Диссертация (О некоторых операциях между теориями когомологий алгебраических многообразий), страница 10

Число − 1 делится на − 1 тогда и толькотогда, когда делится на .()В частности, переменная ⃗ , соответствующая -специальномуразбиению может быть ненулевой для градуируемой операции только еслиэто разбиение является -специальным.Доказательство. Ïîñêîëüêó = ñðàâíèìî ñ 0 ïî ìîäóëþ .mod mod ( −1) , òî äîëæíî áûòü60()Ïåðåìåííàÿ ⃗ìîæåò áûòü íåíóëåâîé â ãðàäóèðóåìîé îïåðàöèè òîëüêîåñëè ≡ 1 mod − 1 äëÿ ëþáîãî 1 ≤ ≤ .  ñëó÷àå -ñïåöèàëüíûõðàçáèåíèé = äëÿ íåêîòîðîãî , à, çíà÷èò, | ïî äîêàçàííîìó âûøå.Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ýòîãî ðàçäåëà ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùååПредложение 2.10.10. Модуль градуируемых аддитивных операций [()* , * /],является одномерным и порождается редукцией -целочисленной аддитивной операции.Îáùàÿ èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé íà ïåðåìåííûå ãðàäóèðóåìîé îïåðàöèè ÿâëÿåòñÿ âåðõíå-òðåóãîëüíîé ñ íåíóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè íà äèàãîíàëè â íåêîòîðîì áàçèñå.

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâàñóùåñòâîâàíèÿ òàêîãî áàçèñà íàì áóäåò ïîëåçíà ñëåäóþùàÿЛемма 2.10.11. Пусть в -специальном разбиении ⃗ = (1 , . . . , ) хотябы одинаковых чисел.()Тогда используя уравнения и − +1 переменную ⃗()разить через переменные ⃗можно вы-с >.Доказательство. Ïîñêîëüêó â ðàçáèåíèè ⃗ âñòðå÷àåòñÿ ðàâíûõ ÷èñåë, òî ≥ .Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî − +1 = − +2 = .

. . = . Êðîìå òîãî, ýòè ÷èñëà ðàâíû äëÿ íåêîòîðîãî ≥ 0 ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 2.10.9.()Äîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî ïåðåìåííàÿ ⃗âñòðå÷àåòñÿ íåíóëåâûì îáðàçîìïðè íåêîòîðîì ìíîãî÷ëåíå â óðàâíåíèè − +1 , ïðè÷¼ì êîýôôèöèåíò ïðè()ýòîì ìíîãî÷ëåíå ñîäåðæèò òîëüêî ⃗Ðàññìîòðèì ìîíîì11äëÿ ≥ .− +−1 +−1 (−1)· · · − , ïîÿâëÿþùèéñÿ â óðàâ-íåíèè − +1 èç ñëàãàåìîãî−1 ,(−1)−1 (1 , . . . , − , ×()Ïåðåìåííàÿ ⃗−1, ×(−1)−1).ïîÿâëÿåòñÿ íåòðèâèàëüíûì îáðàçîì ïðè ýòîì ìîíîìå,ïîñêîëüêó êîëè÷åñòâî îäèíàêîâûõ ÷èñåë â ⃗ õîòÿ áû , à, çíà÷èò, ïðè ïðè-61ðàâíèâàíèè ïåðåìåííûõ â ñèììåòðè÷åñêîì ìíîãî÷ëåíå , êîýôôèöèåíòûïðè ìîíîìàõ òàêîãî âèäà íå ñòàíóò ðàâíûìè.()Ïåðåìåííûå ñ < ìîãóò ïîÿâèòüñÿ â óðàâíåíèè − +1 òîëüêî⃗äëÿ = − + 1 , îäíàêî, îíè íå ïîÿâëÿþòñÿ ïðè ðàññìàòðèâàåìîì ìîíîìå,ïîñêîëüêó îí ÿâëÿåòñÿ àääèòèâíûì (ñì. Ïðåäëîæåíèå 2.10.7).()Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî ïåðåìåííûå (1 ,..., ) äëÿ äðóãèõ ðàçáèåíèé ⃗âñòðå÷àþòñÿ ñ íåíóëåâûì êîýôôèöèåíòîì ïðè ðàññìàòðèâàåìîì ìîíîìå òîëüêîäëÿ íå -ñïåöèàëüíûõ ðàçáèåíèé.

Òîãäà ýòè ïåðåìåííûå ìîæíî áóäåò âûðàçèòü()÷åðåç ïåðåìåííûå ⃗äëÿ > èç óðàâíåíèÿ ñîãëàñíî Ïðåäëîæåíèþ2.10.7.Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåìåííàÿ, îòâå÷àþùàÿ -ñïåöèàëüíîìó ðàçáèåíèþ(1 , . . . , ) , ìîãëà ïîÿâèòüñÿ ïðè ýòîì ìîíîìå òîëüêî èç ñëàãàåìîãî−1 ,(−)−1 (1 , . . . , − , ×−1, ×(−)−1)äëÿ íåêîòîðîãî : 1 ≤ ≤ − 1 . Îäíàêî, â ýòîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî, ÷òîáû∑︀= = (+1) .

= äëÿ < − , è áîëåå òîãî,=− +1 Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî ïîñëåäíåå óðàâíåíèå èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå− +1 = . . . = = , ò.å. ïîëó÷èëîñü òî æå ñàìîå -ñïåöèàëüíîå ðàçáèåíèå.Доказательство предложения 2.10.10. Èñïîëüçóÿ Ëåììó 2.10.11 è Ïðåäëîæå()íèå 2.10.7, ìû äîêàæåì, ÷òî âñå ïåðåìåííûå ⃗ , îïðåäåëÿþùèå ãðàäóèðóåìóþàääèòèâíóþ îïåðàöèþ, ìîãóò áûòü âûðàæåíû, èñïîëüçóÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé , ÷åðåç åäèíñòâåííóþ ïåðåìåííóþ èç ýòîãî íàáîðà. Ýòî äîêàæåò, ÷òî ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà îïåðàöèé íå áîëåå åäèíèöû.Çàìåòèì, ÷òî äëÿ êàæäîãî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå -ñïåöèàëüíîåðàçáèåíèå ⃗ ÷èñëà , â êîòîðîì ìåíåå îäèíàêîâûõ ÷èñåë. Äåéñòâèòåëüíî,îáîçíà÷èì çà êîëè÷åñòâî îäèíàêîâûõ ÷èñåë â ⃗ .

Òîãäà = 0 +1 + . . . + . Åñëè < äëÿ ëþáîãî , òî ÿâëÿþòñÿ öèôðàìèðàçëîæåíèÿ â -è÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ è òàêèì îáðàçîì îïðåäåëåíû⃗ = (1 , . . . , ) .îäíîçíà÷íî. Îáîçíà÷èì ýòî ðàçáèåíèå Âñå îñòàëüíûå ïåðåìåííûå, îòâå÷àþùèå äðóãèì ðàçáèåíèÿì ÷èñëà ,62ñîãëàñíî Ëåììå 2.10.11 è Ïðåäëîæåíèþ 2.10.7, ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ïåðåìåííûå, èìåþùèå áîëüøèé âåðõíèé èíäåêñ. Èòåðèðóÿ ýòîò ïðîöåññ, âñå ïåðåìåí()íûå, êðîìå ⃗()è (1,1,...,1) , ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç íèõ. ñëó÷àå, åñëè < , òî ýòè äâå ïåðåìåííûå ñîâïàäàþò.

À â ñëó÷àå() > ïåðåìåííàÿ (1,1,...,1) ðàâíà íóëþ ïî Ëåììå 2.10.11, ò.ê. ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç ïåðåìåííûå ñ áîëüøèì âåðõíèì èíäåêñîì, êîòîðûå ðàâíû íóëþ.Òàêèì îáðàçîì, âñå ïåðåìåííûå ìîãóò âûðàæåíû ïîñðåäñòâîì åäèíñòâåííîé ïåðåìåííîé è ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ãðàäóèðóåìûõ àääèòèâíûõ îïåðàöèé íåïðåâîñõîäèò 1.Ïîñêîëüêó ðåäóêöèÿ -öåëî÷èñëåííîé àääèòèâíîé îïåðàöèè íå ðàâíàíóëþ, à òàêæå ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðóåìîé êàê ñëåäóåò èç Ñëåäñòâèÿ 2.10.8, òî ïðåäëîæåíèå äîêàçàíî.2.10.3 Индуктивная конструкция классов ЧернаÎáùàÿ èäåÿ êîíñòðóêöèè êëàññîâ ×åðíà èç Ê-òåîðèé Ìîðàâû â ãðóïïû ×æîóñîñòîèò â òîì, ÷òîáû íàéòè ôîðìóëû, ñâÿçûâàþùèå îïåðàöèè ñ õàðàêòåðîì×åðíà êàê îïåðàöèè â * ⊗ Q .

 ñëó÷àå êëàññè÷åñêèõ êëàññîâ ×åðíà èç 0â * ýòè ôîðìóëû âûãëÿäÿò òàê:(log(1 + )) = ( − 1)!ℎ ,2(2.11)3ãäå = 1 +2 +3 +. . . , log(1+) = + 2 + 3 +. . . è èíäåêñ îáîçíà÷àåò óþ êîìïîíåíòó ãðàäóèðîâêè. Ê ñîæàëåíèþ, äëÿ êîíñòðóèðóåìûõ íàìè îïåðàöèé : () → * ⊗ Z() ìû íå ìîæåì ÿâíî ïðåäúÿâèòü àíàëîãè÷íûå ôîðìóëû,òåì íå ìåíåå ìû ñòðîèì îïåðàöèè òàê, ÷òîáû òàêèå ôîðìóëû ñóùåñòâîâàëè.Òî÷íåå ãîâîðÿ, ìû ñòðîèì êëàññû ×åðíà èíäóêòèâíî, è -ûé êëàññ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñóììà ìíîãî÷ëåíà îò îïåðàöèé 1 , . . .

, −1 è àääèòèâíîéîïåðàöèè â -óþ ãðóïïó ×æîó. Áîëåå òîãî, ìíîãî÷ëåí â äåéñòâèòåëüíîñòèîäíîçíà÷íî îïðåäåë¼í ôîðìóëîé Êàðòàíà.Çàìåòèì, ÷òî ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 2.10.8 êîìïîíåíòà êëàññà ×åðíà ℎÿâëÿåòñÿ ïîðîæäàþùåé àääèòèâíûõ îïåðàöèé â ⊗ Q , è ïîýòîìó òàêàÿèíäóêòèâíàÿ êîíñòðóêöèÿ ïðåäïîëàãàåò íàëè÷èå ôîðìóë àíàëîãè÷íûõ 2.11.63Òåõíè÷åñêàÿ ñëîæíîñòü êîíñòðóêöèè ñîñòîèò â òîì, ÷òî , âîîáùå ãîâîðÿ, èìååò ðàöèîíàëüíûå êîýôôèöèåíòû, è ïîýòîìó òàêîå îïðåäåëåíèå ïðèïðîèçâîëüíîì âûáîðå àääèòèâíîé îïåðàöèè çàäà¼ò ëèøü îïåðàöèþ â ⊗Q ,à íå â ⊗ Z() . Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ðàçäåëà , ìû ìîæåì ïîêàçàòü, ÷òîñóùåñòâóåò ñïîñîá ïîäîáðàòü àääèòèâíóþ îïåðàöèþ â ôîðìóëå äëÿ òàêèìîáðàçîì, ÷òîáû äåéñòâîâàëî öåëî÷èñëåííî íà ïðîèçâåäåíèÿõ ïðîåêòèâíûõïðîñòðàíñòâ.

Òîãäà òåîðåìà Âèøèêà 2.5.5 ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü îïåðàöèè ñîçíà÷åíèÿìè â ⊗ Z() .Ïðåæäå ÷åì ïðèñòóïàòü ê êîíñòðóêöèè, ñäåëàåì îäíî çàìå÷àíèå îòíîñèòåëüíî ôîðìóëû Êàðòàíà. Ïîñêîëüêó îáëàñòü çíà÷åíèé (åù¼ íå ïîñòðîåííîé)îïåðàöèè ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðîâàííîé òåîðèåé, òî ôîðìóëà Êàðòàíà ðàñïàäàåòñÿ â áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ôîðìóë, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåò îäíîéãðàäóèðîâî÷íîé êîìïîíåíòå. Òàê, äëÿ ãðàäóèðîâêè ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ îïåðàöèè âûðàæàåòñÿ êàê ìíîãî÷ëåí îò îïåðàöèé 1 , . . . , −1 .Íàïðèìåð, äëÿ = ìû ïîëó÷àåì −1 (︂ )︂1 ∑︁ (1 ()) (1 ()) − .

(, ) := ( + ) − () − () = − =1 1Ïîñêîëüêó ïðîèçâîäíàÿ îïåðàöèè îïðåäåëÿåò å¼ ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé îïåðàöèè, òî äëÿ òîãî, ÷òîáû äëÿ êëàññîâ ×åðíà áûëà âûïîëíåíàôîðìóëà Êàðòàíà íåîáõîäèìî, ÷òîáû ðàâíÿëñÿ ñóììå "èíòåãðàëà" îò ïðîèçâîäíîé, ò.å. íåêîòîðîãî ìíîãî÷ëåíà îò îïåðàöèé 1 , . . . , −1 , è àääèòèâíîéîïåðàöèè.Çàìåòèì, ÷òî ìíîãî÷ëåí ∈ Q[1 , . . . , −1 ] îïðåäåë¼ííûé â ðàçäåëåñîãëàñíî ôîðìóëå = − (log() ) ,ÿâëÿåòñÿ "èíòåãðàëîì" , ò.å. 1 = 1 , ãäå ïðîèçâîäíûå â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè âû÷èñëÿþòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè âûïîëíåííîñòè ôîðìóëû Êàðòàíàäëÿ êëàññîâ ×åðíà. Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî ôîðìóëå Êàðòàíà log() ÿâëÿåòñÿ àääèòèâíîé îïåðàöèåé, ïîýòîìó å¼ ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà íóëþ, à, çíà÷èò,ïðîèçâîäíûå è ñîâïàäàþò ïî îïðåäåëåíèþ. Òàêèì îáðàçîì íàøè íîâûåîáîçíà÷åíèÿ ñîãëàñîâàíû ñ óêàçàííûìè ðàíåå.64Построение классов Черна.

Èíäóêöèåé ïî ìû ñòðîèì îïåðàöèè , óäîâëåòâîðÿþùèå ñâîéñòâàì i) è ii) òåîðåìû 2.10.1 è ñëåäóþùåìó ñâîéñòâó:iiibis) îáðàçóþùàÿ àääèòèâíûõ îïåðàöèé èç ()* â ⊗ Z() âûðàæàåòñÿ êàê -öåëî÷èñëåííûé ìíîãî÷ëåí îò îïåðàöèé 1 , . . . , .База индукции. Äëÿ 1 ≤ ≤ − 1 îïðåäåëèì êàê какую-тоîáðàçóþùóþ îäíîìåðíîãî Z() -ìîäóëÿ [()* , ⊗ Z() ] .Ñîãëàñíî Ïðåäëîæåíèþ 2.10.8 ñâîéñòâî i) äëÿ âûïîëíåíî.

Ïîñêîëüêóô.ã.ç. () (, ) íå èìååò ñëàãàåìûõ ïðè 1 < + < , òî ôîðìóëàÊàðòàíà äëÿ îïåðàöèè óòâåðæäàåò, ÷òî ýòà îïåðàöèÿ àääèòèâíà ïðè 1 ≤ ≤ − 1 (äðóãèìè ñëîâàìè, â îáîçíà÷åíèÿõ âûøå = 0 ). Òàêèì îáðàçîìñâîéñòâî ii) òàêæå âûïîëíåíî, à ñâîéñòâî iiibis) âûïîëíåíî ïî îïðåäåëåíèþ.Шаг индукции. Ïóñòü > − 1 è ïðåäïîëîæèì, ÷òî îïåðàöèè1 , 2 , . .