Диссертация (О некоторых операциях между теориями когомологий алгебраических многообразий)

Федеральное государственное автономноеобразовательное учреждение высшего образования«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»Íà ïðàâàõ ðóêîïèñèСЕЧИН Павел АндреевичО некоторых операциях междутеориями когомологий алгебраических многообразийCïåöèàëüíîñòü 01.01.06 Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, àëãåáðà è òåîðèÿ ÷èñåëÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈßíà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,Ìàðàò Çåôèðîâè÷ ÐîâèíñêèéМосква — 20172ОглавлениеВведение .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4Глава 1. Категория плоских структур Ходжа-Тейта . . . . . . . .121.1 Êàòåãîðèè Òåéòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.1 Ñâÿçíûå àëãåáðû Õîïôà è êàòåãîðèè Òåéòà . . . . . . . . . . 131.1.2 Ñâÿçíûå àëãåáðû Õîïôà ñî ñâÿçíîñòüþ . . .

. . . . . . . . . . 151.1.3 Êàòåãîðèè Òåéòà ñî ñâÿçíîñòüþ . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2 Ñâÿçíîñòü Ãàóññà-Ìàíèíà íà ñòðóêòóðàõ Õîäæà-Òåéòà . . . . . . . . 181.2.1 Êàòåãîðèÿ ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.2 Ïëîñêèå ñòðóêòóðû Õîäæà-Òåéòà . . .

. . . . . . . . . . . . . 191.2.3 Òàííàêèåâà êàòåãîðèÿ ïëîñêèõ ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà . . . . 21Глава 2. Операции из К-теорий Моравы . . . . . . . . . . . . . . .232.1 Îðèåíòèðîâàííûå òåîðèè êîãîìîëîãèé . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Êëàññû ×åðíà îðèåíòèðîâàííûõ òåîðèé . . . . . . . . .

. . . . . . . 262.3 Îïåðàöèè, ïîëè-îïåðàöèè è èõ ïðîèçâîäíûå . . . . . . . . . . . . . . 302.3.1 Ïðîèçâîäíûå îïåðàöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.2 Âíåøíèå ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàöèé . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4 Ìóëüòèïëèêàòèâíûå îïåðàöèè . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 332.5 Îïåðàöèè èç òåîðèé ðàöèîíàëüíîãî òèïà . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.1 Òåîðåìà Âèøèêà äëÿ àääèòèâíûõ îïåðàöèé . . . . . . . . . . 372.6 Îïåðàöèè èç Ê-òåîðèè 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.7 Íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû Âèøèêà . . . . . . . . . .

. . . . . 402.7.1 Öåíòðàëüíîñòü îïåðàöèé Àäàìñà . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7.2 Ëîêàëèçàöèÿ íåàääèòèâíûõ îïåðàöèé . . . . . . . . . . . . . . 4132.8 Òèïè÷åñêèå ôîðìàëüíûå ãðóïïîâûå çàêîíû . . . . . . . . . . . . . . 442.9 Îïðåäåëåíèå Ê-òåîðèé Ìîðàâû è èõ ñâîéñòâà . . . . . . . . . . . . . 492.10 Îïåðàöèè èç Ê-òåîðèé Ìîðàâû â ãðóïïû ×æîó . . . . . . . . .

. . 522.10.1 Îäíà àëãåáðàè÷åñêàÿ ëåììà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.10.2 Àääèòèâíûå îïåðàöèè èç ()* â ãðóïïû ×æîó . . . . . . 572.10.3 Èíäóêòèâíàÿ êîíñòðóêöèÿ êëàññîâ ×åðíà . . . . . . . . . . . 622.10.4 Êëàññû ×åðíà ñâîáîäíî ïîðîæäàþò îïåðàöèè . . . . . . . . 672.11 Òåîðåìà Ðèìàíà-Ðîõà . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.12 Ôèëüòðàöèÿ ×åðíà íà êîëüöå îïåðàöèé . . . . . . . . . . . . . . . . 752.13 Êëàññû ×åðíà â òèïè÷åñêèõ òåîðèÿõ . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.14 Åäèíñòâåííîñòü -îé Ê-òåîðèè Ìîðàâû . . . . . . . . . . .

. . . . 842.15 Ãàììà-ôèëüòðàöèÿ íà Ê-òåîðèÿõ Ìîðàâû. . . . . . . . . . . . . . 872.15.1 Îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.15.2 Åäèíñòâåííîñòü ãàììà-ôèëüòðàöèè . . . . . . . . . . . . . . 922.16 Ïðèëîæåíèÿ îïåðàöèé èç Ê-òåîðèè Ìîðàâû . . . . . . . . . . . . . 932.16.1 Ôèëüòðàöèÿ íà êîëüöå Âèòòà è Ê-òåîðèè Ìîðàâû . . . .

. . 932.16.2 Ãàììà-ôèëüòðàöèÿ íà ðàñùåïèìîé êâàäðèêå . . . . . . . . . 97Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034ВведениеАктуальность темы исследованияÊîãîìîëîãèè àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé ýòî îäíè èç íàèáîëåå ðàçðàáîòàííûõ è íàèáîëåå äîñòóïíûõ äëÿ âû÷èñëåíèé èíâàðèàíòîâ â àëãåáðàè÷åñêîéãåîìåòðèè. Áîãàòñòâî ýòèõ èíâàðèàíòîâ ñîñòîèò, âïðî÷åì, íå òîëüêî â òîì, íàñêîëüêî ïîëíî îíè îòðàæàþò ñâîéñòâî äàííîãî êîíêðåòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ, íîè â òîì, ÷òî êîãîìîëîãè÷åñêèå òåîðèè áûâàþò î÷åíü ðàçíûå.Äëÿ òîãî, ÷òîáû èçó÷àòü ñâÿçè ìåæäó òåîðèÿìè êîãîìîëîãèé èñïîëüçóþòñÿ îïåðàöèè, ïðè÷¼ì ïîëåçíûìè îêàçûâàþò äàæå îïåðàöèè èç òåîðèè êîãîìîëîãèé â ñåáÿ.

Ñ îäíîé ñòîðîíû, åñëè íåêîòîðûå èíâàðèàíòû ìîãóò áûòüâû÷èñëåíû ïðîñòî äëÿ íåêîòîðîãî ìíîãîîáðàçèÿ, òî îïåðàöèè ïîçâîëÿþò ñòðîèòü êëàññû â äðóãèõ òåîðèÿõ êîãîìîëîãèé, êîòîðûå ïîñòðîèòü äðóãèì ñïîñîáîììîæåò áûòü äîñòàòî÷íî ñëîæíî. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îïåðàöèè (â òîì ÷èñëå, èýíäî-îïåðàöèè) íå ìîãóò ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì äåéñòâîâàòü íà êîãîìîëîãèÿõè äîëæíû ñîõðàíÿòü ìíîãèå äîïîëíèòåëüíûå ñòðóêòóðû. Îêàçûâàåòñÿ, äàæåòàêîå ïðîñòîå íàáëþäåíèå ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü äîïîëíèòåëüíûå ñâåäåíèÿ î êîãîìîëîãè÷åñêèõ èíâàðèàíòàõ â íåêîòîðûõ ñèòóàöèÿõ. ïåðâîé ÷àñòè äàííîé ðàáîòû èçó÷àåòñÿ ïîâåäåíèå äåéñòâèÿ àëãåáðûäèôôåðåíöèðîâàíèé êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íà ñòðóêòóðàõ Õîäæà, ÿâëÿþùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ðàñøèðåíèÿìè ñòðóêòóð Òåéòà (ò.í. ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà). ãåîìåòðèè ýòè îïåðàöèè áîëåå èçâåñòíû êàê àáñîëþòíàÿ ñâÿçíîñòü ÃàóññàÌàíèíà.

Îäíàêî, Ì. Ðîâèíñêèé ïðåäëîæèë íåêîòîðóþ êîíñòðóêöèþ ýòèõ îïåðàöèé íà âñåõ ñòðóêòóðàõ Õîäæà-Òåéòà (â òîì ÷èñëå òåõ, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿêîãîìîëîãèÿìè àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé) è äîêàçàë, ÷òî îíà åäèíñòâåííàïðè åñòåñòâåííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ.5Èçâåñòíàÿ îáîáù¼ííàÿ ãèïîòåçà Õîäæà óòâåðæäàåò, ÷òî àáåëåâà êàòåãîðèÿ ìîòèâîâ íàä C ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé ïîäêàòåãîðèåé â êàòåãîðèè ñòðóêòóð Õîäæà, îòêóäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî íà ñòðóêòóðå Õîäæà, ÿâëÿþùåéñÿ êîãîìîëîãèÿìè íåêîòîðîãî àëãåáðàè÷åñêîãî ìíîãîîáðàçèÿ, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿàáñîëþòíàÿ ñâÿçíîñòü Ãàóññà-Ìàíèíà. Èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ ýòîé ñâÿçíîñòè ñëåäóåò, ÷òî îíà äîëæíà áûòü ïëîñêîé, èëè, äðóãèìè ñëîâàìè, ÷òî äåéñòâèåàëãåáðû äèôôåðåíöèðîâàíèé ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèåì àëãåáðû Ëè. Ìû ñòðîèì íåêîòîðóþ ïîäêàòåãîðèþ â êàòåãîðèè ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà, ñîñòîÿùóþ èç "ïëîñêèõ" îáúåêòîâ, è, òàêèì îáðàçîì, ãèïîòåòè÷åñêè ñîäåðæàùóþ âñå ñòðóêòóðûÕîäæà, ïðèõîäÿùèå èç ãåîìåòðèè.

Ïîëó÷èâøàÿñÿ êàòåãîðèÿ ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì ïðèáëèæåíèåì ê ãèïîòåòè÷åñêîé êàòåãîðèè ìîòèâîâ Òåéòà íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, è ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê èíòåðåñíûé òåñòîâûé ïðèìåð.Ðàññêàæåì îá ýòîì ðåçóëüòàòå ÷óòü áîëåå ïîäðîáíî. Íà àëãåáðàè÷åñêèõêîãîìîëîãèÿõ äå Ðàìà àëãåáðàè÷åñêîãî ìíîãîîáðàçèÿ íàä ïîëåì êàíîíè÷åñêè îïðåäåëåíû îïåðàöèè äåéñòâèÿ àëãåáðû äèôôåðåíöèðîâàíèé Q () .Ïî-äðóãîìó ýòîò ôàêò ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü êàê ñóùåñòâîâàíèå îòîáðàæåíèÿ**O : () → Ω1/Q ⊗ () , èçâåñòíîãî êàê àáñîëþòíàÿ ñâÿçíîñòü Ãàóññà-Ìàíèíà. Âñÿêîå âëîæåíèå ïîëÿ â êîìïëåêñíûå ÷èñëà ïîçâîëÿåò îòîæäå*ñòâèòü êîãîìîëîãèè äå Ðàìà ()⊗C ñ ñèíãóëÿðíûìè êîãîìîëîãèÿìè ñ êîì-ïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè, ÷òî ïîçâîëÿåò èíäóöèðîâàòü ñâÿçíîñòü íà ñòðóêòóðå Õîäæà êîãîìîëîãèé ìíîãîîáðàçèÿ. ðàáîòå [28] Ì. Ðîâèíñêèé ïîêàçàë, ÷òî íà ïðîèçâîëüíîé ñòðóêòóðåÕîäæà-Òåéòà = (Q , * , * ) ñóùåñòâóåò â åñòåñòâåííîì ñìûñëå åäèíñòâåííîåé ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå O : Q → Ω1C/Q ⊗C Q , óäîâëåòâîðÿþùåå òåìæå ñâîéñòâàì, ÷òî è îãðàíè÷åíèå àáñîëþòíîé ñâÿçíîñòè Ãàóññà-Ìàíèíà íà ðåø¼òêó ñèíãóëÿðíûõ êîãîìîëîãèé.

Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâèå àëãåáðû Q (C)íà êîãîìîëîãèÿõ àëãåáðàè÷åñêîãî ìíîãîîáðàçèÿ âîññòàíàâëèâàåòñÿ ïî ñòðóêòóðå Õîäæà ýòîãî ìíîãîîáðàçèÿ, åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ "òåéòîâîé". Èç ïîñòðîåíèÿñâÿçíîñòè Ãàóññà-Ìàíèíà ñëåäóåò, ÷òî ýòî äåéñòâèå, â ñëó÷àå åñëè ñòðóêòóðàÕîäæà-Òåéòà ÿâëÿåòñÿ êîãîìîëîãèÿìè íåêîòîðîãî ìíîãîîáðàçèÿ, äîëæíî áûòüäåéñòâèåì àëãåáðû Ëè. Äðóãèìè ñëîâàìè, àáñîëþòíàÿ ñâÿçíîñòü Ãàóññà-Ìàíèíà6äîëæíà áûòü ïëîñêîé. Îäíàêî, íå íà âñåõ ñòðóêòóðàõ Õîäæà-Òåéòà êîíñòðóêöèÿ Ðîâèíñêîãî çàäà¼ò ïëîñêóþ ñâÿçíîñòü, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ïîäòâåðæäåíèåì òîãî,÷òî íå âñÿêàÿ ñòðóêòóðà Õîäæà-Òåéòà ðåàëèçóåòñÿ íà êîãîìîëîãèÿõ àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé. äàííîé ðàáîòå ìû ðàññìàòðèâàåì êàòåãîðèþ ïëîñêèõ ñòðóêòóð ÕîäæàÒåéòà êàê òàííàêèåâó êàòåãîðèþ, è äà¼ì åé îïèñàíèå êàê êàòåãîðèè ïðåäñòàâëåíèé íåêîòîðîé ÿâíî îïðåäåëÿåìîé àëãåáðû Õîïôà.

Ýòî ïîçâîëÿåò íàì âû÷èñëèòü àëãåáðó ⊕ Ext (Q(0), Q()) â ýòîé êàòåãîðèè.Âî âòîðîé ÷àñòè äàííîé ðàáîòû èçó÷àþòñÿ îïåðàöèè èç àëãåáðàè÷åñêèõÊ-òåîðèé Ìîðàâû â ãðóïïû ×æîó è äðóãèå îðèåíòèðîâàííûå òåîðèè. Ê-òåîðèèÌîðàâû (ïàðàìåòðèçóåìûå ïðîñòûì ÷èñëîì è íàòóðàëüíûì ÷èñëîì ) ÿâëÿþòñÿ çàãàäî÷íûìè îáîáùåíèÿìè Ê-òåîðèè Ãðîòåíäèêà, îäíàêî, íå îáëàäàþùèìè ÿâíîé ãåîìåòðè÷åñêîé êîíñòðóêöèåé. Òåì íå ìåíåå, îïèðàÿñü íà òåîðåìóÂèøèêà, ñâîäÿùóþ çàäà÷ó êëàññèôèêàöèè îïåðàöèé èç òåîðèé òèïà àëãåáðàè÷åñêèõ êîáîðäèçìîâ â îðèåíòèðîâàííûå òåîðèè ê àëãåáðå ôîðìàëüíûõ ðÿäîâ,íàì óäà¼òñÿ ïîñòðîèòü "êëàññû ×åðíà" èç -îé Ê-òåîðèé Ìîðàâû â ãðóïïû×æîó, â -óþ Ê-òåîðèþ Ìîðàâû è â äðóãèå îðèåíòèðîâàííûå òåîðèè. Êëàññû×åðíà ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü ãàììà-ôèëüòðàöèþ íà Ê-òåîðèÿõ Ìîðàâû, ïðèñîåäèí¼ííûå ôàêòîðû êîòîðîé ñþðüåêòèâíî è àääèòèâíî îòîáðàæàþòñÿ â ãðóïïû×æîó êîðàçìåðíîñòåé íå áîëåå .

Äëÿ êâàäðèê îïðåäåë¼ííîãî òèïà Ê-òåîðèÿÌîðàâû íåñëîæíî âû÷èñëÿåòñÿ, è îïåðàöèè âûøå ïîçâîëÿþò îöåíèòü êðó÷åíèåâ èõ ãðóïïàõ ×æîó.Ðàññêàæåì îá ýòîì ðåçóëüòàòå ÷óòü áîëåå ïîäðîáíî. Îðèåíòèðîâàííûåòåîðèè êîãîìîëîãèé, ïîÿâèâøèñü âïåðâûå â òîïîëîãèè, â ïîñëåäíèå ãîäû îáíàðóæèâàþò âñ¼ áîëüøå ïðèëîæåíèé â àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè.

Ñðåäè òàêèõòåîðèé åñòü óíèâåðñàëüíàÿ òåîðèÿ, íàçûâàåìàÿ àëãåáðàè÷åñêèìè êîáîðäèçìàìè Ëåâèíà-Ìîðåëÿ, à îñíîâíûìè ïðèìåðàìè îðèåíòèðîâàííûõ òåîðèé ÿâëÿþòñÿ å¼ ëîêàëèçàöèè, íàçûâàåìûå ñâîáîäíûìè òåîðèÿìè êàê íàïðèìåð, ãðóïïû×æîó, êîëüöî Ãðîòåíäèêà âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé, Ê-òåîðèè Ìîðàâû.  îòëè÷èåîò èçó÷åíèÿ ñèíãóëÿðíûõ êîãîìîëîãèé, êîãîìîëîãèé äå Ðàìà èëè êîãîìîëîãèé Õîäæà, äëÿ êîòîðûõ ìîæíî îïðåäåëèòü äîñòàòî÷íî ìíîãî íåòðèâèàëüíûõ7îïåðàöèé äàæå ïðè èçó÷åíèè ýòèõ òåîðèé êàê Q -àëãåáð, íåòðèâèàëüíûõ îïåðàöèé ìåæäó ëîêàëèçàöèÿìè êîáîðäèçìîâ ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìèíåò.