Диссертация (О некоторых операциях между теориями когомологий алгебраических многообразий), страница 11

. −1 , óäîâëåòâîðÿþùèå i) è ii), ïîñòðîåíû.  ÷àñòíîñòè, ýòî îçíà÷àåò,÷òî ïðîèçâîäíûå îïåðàöèè ïðè < ìû ìîæåì âû÷èñëÿòü êàê ìíîãî÷ëåíûîò îïåðàöèé , < .Лемма 2.10.12. Пусть = max(0, − ( )) .Тогда существует аддитивная операция , являющаяся порождающей модуля [()* , ⊗ Z() ] , т.ч. операция : ()* → ⊗ Q ,определяемая формулой = (1 , · · · , −1 ) +действует -целочисленно на произведениях проективных пространств.Áëàãîäàðÿ òåîðåìå 2.5.5, îïåðàöèÿ , îïðåäåëÿåìàÿ â ýòîé ëåììå, ìîæåò áûòü ïîäíÿòà åäèíñòâåííûì îáðàçîì äî îïåðàöèè â ⊗ Z() .Çàìåòèì òàêæå, ÷òî îïåðàöèÿ (1 , . . .

, −1 + ) äëÿ ëþáîé àääèòèâíîéîïåðàöèè , èìååò ïðîèçâîäíóþ ðàâíóþ 1 (çäåñü èìååòñÿ â âèäó ìíîãî÷ëåí îò îïåðàöèé 1 , . . . , , îïðåäåëÿåìûé ôîðìóëîé Êàðòàíà). Òàêèì îáðàçîì, îïåðàöèÿ , îïðåäåëÿåìàÿ ñ ïîìîùüþ ëåììû âûøå, óäîâëåòâîðÿåò ôîðìóëå Êàðòàíà. À, ñîãëàñíî òåîðåìå 2.5.5, è å¼ -öåëî÷èñëåííîå ïîäíÿòèå òàêæåáóäåò óäîâëåòâîðÿòü ôîðìóëå Êàðòàíà.65Äîêàæåì, ÷òî îïåðàöèÿ , ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîé ñëåäóåò èç Ëåììû2.10.12, òàêæå óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâàì i) è iiibis).Âûáåðåì ̸= mod − 1 . Òîãäà ñîãëàñíî Ëåììå 2.10.3 ìíîãî÷ëåí ðàâåí íóëþ, åñëè ïîëîæèòü ïåðåìåííûå ðàâíûìè íóëþ ïðè ≡ ̸= mod ( − 1) .

Çíà÷èò, ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè îïåðàöèÿ , áóäó÷è îãðàíè÷åííîé íà () , çàíóëÿåòñÿ. Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 2.10.8 àääèòèâíàÿ îïåðàöèÿòàêæå èìååò íîñèòåëåì () , à, çíà÷èò, ñâîéñòâî i) äëÿ îïåðàöèè âûïîëíåíî.Ñâîéñòâî iiibis) âûïîëíåíî ñîãëàñíî ðàññóæäåíèÿì â ðàçäåëå .Äîêàæåì òåïåðü Ëåììó 2.10.12. Äëÿ íà÷àëà íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùååóòâåðæäåíèå.Лемма 2.10.13. Предположим, что для некоторых > 0 , ∈ Q опера-ция + действует -целочисленно на произведениях проективныхпространств, а, следовательно, согласно Теореме 2.5.5, определяет операцию : ()* → ⊗ Z() .Тогда пропорциональна операции по модулю , где – образующая аддитивных операций в ⊗ Z() .Доказательство.

Äîêàçàòåëüñòâî ñîñòîèò èç òð¼õ øàãîâ.1. Îïåðàöèÿ mod ÿâëÿåòñÿ àääèòèâíîé. Äåéñòâèòåëüíî, 1 = 1 . Îäíàêî, 1 = 1 -öåëî÷èñëåííûé ìíîãî÷ëåí îò îïåðàöèé1 , . . . , −1 , à, çíà÷èò, ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè çàäàþùèé -öåëî÷èñëåííóþîïåðàöèþ. Ïîñêîëüêó > 0 , òî 1 ≡ 0 mod .2. Îïåðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðóåìîé.Ïî ïîñòðîåíèþ îïåðàöèè óäîâëåòâîðÿþò ôîðìóëå â ëåììå 2.10.12.Çàìåòèì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ãðàäóèðóåìûõ îïåðàöèé â êîëè÷åñòâå, ñðàâíèìîìñ 1 ïî ìîäóëþ − 1 , òàêæå ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðóåìîé îïåðàöèåé.

Êðîìå òîãî,ñóììà ãðàäóèðóåìûõ îïåðàöèé òàêæå ãðàäóèðóåìà. Ïîñêîëüêó ìíîãî÷ëåí ÿâëÿåòñÿ ñëàãàåìûì â ãðàäèóðóåìîì ðÿäó log() ( ) , òî â íåãî âõîäÿò òîëüêîìîíîìû, èìåþùèå ñòåïåíü, ñðàâíèìóþ ñ 1 ïî ìîäóëþ − 1 . Àääèòèâíàÿîïåðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðóåìîé ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 2.10.8. Òàêèì îáðàçîì, ïîèíäóêöèè âñå îïåðàöèè ÿâëÿþòñÿ ãðàäóèðóåìûìè, à òàêæå è îïåðàöèÿ .663. Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 2.10.10 F -âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ãðàäóèðóåìûõ àääèòèâíûõ îïåðàöèé èç ()* â / îäíîìåðíî è ïîðîæäåíî mod .

Òàêèì îáðàçîì, ëåììà 2.10.13 äîêàçàíà.Âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ îáðàçóþùóþ ìîäóëÿ [()* , ⊗ Z() ] .Äîêàæåì ïðè ïîìîùè êîíå÷íîé èíäóêöèè ïî ñëåäóþùåå óòâåðåæäåíèå.Предположение индукции. Äëÿ 0 ≤ ≤ ñóùåñòâóåò ÷èñëî ∈ −Z× +() , ò.÷. ÿâëÿåòñÿ -öåëî÷èñëåííîé îïåðàöèåé.База индукции ( = 0 ). Íàïîìíèì, ÷òî îïðåäåë¼í òàêèì îáðàçîì,÷òî ìíîãî÷ëåí ÿâëÿåòñÿ -öåëî÷èñëåííûì, è ïîýòîìó, åñëè = 0 , ìûìîæåì ïîëîæèòü 0 ðàâíûì 1 .Шаг индукции. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûðàæåíèå − + çàäà¼ò -öåëî÷èñëåííóþ îïåðàöèþ.Åñëè = , òî èíäóêöèÿ çàâåðøåíà è ìû îïðåäåëÿåì := + , -öåëî÷èñëåííîñòü êîòîðîé äîêàçàíà.

Ïîñêîëüêó ∈ Z×() , òî îïåðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîðîæäàþùåé àääèòèâíûõ îïåðàöèé â ⊗ Z() è ñâîéñòâî iiibis)âûïîëíåíî äëÿ .Åñëè − > 0 , òî ïî Ëåììå 2.10.13 îïåðàöèÿ − + ïî ìîäóëþ äëÿ íåêîòîðîãî ∈ Z() .ðàâíà íóëþ ïî ìîäóëþ , è, çíà÷èò, îïåðàöèÿ ðàâíà Îïåðàöèÿ − + ( − ) −(+1) + −+1 ÿâëÿåòñÿ -öåëî÷èñëåííîé. Îïðåäåëèì +1 = − .×Åñëè > 0 , òî − ∈ Z×() , ïîñêîëüêó ∈ Z() , ∈ Z() , è øàãèíäóêöèè äîêàçàí.Îäíàêî, äëÿ øàãà èíäóêöèè ñ = 0 íàì íóæíî òàêæå ïîêàçàòü, ÷òî ̸= 0 mod .Дополнительные рассуждения для шага индукции = 0 → =1.Çàìåòèì, ÷òî íàñ èíòåðåñóåò òîëüêî ñëó÷àé | , ò.ê.

èíà÷å ñîãëàñíîËåììå 2.10.3 ìû èìååì = 0 è èíäóêöèÿ çàêàí÷èâàåòñÿ íà áàçå.×òîáû äîêàçàòü, ÷òî 1 íå ÿâëÿåòñÿ -äåëèìûì ÷èñëîì, äîñòàòî÷íîäîêàçàòü, ÷òî ìíîãî÷ëåí íå ðàâåí íóëþ ïî ìîäóëþ .Ñîãëàñíî ëåììå 2.10.3, 2p ìû çíàåì, ÷òî ìíîãî÷ëåíû − mod è67( − )mod ïðîïîðöèîíàëüíû (ãäå îïðåäåëåíî â ôîðìóëèðîâêå ëåì-ìû). Îäíàêî, ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè êîíñòðóêöèè êëàññîâ ×åðíà ìû èìååì: − = äëÿ íåêîòîðîé ïîðîæäàùåé àääèòèâíûõ îïåðàöèé â ⊗ Z() . Ýòà îïåðàöèÿ íå ðàâíà íóëþ ïî ìîäóëþ , è ñîãëàñíî òåîðåìå2.5.5 å¼ ñòåïåíè ( mod )òàêæå íå ðàâíû íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî − mod íå ðàâíî íóëþ.Øàã (êîíå÷íîé) èíäóêöèè òàêèì îáðàçîì ïîëíîñòüþ äîêàçàí, à çíà÷èòäîêàçàíà ëåììà 2.10.12 è îïåðàöèÿ ïîñòðîåíà.Ïî èíäóêöèè âñå êëàññû ×åðíà , óäîâëåòâîðÿþùèå ñâîéñòâàì i), ii),iiibis), ïîñòðîåíû.2.10.4 Классы Черна свободно порождают операции ýòîì ðàçäåëå ìû äîêàçûâàåì ñâîéñòâî iii) Òåîðåìû 2.10.1 äëÿ îïåðàöèé èç()* â ⊗ Z() , ≥ 1 , óäîâëåòâîðÿþùèõ ñâîéñòâàì i), ii), iiibis), êîòîðûå˜ *ìû ïîñòðîèëè âûøå.

À èìåííî, ìû äîêàçûâàåì, ÷òî ëþáàÿ îïåðàöèÿ èç ()â * ⊗ Z() åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê ôîðìàëüíûé ðÿä îòïåðåìåííûõ , ≥ 1 ñ Z() -êîýôôèöèåíòàìè.Èç Òåîðåìû 2.5.5 ñëåäóåò, ÷òî åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå˜ * , * ⊗ Z() ] → [()˜ * , * ⊗ Q][()ÿâëÿåòñÿ âëîæåíèåì. Ñîãëàñíî Ïðåäëîæåíèþ 2.7.4 ïîñëåäíåå ïðîñòðàíñòâî ñâîáîäíî ïîðîæäåíî íàä Q êîìïîíåíòàìè õàðàêòåðà ×åðíà. Àíàëîãè÷íîå âåðíîè äëÿ ïîëè-îïåðàöèé, ÷òî ïîçâîëÿåò íàì äîêàçàòü ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå.˜ * в * ⊗ Q единПредложение 2.10.14.

Любая поли-операция из ()ственным образом представляется как формальный ряд от внешних произведений переменных , ≥ 1 с Q -коэффициентами, т.е.˜ * )× , ( * ⊗ Q) ∘[(()∏︁] = Q[[1 , 2 , . . .]]⊙ .Доказательство. Ïîñêîëüêó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü îïåðàöèè â êàæäóþ êîìïîíåíòó * ⊗Q îòäåëüíî, òî âìåñòî ôîðìàëüíûõ ðÿäîâ äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü ïîëè-ìíîãî÷ëåíû ôèêñèðîâàííûõ ñòåïåíåé. Ïðîñòðàíñòâî ïîëè-ìíîãî÷ëåíîâ68ôèêñèðîâàííîé ñòåïåíè êîíå÷íîìåðíî, è åãî ðàçìåðíîñòü äëÿ ïîðîæäàþùèõℎ1 , . . .

, ℎ , . . . è 1 , . . . , , . . . , î÷åâèäíî, îäèíàêîâàÿ. Èç ýòîãî è ïðåäëîæåíèÿ 2.7.4 ñëåäóåò, ÷òî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî îïåðàöèè ℎ âûðàæàþòñÿ êàêìíîãî÷ëåíû îò îïåðàöèé 1 , . . . , .Îïåðàöèÿ ℎ : ()* → ⊗ Q ÿâëÿåòñÿ àääèòèâíîé, à ñîãëàñíîÑëåäñòâèþ 2.10.8 ïðîñòðàíñòâî àääèòèâíûõ îïåðàöèé [()* , ⊗ Q] ÿâëÿåòñÿ îäíîìåðíûì. Çíà÷èò, ℎ = , ãäå ∈ Q , îáðàçóþùàÿ öåëî÷èñëåííûõ àääèòèâíûõ îïåðàöèé â ãðóïïû ×æîó. Ñîãëàñíî ñâîéñòâó iiibis)îïåðàöèÿ âûðàæàåòñÿ êàê ìíîãî÷ëåí îò îïåðàöèé 1 , . . .

, . Ñëåäîâàòåëüíî, ýòî âåðíî è äëÿ êîìïîíåíò õàðàêòåðà ×åðíà, è ïðåäëîæåíèå äîêàçàíî.Òàêèì îáðàçîì, îñòà¼òñÿ äîêàçàòü, ÷òî ïîëè-ðÿäû îò ñ íå -öåëî÷èñëåííûìèêîýôôèöèåíòàìè çàäàþò íå -öåëî÷èñëåííûå îïåðàöèè. Äëÿ ýòîãî ìû èçó÷àåì ïðîèçâîäíûå ìíîãî÷ëåíîâ îò îïåðàöèé , èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Êàðòàíà, èñâîäèì âñ¼ ê èçó÷åíèþ ïîëè-àääèòèâíûõ ïîëè-îïåðàöèé. Äîêàçàòü, ÷òî ïîëèàääèòèâíûå îïåðàöèè ÿâëÿþòñÿ â òî÷íîñòè âíåøíèìè ïðîèçâåäåíèÿìè àääèòèâíûõ îïåðàöèé îêàçûâàåòñÿ íåñëîæíî.Íàïîìíèì, ÷òî ìû îáîçíà÷àåì ⊙ âíåøíåå ïðîèçâåäåíèå îïåðàöèé (ñì.ðàçäåë ).

Òàêæå îïåðàöèþ ìû íàçûâàåì -îé êîìïîíåíòíîé ïîëè-îïåðàöèè1 ⊙ 2 ⊙ · · · ⊙ .Предложение 2.10.15. Пусть * – теория рационального типа, * – про-извольная о.о.т.к. и пусть { }∈ – набор линейно независимых над аддитивных операций из * в * .Тогда внешние произведения операций {1 ⊙ 2 ⊙ · · · }1 ,2 ,...∈ такжелинейно независимы над .Доказательство. Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî àðíîñòè ïîëè-îïåðàöèé.База индукции ÿâëÿåòñÿ ïðåäïîëîæåíèåì ïðåäëîæåíèÿ.Шаг индукции. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû äîêàçàëè ëèíåéíóþ íåçàâèñè-ìîñòü ïîëè-îïåðàöèé àðíîñòè < .

Ðàññìîòðèì íåòðèâèàëüíóþ ëèíåéíóþ∑︀êîìáèíàöèþ ïîëè-îïåðàöèé àðíîñòè : :=(1 ,2 ,..., ) 1 ⊙ 2 ⊙ · · · ⊙ .Âûáåðåì ïðîèçâîëüíîå ñëàãàåìîå ñ íåíóëåâûì êîýôôèöèåíòîì â ýòîé êîìáè-69íàöèè 1 ⊙ 2 ⊙ · · · ⊙ è ñãðóïïèðóåì âñå ñëàãàåìûå â , îòëè÷àþùèåñÿ îò íåãî òîëüêî ïåðâîé êîìïîíåíòîé. Îáîçíà÷èì ïîëó÷åííóþ ñóììó ÷åðåç∑︀ ⊙ 2 ⊙ · · · ⊙ := ( ,2 ,..., ) ⊙ 2 ⊙ · · · ⊙ .Èç Òåîðåìû 2.5.5 â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ èíäóêöèè ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò â êîëüöå * ((P∞ )× ) äëÿ íåêîòîðîãî ≥ 0 , ò.÷. () ̸= 0 . Îãðàíè÷èìïîëè-îïåðàöèþ íà ýòîò ýëåìåíò â ïåðâîé êîìïîíåíòå, òàêèì îáðàçîì ìû*ïîëó÷èì åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå := (, −) èç ôóíêòîðà ×−1â=1 ∏︀ôóíêòîð * ∘ ((P∞ )× × ) .Çàìåòèì, ÷òî * ( × (P∞ )× ) ∼= * () ⊗ [[1 , . . . , ]] äëÿ ëþáîãîãëàäêîãî ìíîãîîáðàçèÿ ñîãëàñíî òåîðåìå î ïðîåêòèâíîì ðàññëîåíèè. Âûáåðåì ëþáóþ -ëèíåéíóþ ïðîåêöèþ : * (P∞ )× ∼= [[1 , . .

. , ]] → ,ò.÷. (()) ̸= 0 , òîãäà å¼ êîìïîçèöèÿ ñ áóäåò ïîëè-îïåðàöèåé àðíîñòè( − 1) , êîòîðóþ ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç ( ⊗ ) ∘ . Ýòó ïîëè-îïåðàöèþ ìîæíîïðåäñòàâèòü êàê ñóììó (())2 ⊙ · · · ⊙ è ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âíåøíèõïðîèçâåäåíèé , êîòîðàÿ íå ñîäåðæèò äàííîãî ñëàãàìîãî. Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè ýòî íåòðèâèàëüíàÿ ïîëè-îïåðàöèÿ, è, ñëåäîâàòåëüíî, òàêæåíåòðèâèàëüíà.Следствие 2.10.16.

Пусть : ()* → / – редукции образующих -целочисленных аддитивных операций.Тогда внешние произведения операций { }{ -} линейно независимынад F как поли-операции в * / .Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ êàæäîãî îïåðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðóåìîé(ñì. ñëåäñòâèå 2.10.8), è, ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàöèÿ ( )â / òàêæåÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðóåìîé (è íåíóëåâîé, êàê ñëåäóåò èç Òåîðåìû 2.5.5). Ñîãëàñíîïðåäëîæåíèþ 2.10.10 îïåðàöèè ( ) , ÿâëÿþòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíûìè,÷òî îáúÿñíÿåò óêàçàííûé â ñëåäñòâèè 2.10.16 íàáîð îïåðàöèé.Доказательство.

Ñîãëàñíî Ïðåäëîæåíèþ 2.10.15 äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî îïåðàöèè ( )ñ - ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè íàä F .∑︀Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿîïðå äåëÿåò íóëåâóþ îïåðàöèþ, ̸= 0 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç = min . Òîãäà, åñëè∑︀ − > 0 , òî ðàññìîòðèì êîðåíü -îé ñòåïåíè èç ýòîãî âûðàæåíèÿ:. 70Ëåãêî âèäåòü èç Òåîðåìû 2.5.5, ÷òî ýòà ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ òàêæå òðèâèàëüíà. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè ñîîòíîøåíèå íà îïåðàöèè, â êîòîðîì åñòüåäèíñòâåííîå ñëàãàåìîå , ãäå îïåðàöèÿ íå âîçâîäèòñÿ íè â êàêóþ ñòåïåíü.Ìîæíî òàêæå ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ñëàãàåìûå èìåþò ñòåïåíü , è, ñëåäîâàòåëüíî,èìåþò âèä à îïåðàöèè, ãäå - .

Îäíàêî, îïåðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðóåìîé,íå ÿâëÿþòñÿ, åñëè - . Ïîëó÷àåì, ÷òî îïåðàöèÿ íåòðèâè-àëüíà è ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ.Íàïîìíèì, ÷òî ïðîèçâîäíûå êëàññîâ ×åðíà ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû ñîãëàñíî ôîðìóëå Êàðòàíà, ïðè÷¼ì 1 âûðàæàåòñÿ êàê -öåëî÷èñëåííûéìíîãî÷ëåí îò êëàññîâ ×åðíà 1 , . .

. , −1 .Лемма 2.10.17. Пусть ∈ Q[[1 , 2 , . . .]]⊙ произвольная поли-операция ар-˜ * в * ⊗Z() (см. Предложение 2.10.14). Предположим,ности из ()что первые производные относительно всех компонент выражаются как -целочисленные многочлены от классов Черна.Тогда ∈ Z() [[1 , 2 , . . .]]⊙ .Доказательство. Áóäåì äîêàçûâàòü Ëåììó îò ïðîòèâíîãî.Âî-ïåðâûõ, äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü êîìïîíåíòû ïîëè-îïåðàöèè âêàæäóþ èç ãðàäóèðîâàííûõ êîìïîíåíò ãðóïï ×æîó îòäåëüíî, ïîýòîìó ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ïîëè-ìíîãî÷ëåíîì.Âî-âòîðûõ, åñëè êîíòðïðèìåð ê óòâåðæäåíèþ Ëåììû ñóùåñòâóåò.

òî ñóùåñòâóåò è êîíòðïðèìåð, ò.÷. âàëþàöèÿ åãî êîýôôèöèåíòîâ íå ìåíüøå -1, èëè,äðóãèìè ñëîâàìè, çíàìåíàòåëè íå áîëüøå, ÷åì . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè çíàìåíàòåëè ñîäåðæàò áîëüøóþ ñòåïåíü , òî êîíòðïðèìåð ìîæíî äîìíîæèòü íà äëÿ ïîäõîäÿùåãî > 0 . Òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî ∈Z() [1 , . .