèôèêàöèÿ îïåðàöèé èç àëãåáðàè÷åñêèõ Êòåîðèé Ìîðàâû â ãðóïïû ×æîó ñ Z() -êîýôôèöèåíòàìè.9Научная новизнаÂñå ïðåäñòàâëåííûå íà çàùèòó ïîëîæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ íîâûìè íàó÷íûìè ðåçóëüòàòàìè.

 ÷àñòíîñòè, âïåðâûå èññëåäîâàíà êàòåãîðèÿ ïëîñêèõ ñòðóêòóð ÕîäæàÒåéòà êàê àáåëåâà êàòåãîðèÿ. ×àñòè÷íûå ðåçóëüòàòû îá îïåðàöèÿõ èç Ê-òåîðèéÌîðàâû â ãðóïïû ×æîó áûëè ïîëó÷åíû ðàíåå Â. Ïåòðîâûì è Í. Cåì¼íîâûì,îäíàêî, èõ êîíñòðóêöèè êàñàëèñü îïåðàöèé, íå ó÷èòûâàþùèõ êðó÷åíèå.

Êëàññèôèêàöèÿ îïåðàöèé èç àëãåáðàè÷åñêèõ Ê-òåîðèé Ìîðàâû â ãðóïïû ×æîó âûïîëíåíà âïåðâûå.Положения, выносимые на защитуÎñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèîííîãî èññëåäîâàíèÿ çàêëþ÷àþòñÿ â ñëåäóþùåì:∙ îïèñàíèå êàòåãîðèè ïëîñêèõ ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà êàê ïðåäñòàâëåíèéÿâíî çàäàííîé àëãåáðû Õîïôà;∙ ïîñòðîåíèå îïåðàöèé èç àëãåáðàè÷åñêèõ Ê-òåîðèé Ìîðàâû â ãðóïïû ×æîó ñ Z() -êîýôôèöèåíòàìè, óäîâëåòâîðÿþùèõ ìîäèôèöèðîâàííîéôîðìóëå Êàðòàíà;∙ äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ïîñòðîåííûå îïåðàöèè ñâîáîäíî ïîðîæäàþòêîëüöî âñåõ îïåðàöèé.Теоретическая значимость работыÄèññåðòàöèÿ íîñèò òåîðåòè÷åñêèé õàðàêòåð.

ż ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè îäíîðîäíûõ ïðîñòðàíñòâ íàä íåçàìêíóòûìè ïîëÿìè, òåîðèè ìîòèâîâ Òåéòà ñ êîìïëåêñíûìè è êîíå÷íûìè êîýôôèöèåíòàìè, èçó÷åíèè îáîáù¼ííûõ îðèåíòèðîâàííûõ òåîðèé êîãîìîëîãèé.10Методы исследования äàííîé ðàáîòå èñïîëüçîâàíû ìåòîäû ãîìîëîãè÷åñêîé àëãåáðû, àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè è àëãåáðû.Степень достоверности и апробация результатовÏðåäñòàâëåííûå íà çàùèòó ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ìàòåìàòè÷åñêèå óòâåðæäåíèÿ è ñîïðîâîæäàþòñÿ ñòðîãèìè äîêàçàòåëüñòâàìè.Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü∙ íà âîðêøîïå "Algebraic Cobordism and Projective Homogeneous Varieties"â Îáåðâîëüôàõå (Ãåðìàíèÿ), ôåâðàëü 2016 ã.;∙ íà ñåìèíàðå Ô.

Ìîðåëÿ â Ìþíõåíå, ìàé 2016 ã.;∙ íà ñåìèíàðå â Èññëåäîâàòåëüñêîé Ëàáîðàòîðèè èìåíè Ï.Ë.×åáûøåâà âÑàíêò-Ïåòåðáóðãå, íîÿáðü 2016 ã.;∙ íà Êîíêóðñå Àâãóñòà ̼áèóñà â Ìîñêâå, íîÿáðü 2016 ã.ПубликацииÎñíîâíûå ðåçóëüòàòû îïóáëèêîâàíû â äâóõ ðàáîòàõ â íàó÷íîì æóðíàëå, âõîäÿùåì â ñïèñîê ðåêîìåíäîâàííûõ æóðíàëîâ ÂÀÊ.Структура работыÄèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç òð¼õ ãëàâ è ñïèñêà ëèòåðàòóðû èç 35 íàèìåíîâàíèé.Îáùèé îáú¼ì äèññåðòàöèè ñîñòàâëÿåò 105 ñòðàíèö.БлагодарностиÀâòîð âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü ñâîåìó íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ Ì.Ç. Ðîâèíñêîìó çà ïîñòàíîâêó çàäà÷è î ïëîñêèõ ñòðóêòóðàõ Õîäæà-Òåéòà, âíèìàòåëüíîå îòíîøåíèå ê íåïîíèìàíèþ àâòîðîì äèññåðòàöèè ðàçëè÷íûõ èäåé è êîíñòðóêöèé,11çà íåîäíîêðàòíóþ ïîìîùü â êîððåêòóðå òåêñòîâ è çà ìíîãèå ãîäû èíòåðåñíîãîîáùåíèÿ íà ðàçëè÷íûå ìàòåìàòè÷åñêèå òåìû.Àâòîð ñåðäå÷íî áëàãîäàðèò À.Ñ.

Âèøèêà çà ïîñòàíîâêó çàäà÷è îá îïåðàöèÿõ, ìíîãî÷èñëåííûå áåñåäû è äåòàëüíóþ êîððåêòóðó àíãëîÿçû÷íîé âåðñèèòåêñòà î Ê-òåîðèÿõ Ìîðàâû.12Глава 1. Категория плоских структур Ходжа-ТейтаÐàçëè÷íûå êîãîìîëîãèè àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé èìåþò ñòðóêòóðó, äîïîëíèòåëüíóþ ê ñòðóêòóðå âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà: íà êîãîìîëîãèÿõ äå Ðàìà èìååòñÿ ôèëüòðàöèÿ Õîäæà, íà ýòàëüíûõ êîãîìîëîãèÿõ èìååòñÿ äåéñòâèå ãðóïïûÃàëóà, â ñèíãóëÿðíûõ êîãîìîëîãèÿõ ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè èìååòñÿ öåëî÷èñëåííàÿ ðåø¼òêà. Èçó÷åíèå òàêîãî ðîäà äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèèÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ïîäõîäîâ ê òåîðèè ìîòèâîâ, íåêîòîðîé ãèïîòåòè÷åñêîé óíèâåðñàëüíîé òåîðèè êîãîìîëîãèé.Îäíîé èç ñòðóêòóð íà àëãåáðàè÷åñêèõ êîãîìîëîãèÿõ äå Ðàìà ìíîãîîáðàO−→çèÿ, îïðåäåë¼ííîãî íàä ïîëåì , ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíîñòü Ãàóññà-Ìàíèíà: .

Ýòà ñâÿçíîñòü ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîé è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ òðàíñΩ1/Q ⊗ âåðñàëüíîñòè Ãðèôôèòñà.Åñëè çàôèêñèðîâàòü âëîæåíèå → C , òî àëãåáðàè÷åñêèå êîãîìîëîãèèäå Ðàìà êîìïëåêñèôèêàöèè ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ àíàëèòè÷åñêèìè êîãîìîëîãèÿìè äå Ðàìà, è çàäàòü ñâÿçíîñòü Ãàóññà-Ìàíèíà íà ñîîòâåòñòâóþùåé ñòðóêòóðå Õîäæà: O : → Ω1C/Q ⊗ .Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå, åñëè ìíîãîîáðàçèå áûëî îïðåäåëåíî íàä ÷èñëîâûìïîëåì, òî Ω1/Q = 0 . Îäíàêî, ñâÿçíîñòü Ãàóññà-Ìàíèíà íà ñòðóêòóðå Õîäæàáóäåò ñîäåðæàòü äîïîëíèòåëüíóþ èíôîðìàöèþ î êîãîìîëîãèÿõ ìíîãîîáðàçèÿ.À èìåííî, íà Q -ðåø¼òêå ñèíãóëÿðíûõ êîãîìîëîãèé ñâÿçíîñòü áóäåò äåéñòâîâàòü êàê ôîðìàëüíûå (ò.å.

ëåæàùèå â Ω1C/Q ) äèôôåðåíöèàëû ïåðèîäîâ äàííûõêîãîìîëîãèé. ðàáîòå [28] Ì. Ðîâèíñêèé äîêàçàë, ÷òî ñâÿçíîñòü, áóäó÷è îïðåäåëåíà íà ëîãàðèôìè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ Õîäæà-Òåéòà, ÿâëÿþùèõñÿ ðàñøèðåíèÿìèQ(0) ïðè ïîìîùè Q(1) , åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðîäîëæàåòñÿ íà âñå ñòðóêòóðû Õîäæà-Òåéòà, åñëè íàëîæèòü íà íå¼ íåêîòîðûå óñëîâèÿ, âûïîëíåííûå â13ãåîìåòðè÷åñêîé ñèòóàöèè. Áîëåå òîãî, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íå âñå èç íèõ ÿâëÿþòñÿ ïëîñêèìè îòíîñèòåëüíî ýòîé ñâÿçíîñòè.

 ðàáîòå [28] âû÷èñëåíà ãðóïïàExt2 (Q(0), Q(2)) â êàòåãîðèè ïëîñêèõ ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà.Íàïîìíèì, ÷òî îäíî èç îáîáùåíèé ãèïîòåçû Õîäæà óòâåðæäàåò, ÷òî (àáåëåâà) êàòåãîðèÿ ñìåøàííûõ ìîòèâîâ íàä C ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé ïîäêàòåãîðèåé âêàòåãîðèè ñòðóêòóð Õîäæà. Òàêèì îáðàçîì, íàõîæäåíèå è îïèñàíèå ïîäêàòåãîðèè â êàòåãîðèè ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà, ñîäåðæàùåé âñå îáúåêòû, "ïðèõîäÿùèåèç ãåîìåòðèè", ÿâëÿåòñÿ èíòåðåñíîé çàäà÷åé. äàííîé ãëàâå ìû âû÷èñëÿåì êàòåãîðèþ ïëîñêèõ ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòàêàê òàííàêèåâó êàòåãîðèþ, ò.å. ÿâíî îïèñûâàåì àëãåáðó Õîïôà, êàòåãîðèé ïðåäñòàâëåíèé êîòîðîé ýêâèâàëåíòíà êàòåãîðèÿ ïëîñêèõ ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà.

Â÷àñòíîñòè, ýòî ïîçâîëÿåò äîêàçàòü, ÷òî àëãåáðà ⊕≥0 Ext (Q(0), Q()) ÿâëÿåòñÿêâàäðàòè÷íîé.1.1 Категории ТейтаÇàôèêñèðóåì ïîëå .  ýòîì ðàçäåëå âñå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà ïðåäïîëàãàþòñÿ âåêòîðíûìè ïðîñòðàíñòâàìè íàä , à âñå ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ -ëèíåéíûìè (â ÷àñòíîñòè, àëãåáðû Õîïôà ÿâëÿþòñÿ -áèàëãåáðàìè).Ñèìâîë ⊗ îáîçíà÷àåò òåíçîðíîå óìíîæåíèå -âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ.1.1.1 Связные алгебры Хопфа и категории ТейтаОпределение 1.1.1. Áóäåì íàçûâàòü Z≥0 -ãðàäóèðîâàííóþ àëãåáðó Õîïôà∙ íàä ïîëåì ñâÿçíîé, åñëè 0 = . (Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ñâÿçíûåáèàëãåáðû è êîàëãåáðû.)Определение 1.1.2.

Íåéòðàëüíàÿ òàííàêèåâà êàòåãîðèÿ ( , ⊗) âìåñòå ñ âû-äåëåííûì îäíîìåðíûì îáúåêòîì (1) íàçûâàåòñÿ êàòåãîðèåé Òåéòà, åñëè êàæäûé îáúåêò ÿâëÿåòñÿ ðàñøèðåíèåì îáúåêòîâ () , ∈ Z , ãäå (0) åäèíè÷-14íûé îáúåêò òàííàêèåâîé êàòåãîðèè,⎧⎪⎨(1)⊗ ,åñëè > 0,() :=⎪⎩((1)⊗(−) )* , åñëè < 0;îáúåêòû () íåèçîìîðôíû äëÿ ðàçíûõ è Ext1 ((0), ()) = 0 ïðè ≤ 0 .Предложение 1.1.3 ([14, 8.1]). На всякой категории Тейта ℳ существу-ет канонический функтор слоя в категорию градуированных векторныхпространств.Таннакиева категория ( ℳ , ) эквивалентна категории градуированных представлений связной алгебры Хопфа.Верно и обратное: категория представлений связной алгебры Хопфа является категорией Тейта.Предложение 1.1.4 (Lofwall).

Пусть ℳ – категория Тейта над .Тогда градуированная алгебра ⊕≥0 Extℳ ((0), ()) является квадратичной.Доказательство. Ïîñêîëüêó êàòåãîðèÿ ℳ êàê àáåëåâà êàòåãîðèÿ ýêâèâàëåíòíà êàòåãîðèè êîíå÷íîìåðíûõ êîìîäóëåé íàä íåêîòîðîé ñâÿçíîé êîàëãåáðîé, òîóòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç îáùåãî ôàêòà î êâàäðàòè÷íîñòè àëãåáðû ðàñøèðåíèéäëÿ ñâÿçíûõ êîàëãåáð (ñì. [22]).Äëÿ óäîáñòâà äàëüíåéøèõ ññûëîê ïðèâåä¼ì ïðèìåð ñâÿçíîé àëãåáðû Õîïôà,êîòîðûé áóäåò âñòðå÷àòüñÿ äàëåå.Ïóñòü = ⊕ Z>0 -ãðàäóèðîâàííîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî. Îáî⊗çíà÷èì ( ) = ⊕∞ãðàäóèðîâàííîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì=0 ∑︀ýëåìåíòû 1 ⊗ · · · ⊗ èìåþò ãðàäóèðîâêó .Предложение 1.1.5. На градуированном векторном пространстве ( ) естьструктура алгебры Хопфа, т.ч. ( ) имеет структуру косвободной градуированной коалгебры.Категория представлений ( ) является категорией Тейта (относительно естественного функтора слоя) и имеет Ext -размерность 1, причём1 ((0), ()) = .15Доказательство.