Диссертация (О некоторых операциях между теориями когомологий алгебраических многообразий), страница 12

. , ]⊙ äëÿ íåêîòîðîãî ≥ 1 .Â-òðåòüèõ, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû íå ÿâëÿþòñÿ -öåëî÷èñëåííûìè, ò.ê. -öåëî÷èñëåííóþ ÷àñòü ìîæíî âû÷åñòü, íå ðàçðóøàÿïðè ýòîì êîíòðïðèìåðà.Òåïåðü ìû â íåñêîëüêî øàãîâ ñâåä¼ì êîíòðïðèìåð ê âèäó2i 1i=(1 ,2 ,..., );(1 ,..., ) 1 ⊙∑︀2 ⊙ · · · ⊙ , ãäå i ∈ Z×() è - äëÿ ëþáûõ : 1 ≤ ≤ . Öåëî÷èñ-ëåííîñòü òàêîé îïåðàöèè íàõîäèòñÿ â ïðîòèâîðå÷èè ñî Ñëåäñòâèåì 2.10.16.71Îáîçíà÷èì ÷åðåç íàèáîëüøèé èíäåêñ êëàññà ×åðíà, âñòðå÷àþùåãîñÿñðåäè ïåðâûõ êîìïîíåíò ïîëè-ìíîãî÷ëåíà .

Îïåðàöèþ ìîæíî åäèíñòâåí∑︀ −11íûì îáðàçîì ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììûs=( ,−1 ,...,1 ) s −1 · · · 1 ⊙ s , ãäås ∈ Z() [1 , . . . , ]⊙( −1) -öåëî÷èñëåííûé ìíîãî÷ëåí, ò.÷. s íå ðàâåí íóëþ ïî ìîäóëþ .Çàìåòèì, ÷òî åñëè êîýôôèöèåíò s íå ðàâåí íóëþ, è, çíà÷èò, íå öåëî÷èñëåííåí ïî íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ, òî ïðîèçâîäíûå s äåëèìû íà êàê ìíîãî÷ëåíû îò êëàññîâ ×åðíà äëÿ ëþáûõ : 1 ≤ ≤ −1 .

Äåéñòâèòåëüíî,−1ïðîèçâîäíàÿ ïî (+1) -îé êîìïîíåíòå ñîäåðæèò ñëàãàåìûå s −1· · · 11 ⊙ s , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ -öåëî÷èñëåííûìè, åñëè è òîëüêî åñëè âûðàæåíèås s ÿâëÿåòñÿ -öåëî÷èñëåííûì.Íàïîìíèì, ÷òî ëåêñèêî-ãðàôè÷åñêèé ïîðÿäîê íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ èç íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë îïðåäåëÿåòñÿ òàê: ( , −1 , . . . , 1 ) ≻ ( , −1 , .

. . , 1 )åñëè è òîëüêî åñëè ñóùåñòâóåò : 1 ≤ ≤ , ò.÷. = äëÿ ≥ ≥ è−1 > −1 . Íàïðèìåð, (1, 0, . . . , 0) ≻ (0, 2, . . . , 0) .Ïóñòü r = ( , −1 , . . . , 1 ) ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì ≻ -èíäåêñîì ïðè íåíóëåâîì êîýôôèöèåíòå s ìíîãî÷ëåíà . Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæåìñ÷èòàòü, ÷òî r =1. Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó âûáîðà ìû èìååì ̸= 0 . Îáî-çíà÷èì ÷åðåç := r ìíîãî÷ëåí ïðè âûáðàííîì êîýôôèöèåíòå.Äàëåå ìû ïîêàæåì, ÷òî óñëîâèå Ëåììû î -öåëî÷èñëåííîñòè ïðîèçâîäíûõ íàêëàäûâàåò ñòðîãèå îãðàíè÷åíèÿ íà íàáîð r .Шаг 1.

Íàáîð r äîëæåí áûòü âèäà ( , 0, 0, . . . , 0) äëÿ íåêîòîðîãî≥0.Íàïîìíèì, êàê âûãëÿäÿò ïðîèçâîäíûå ìîíîìîâ îò êëàññîâ ×åðíà:( · · · 11 )(, )∏︁∏︁= ( ()+ ()+ (, )) · · · (1 ()+1 ()) − ( ()) − ( ()) .1=1=1 ÷àñòíîñòè, åñëè ñóùåñòâóåò ÷èñëî ̸= 0 ñ èíäåêñîì < , òî âû∏︀−1ðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè âûøå ñîäåðæèò ñëàãàåìîå () =1 () , êîòîðîåíå ñîêðàùàåòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, â ïðîèçâîäíîé 1 ìû ïîëó÷èì ñëàãàåìîå∏︀−1 1 ⊙ =1 ⊙ , êîòîðîå íå ñîêðàòèòñÿ ñ ïðîèçâîäíûìè äðóãèõ ñëàãàåìûõ â ñèëó âûáîðà íàáîðà r êàê èìåþùåãî íàèáîëüøèé ≻ -ïîðÿäîê.72Åñëè ÷èñëî íå ÿâëÿåòñÿ ñòåïåíüþ , òî ñóùåñòâóåò ÷èñëî : 1 ≤(︀ )︀ ≤ − 1 , ò.÷. íå äåëèòñÿ íà .  òàêîì ñëó÷àå 1 ( 1 ⊙ ) ñîäåðæèò(︀ )︀íå- -öåëî÷èñëåííîå ñëàãàåìîå 1 − ⊙ ⊙ , êîòîðîå íå ñîêðàòèòñÿ ñïðîèçâîäíûìè äðóãèõ ìîíîìîâ â èç-çà âûáîðà ( , 0, .

. . , 0) .Òàêèì îáðàçîì ìû ïîêàçàëè, ÷òî ñëàãàåìîå ñ íàèáîëüøèì ≻ -ïîðÿäêîìèíäåêñà èìååò âèä1 ⊙ .Шаг 2. ×èñëî íå äåëèòñÿ íà .Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, è îáîçíà÷èì ÷åðåç ÷àñòíîåôîðìóëå Êàðòàíà ïðîèçâîäíàÿ ñîäåðæèò âûðàæåíèå − 1 −. Ñîãëàñíî∑︀ −1 (︀ )︀ ⊙=1â êà÷åñòâå ñëàãàåìîãî. Çàìåòèì, ÷òî â ýòîì âûðàæåíèè åñòü ñëàãàåìûå,êîòîðûå íå çàíóëÿþòñÿ ïî ìîäóëþ (íàïðèìåð, ïðè = −1 ). Ñëåäîâàòåëü(︀ )︀ +−11⊙íî, 1 ( 1 ⊙ ) ñîäåðæèò íå- -öåëî÷èñëåííîå ñëàãàåìîå −12 (−1)+−1⊙ , êîòîðîå ìû äëÿ óäîáñòâà áóäåì íàçûâàòü "плохим".Ïîêàæåì, ÷òî "ïëîõîé" ìîíîì ñîêðàùàåòñÿ â ïðîèçâîäíîé òîëüêî(︀ )︀(︀ + )︀−1 +åñëè ñîäåðæèò â êà÷åñòâå ñëàãàåìîãî ìîíîì − 12 −1⊙ .+−1Ýòî áóäåò ïðîòèâîðå÷èòü íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ î çíàìåíàòåëÿõ â .Åäèíñòâåííûå êëàññû ×åðíà , ≤ ò.÷.

ìíîãî÷ëåí 1 ñîäåðæèòâ êà÷åñòâå ñëàãàåìîãî (,) ⊙ äëÿ íåêîòîðûõ (,) ̸= 0, , , ýòî è .×òîáû äîêàçàòü ýòî, íàïîìíèì, ÷òî ô.ã.ç. () ÿâëÿåòñÿ -ãðàäóèðóåìûì,ò.å. ñîäåðæèò ìîíîì ñ íåíóëåâûì êîýôôèöèåíòîì òîëüêî åñëè + ≡ 1mod ( − 1) . Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî ôîðìóëå Êàðòàíà åñëè 1 ñîäåðæèòâíåøíåå ïðîèçâåäåíèå (,) ⊙ , òî + ≡ 1 mod ( − 1) , ïðè÷¼ì ( + )íå áîëüøå, ÷åì , ðàâíîìó .Ñëåäîâàòåëüíî "ïëîõîé" ìîíîì â 1 ìîæåò ñîêðàòèòüñÿ òîëüêî ñ ïðîèçâîäíîé ìîíîìà (,) ⊙ äëÿ íåêîòîðûõ ≥ 0 è > 0 . Âûáåðåì ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî > 0 , ò.÷.

(,) ̸= 0 . Íàïîìíèì, ÷òî (,) íå ÿâëÿåòñÿ öåëî÷èñëåííûì ñîãëàñíî íàøèì ïðåäïîëîæåíèÿì. Ïðîèçâîäíàÿ 1 ((,) ⊙ ) ñîäåðæèò íå- -öåëî÷èñëåííûé ìîíîì (,) ⊙ ⊙ , êîòîðûé ìîæåò ñî′′êðàòèòüñÿ òîëüêî ñ ïðîèçâîäíîé (′ ,′ ) ⊙ äëÿ íåêîòîðûõ ′ > , ′ ≥ 0è (′ ,′ ) ∈ 1 Z() . Ïîñêîëüêó ìàêñèìàëüíî, òî ′ = 0 , è ìîíîì äîëæåí èìåòüâèä1 ⊙ , îäíàêî, åãî ïðîèçâîäíàÿ íå ñîäåðæèò ⊙ ⊙ íè äëÿ êàêèõ73>0, >0 è ∈Q.Òàêèì îáðàçîì, = 0 è "ïëîõîé" ìîíîì äîëæåí ñîêðàùàòüñÿ ñ ïðîèç+−1(−1)+−1++⊙ . Ïîñêîëüêó ïðîèçâîäíàÿ ( ) ñîäåð(︀ + )︀ñ êîýôôèöèåíòîì +−1, òî äîëæåí ðàâíÿòüñÿâîäíîé ïîëè-ìíîãî÷ëåíà æèò ⊙ (︀)︀(︀)︀−1+− 21 −1.

Îäíàêî, ýòî ÷èñëî èìååò -âàëþàöèþ −2 , ÷òî ïðîòèâî+−1ðå÷èò âûáîðó êîíòðïðèìåðà , è, ñëåäîâàòåëüíî, øàã 2 äîêàçàí.Шаг 3. Óìåíüøåíèå ñòåïåíè íàèáîëüøåãî â ëåñêèêî-ãðàôè÷åñêîì ïî-ðÿäêå ìîíîìà.Åñëè íå äåëèòñÿ íà , òî â óñëîâèÿõ Ëåìì 2.10.3 è 2.10.12 = 0 . ýòîì ñëó÷àå ïîðîæäàþùàÿ àääèòèâíûõ îïåðàöèé â ⊗ Z() âûðàæàåòñÿ êàê öåëî÷èñëåííûé ìíîãî÷ëåí − ∈ Z() [1 , . .

. , ] ñî ñëàãàåìûì . Ïðîèçâîäíàÿ ïî ïåðâîé êîìïîíåíòå ïîëè-îïåðàöèè := −⊙ òîãäà âñ¼ åù¼ -öåëî÷èñëåííà, ïîñêîëüêó 1 = 0 , è âûðàæåíèå 1 ( ) =∑︀ −1 (︀ )︀ ⊙ − äåëèòñÿ íà . Ïðîèçâîäíûå ïîëè-îïåðàöèè ïî äðó=1ãèì êîìïîíåíòàì ÿâëÿþòñÿ -öåëî÷åñëåííûìè, êàê îáúÿñíåíî â íà÷àëå äîêàçàòåëüñòâà.Çàìåòèì, ÷òî íàèáîëüøèé ≻ -ïîðÿäîê èíäåêñîâ r = ( , . . . , 1 ) íåíóëåâûõ êîýôôèöèåíòîâ r ïîëè-îïåðàöèè ìåíüøå äëÿ , ÷åì äëÿ .∑︀ Шаг 4. Ïðèâåäåíèå êîíòðïðèìåðà ê âèäó ⊙ .Åñëè íå- -öåëî÷èñëåííûé ìíîãî÷ëåí, òî, ïðèìåíÿÿ øàãè 1-3, ìûìîæåì è äàëåå óìåíüøàòü ≻ -ïîðÿäîê êîýôôèöèåíòîâ êîíòðïðèìåðà â ïåðâîé êîìïîíåíòå. Ïîñëå ïîâòîðåíèÿ øàãîâ 1-3, ìû ïîëó÷èì ïîëè-îïåðàöèþ −∑︀ ⊙ , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ -öåëî÷èñëåííîé è ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå∑︀ ⊙ ïî âñåì êîìïîíåíòàì ÿâëÿþòñÿ -öåëî÷èñëåííûìè ìíîãî÷ëåíàìè îò êëàññîâ ×åðíà.

 ýòèõ âûðàæåíèÿõ ∈ Z×() è íå äåëèòñÿ íà .Çàìåòèì, ÷òî ìû ïîêà íèãäå íå èñïîëüçîâàëè ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ïîëè-îïåðàöèÿ -öåëî÷èñëåííà, è òàêèì îáðàçîì èç ñóùåñòâîâà∑︀ íèÿ êîíòïðèìåðà , ìû ïîëó÷èëè ñóùåñòâîâàíèå êîíòðïðèìåðà; ⊙ .Шаг 5. Ïðèìåíÿÿ øàãè 1-4 ïîî÷åðåäíî êî âñåì êîìïîíåíòàì ïîëè-îïåðàöèè74êîíòðïðèìåðà, ìû ïîëó÷àåì êîíòðïðèìåð âèäà∑︀2i 1×i=(1 ,2 ,..., );(1 ,..., ) 1 ⊙ 2 ⊙ · · · ⊙ , ãäå i ∈ Z() è - äëÿâñåõ : 1 ≤ ≤ .Шаг 6. Åñëè ïîëó÷åííûé êîíòðïðèìåð ÿâëÿåòñÿ -öåëî÷èñëåííîé îïå-ðàöèåé, òî, óìíîæàÿ íà , ìû ïîëó÷àåì íåòðèâèàëüíîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó∑︀12ïîëè-îïåðàöèÿìè ïî ìîäóëþ :i i 1 ⊙ 2 ⊙ · · · ⊙ = 0 mod . Ìûïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ ñî Ñëåäñòâèåì 2.10.16 è, òàêèì îáðàçîì, Ëåììà äîêàçàíà.2.11 Теорема Римана-РохаÏóñòü * òåîðèÿ ðàöèîíàëüíîãî òèïà, * î.î.ò.ê.

è ïóñòü : * → * îïåðàöèÿ ìåæäó íèìè, ñîõðàíÿþùàÿ 0.Äëÿ êàæäîãî ãëàäêîãî ìíîãîîáðàçèÿ îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå ∈(* (), * ()[[1 , . . . , ]]) ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîñêîëüêó äëÿ òåîðèè *ïî îïðåäåëåíèþ (2.1.3) âûïîëíåíà òåîðåìà î ïðîåêòèâèçàöèè ðàññëîåíèÿ, òîîòîáðàæåíèå êîëåö * ()[[1 , . . . , ]] → * ( × (P∞ )× ) , ñîïîñòàâëÿþùåå ïåðâûé êëàññ ×åðíà 1 ((1) ) îáðàòíîãî îáðàçà êàíîíè÷åñêîãî ëèíåéíîãîðàññëîåíèÿ ïîäíÿòîãî ñ -îé êîìïîíåíòû â ïðîèçâåäåíèè ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ, ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì. Àíàëîãè÷íîå âåðíî äëÿ * .Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ïîñêîëüêó îïåðàöèÿ ñîõðàíÿåò íîëü, òî å¼ äåé∏︀ñòâèå íà × (P∞ )× óñòðîåíî òàê, ÷òî ýëåìåíòó =1 ñîïîñòàâëÿåòñÿýëåìåíò êîëüöà * ()[[1 , .

. . , ]] , çàíóëÿþùèéñÿ ïðè çàíóëåíèè ëþáîé èçïåðåìåííûõ , 1 ≤ ≤ . Èñïîëüçóÿ ýòî, îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå ñîãëàñíî ñëåäóþùåé ôîðìóëå: ()(1 , . . . , )·∏︁=1= (∏︁ ).=1Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì êëàññè÷åñêîé òåîðåìû ÐèìàíàÐîõà íà ñëó÷àé íåàääèòèâíûõ îïåðàöèé.Теорема 2.11.1 (Âèøèê, [33, Ïðåäëîæåíèå 5.19]). Пусть : → мкнутое вложение гладких многообразий коразмерности .– за-75Пусть * – теория рационального типа, * – о.о.т.к.

и пусть :* → * – операция между ними.Тогда в кольце * ( ) верно следующее соотношение:* (()) = ()(1 , . . . , )∏︁ ,=1где – * -корни нормального расслоения отображения .Ïóñòü ÿâëÿåòñÿ êëåòî÷íûì ïðîñòðàíñòâîì, ò.å. íà í¼ì ñóùåñòâóåòôèëüòðàöèÿ àëãåáðàè÷åñêèì ïîäìíîãîîáðàçèÿìè, ò.÷. äîïîëíåíèå ê êàæäîìó÷ëåíó èçîìîðôíî àôôèííîìó ïðîñòðàíñòâó.

Íàïðèìåð, êëåòî÷íûì ïðîñòðàíñòâîì ÿâëÿåòñÿ ïðîåêòèâíîå ïðîñòðàíñòâî, à òàêæå êâàäðèêè è äðóãèå ïðèìåðûîäíîðîäíûõ ïðîñòðàíñòâ. Íåñëîæíî äîêàçàòü, ÷òî àëãåáðàè÷åñêèå êîáîðäèçìûêëåòî÷íûõ ïðîñòðàíñòâ ÿâëÿþòñÿ ñâîáîäíûìè ìîäóëÿìè êîíå÷íîãî ðàíãà íàäêîëüöîì Ëàçàðà, ïðè÷¼ì ñâîáîäíûå êîìïîíåíòû ïîëó÷àþòñÿ êàê ïðÿìûå îáðàçû ñ "êëåòîê" .Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî èçâåñòíî äåéñòâèå îïåðàöèè íà ïðîèçâåäåíèÿõ ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ. Òîãäà äàííàÿ òåîðåìà Ðèìàíà-Ðîõà ïîçâîëÿåòâû÷èñëÿòü çíà÷åíèå îïåðàöèè íà ýëåìåíòàõ * ( ) .

Ìû èñïîëüçóåì ýòî âäàëüíåéøåì äëÿ âû÷èñëåíèÿ ãàììà-ôèëüòðàöèè íà Ê-òåîðèÿõ Ìîðàâû ðàñùåïèìûõ êâàäðèê.2.12 Фильтрация Черна на кольце операций ýòîì ðàçäåëå ìû ââîäèì óáûâàþùóþ ôèëüòðàöèþ ×åðíà ∙ íà êîëüöå îïåðàöèé ìåæäó îðèåíòèðîâàííûìè òåîðèÿìè. Èñïîëüçóÿ Òåîðåìó 2.5.5, ìû ñòðîèì åñòåñòâåííîå âëîæåíèå [* , * ] → [* , ⊗ ] . Ýòî âëîæåíèå ïîçâîëèò ñâåñòè ïîñòðîåíèå êëàññîâ ×åðíà èç ()* â {}* ê óæå ïîñòðîåííûìêëàññàì ×åðíà â * ⊗ Z() .Íàïîìíèì, ÷òî åñëè * î.î.ò.ê., òî * ((P∞ ) ) = [[1 , .

. . , ]] . Ôèëüòðàöèþ íà êîëüöå * ((P∞ ) ) , ïîðîæä¼ííóþ ñòåïåíÿìè èäåàëà (1 , . . . , ) ,áóäåì îáîçíà÷àòü ∙ .76Определение 2.12.1. Ïóñòü * , * î.î.ò.ê. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îïåðàöèÿ : ˜* → * ïðèíàäëåæèò -ìó ÷ëåíó ôèëüòðàöèè ×åðíà [, ] , åñëè(* ((P∞ ) )) ⊂ * ((P∞ ) ) äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ≥ 0 .Î÷åâèäíî, ÷òî àääèòèâíàÿ îïåðàöèÿ : * → * ëåæèò â -îì ÷ëåíåôèëüòðàöèè ×åðíà, åñëè è òîëüêî åñëè ðÿäû èìåþò ñòåïåíü íå ìåíåå ,ò.å.

(1 , . . . , ) ∈ (1 , . . . , ) [[1 , . . . , ]] äëÿ ëþáûõ ≥ 0 (îáîçíà÷åíèå ñì. â ðàçäåëå ). Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ïîñêîëüêó äåëèòñÿ íà 1 · · · , òî ýòîóñëîâèå íåòðèâèàëüíî òîëüêî ïðè < .Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî àääèòèâíûå îïåðàöèè èç Ê-òåîðèè 0 âïðîèçâîëüíóþ î.î.ò.ê., îïðåäåë¼ííûå â ðàçäåëå ëåæàò â -îì ÷ëåíå ôèëüòðàöèè ×åðíà.

Îäíàêî, ìû íå áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ýòèì äàëåå.Îáîçíà÷èì ÷åðåç : * ((P∞ ) ) → [1 , . . . , ]= = ( ⊗ )((P∞ ) )îòîáðàæåíèå ôàêòîðèçàöèþ ïî ðÿäàì ñòåïåíè áîëüøå , ò.å. ïî ÷ëåíó ôèëüòðàöèè +1 .Лемма 2.12.2. Пусть : (P∞ )× → (P∞ )× – отображение проективыхпространств из списка отображений в Теореме 2.5.5.Тогда для любого ≥ 1 следующая диаграмма коммутативна: * (P )* *∨* (P )>( ⊗ )(P )** ⊗>∨( ⊗ )(P ).Доказательство.