Диссертация (О некоторых операциях между теориями когомологий алгебраических многообразий), страница 13

Ðàññìîòðèì ñëó÷àé , ÿâëÿþùåãîñÿ ÷àñòè÷íûì îòîáðàæåíèåì Ñåãðå, äåéñòâóþùèì íà ïîñëåäíèõ äâóõ êîìïîíåíòàõ P∞ ) .  îñòàëüíûõñëó÷àÿõ óòâåðæäåíèå äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî, ïðè÷¼ì òåõíè÷åñêè áîëåå ïðîñòî.Ïî îïðåäåëåíèþ îòîáðàæåíèÿ Ñåãðå è ôîðìàëüíîãî ãðóïïîâîãî çàêîíà*îáðàòíûé îáðàç * îòîáðàæàåò â ( , +1) , à îáðàòíûé îáðàç îòîáðàæàåò â ++1 . Ïîñêîëüêó ( , +1) ≡ ++1mod ( +1),òî êîììóòàòèâíîñòü äèàãðàììû â Ëåììå âåðíà äëÿ ýòîãî .77Предложение 2.12.3.

Пусть * – теория рационального типа и * – про-извольная о.о.т.к. Пусть операция : * → * лежит в -м члене фильтрации Черна.Тогда мы можем сопоставить операцию : * → ⊗ , т.ч.для любого числа ≥ 0 и любого элемента ∈ * (P ) выполнено равенство: () = (()),(2.12)где – отображение факторизации, определённое выше.Это соответствие определяет функториальное вложение между абелевыми группами операций : [˜* , * ] → [˜* , ⊗ ] . Будем называтьэто отображение -ым обрезанием операции.Доказательство.

Óðàâíåíèå 2.12 êîððåêòíî îïðåäåëÿåò îïåðàöèþ èç * â ⊗ íà ïðîèçâåäåíèÿõ ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ ñîãëàñíî Ëåììå 2.12.2.Ïî Òåîðåìå 2.5.5 ìû ïîëó÷àåì òàêèì îáðàçîì åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå íà [˜* , * ] .  åãî ÿäðå ëåæàò â òî÷íîñòè òå îïåðàöèè, êîòîðûå óâåëè÷èâàþòôèëüòðàöèþ íà + 1 . äàëüíåéøåì äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçûâàòü, ÷òî êëàññû ×åðíà â òåîðèè {}* (è åé ïîäîáíûõ) ïîðîæäàþò âñå îïåðàöèè, ìû áóäåì ñëåäîâàòü ñëåäóþùåé ñòðàòåãèè. Âî-ïåðâûõ, ìû äîêàæåì, ÷òî -îå îòîáðàæåíèå îáðåçàíèÿ˜ * , {}* ] è [()˜ * , ⊗ {}] . Âî-âòîðûõ,çàäà¼ò èçîìîðôèçì [()ìû ïîñòðîèì êëàññû ×åðíà ñî çíà÷åíèÿìè â {}* , îáðåçàíèÿ êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ êëàññàìè ×åðíà â ãðóïïàõ ×æîó.

 ñëåäóþùèõ íåñêîëüêèõ ïðåäëîæåíèÿõñîäåðæèòñÿ äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ýòèõ äâóõ óòâåðåæäåíèé äîñòàòî÷íî äëÿòîãî, ÷òîáû ïîñòðîåííûå êëàññû ×åðíà ïîðîæäàëè âñå îïåðàöèè â {}* .Предложение 2.12.4. Пусть * – теория рационального типа, * – про-извольная о.о.т.к.Предположим, что -модуль операций [* , ⊗ ] является сво()()бодным с образующими 1 , . . . , , и предположим, что отображение обрезания [* , * ] → [* , ⊗ ] является изоморфизмом для любого .78()()Обозначим через ∈ [* , * ] подъёмы операций ()но обрезаний.

Тогда операции относитель-(топологически) свободно порождают -модуль всех операций [* , * ] , т.е. любая операция : * → * единствен∑︀()ным образом представляется как , где ∈ – набор (возможно,бесконечный) элементов кольца .Аналогичное утверждение верно, если рассматривать модули аддитивных операций.Доказательство. Âî-ïåðâûõ, äîêàæåì îò ïðîòèâíîãî, ÷òî ìåæäó îïåðàöèÿìè íåò íèêàêèõ ïîëèíîìèàëüíûõ ñîîòíîøåíèé. Ïóñòü ìíîãî÷ëåí ∈ [[1 , .

. . , , . . .]]∏︀îïðåäåëÿåò íóëåâóþ îïåðàöèþ. Îïðåäåëèì ñòåïåíü ìîíîìà deg = êàê∑︀ , ò.å. ìîíîì îïðåäåëÿåò îïåðàöèþ èç deg -ãî ÷ëåíà ôèëüòðàöèè ×åðíà. Ïóñòü ìèíèìàëüíàÿ ñòåïåíü ìîíîì, âõîäÿùèõ â , è îíà êîíå÷íà,åñëè è òîëüêî åñëè ̸= 0 .Òàêèì îáðàçîì, îáðåçàíèå îïåðàöèè îïðåäåëÿåò îïåðàöèþ â ⊗ , êîòîðàÿ ðàâíà ñóììå ìîíîìîâ ñòåïåíè â (¯1 , . . .) . Ïîñêîëüêó ìåæäóîïåðàöèÿìè ¯ íåò ñîîòíîøåíèé ïî ïðåäïîëîæåíèþ Ïðåäëîæåíèÿ, ìû ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå.Âî-âòîðûõ, ïóñòü ïðîèçâîëüíàÿ îïåðàöèÿ èç ˜* â * . Äîêàæåìèíäóêöèåé ïî , ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîé ìíîãî÷ëåí ∈ [1 , .

. . , , . . .] , ÷òîîïåðàöèÿ − ëåæèò â -îì ÷ëåíå ôèëüòðàöèè ×åðíà.База индукции. Ïðè = 0 ìîæíî âçÿòü 0 = 0 .Шаг индукции ( → +1 ). Îïåðàöèÿ (− ) ìîæåò áûòü ïîäíÿòàêàê ìíîãî÷ëåí îò îïåðàöèé ïî ïðåäïîëîæåíèþ Ïðåäëîæåíèÿ.  òàêîìñëó÷àå îïåðàöèÿ − ( − ) ëåæèò â ( + 1) -îì ÷ëåíå ôèëüòðàöèè ×åðíàè èíäóêòèâíûé ïåðåõîä äîêàçàí.Ïîñêîëüêó ôèëüòðàöèÿ ×åðíà íà êîëüöå îïåðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé, òîîïåðàöèÿ ðàâíà ðÿäó îò îïåðàöèé .2.13 Классы Черна в типических теориях ýòîì ðàçäåëå ìû ñòðîèì êëàññû ×åðíà èç -îé Ê-òåîðèè Ìîðàâû â óíèâåðñàëüíóþ -òèïè÷åñêóþ òåîðèþ {}* .

Êàê è ðàíåå, êëàññû ×åðíà ýòî79 {}îïåðàöèè , óäîâëåòâîðÿþùèå ìîäèôèöèðîâàííîé ôîðìóëå Êàðòàíà, èñâîáîäíî ïîðîæäàþùèå âñå îïåðàöèè â {}* .Ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîé -òèïè÷åñêîé òåîðèè * ñóùåñòâóåò êàíîíè÷åñêàÿ ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ îïåðàöèÿ (ìîðôèçì îðèåíòèðîâàííûõ òåîðèé) {}* →* , òî êîìïîçèöèÿ ýòîé îïåðàöèè c êëàññàìè ×åðíà â {}* îïðåäåëÿåòêëàññû ×åðíà â ïðîèçâîëüíîé -òèïè÷åñêîé òåîðèè.

Îäíàêî, îêàçûâàåòñÿ,÷òî óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî ýòè îïåðàöèè ïîðîæäàþò âñå îïåðàöèè â * âåðíîòîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíûì Z() -ìîäóëåì.Ìû íà÷èíàåì ïîñòðîåíèå êëàññîâ ×åðíà ñ íàõîæäåíèÿ "ïîäíÿòèé" îòíîñèòåëüíî îáðåçàíèÿ îáðàçóþùèõ àääèòèâíûõ îïåðàöèé â ãðóïïû ×æîó.Предложение 2.13.1. Существуют аддитивные операции из ()mod −1в {} , т.ч.1. операция лежит в -ом члене фильтрации Черна;2.

-ое обрезание операции : ()mod −1→ ⊗ {} являетсяпорождающей свободного {} -модуля аддитивных операций.Доказательство. Âî-ïåðâûõ, äîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóþò îïåðàöèè : ()* → {} ⊗ Q , ëåæàùèå â -îì ÷ëåíå ôèëüòðàöèè ×åðíà è ò.÷. îáðåçàíèå ÿâëÿåòñÿ îáðàçóþùåé ìîäóëÿ àääèòèâíûõ îïåðàöèé â * ⊗ {} ⊗ Q . Âýòîì äîêàçàòåëüñòâå áóäåì íàçûâàòü òàêóþ îïåðàöèþ öåëî÷èñëåííîé ïîðîæäàþùåé.Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáàÿ àääèòèâíàÿ îïåðàöèÿ èç ()* â {}* ⊗ Qïðîäîëæàåòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì äî àääèòèâíîé îïåðàöèè èç ()* ⊗ Q ,ò.å. èìååòñÿ êàíîíè÷åñêèé èçîìîðôèçì∼[()* , {}* ⊗ Q] −→ [()* ⊗ Q, {}* ⊗ Q] .Çàìåòèì òàêæå, ÷òî õàðàêòåðû ×åðíà çàäàþò èçîìîðôèçìû ôóíêòîðîâ êîëåö∼∼()* ⊗ Q −→ * ⊗ Q è {}* ⊗ Q −→ * ⊗ {} ⊗ Q .Íåñëîæíî çàìåòèòü, èñïîëüçóÿ õàðàêòåðû ×åðíà è êëàññèôèêàöèþ îïåðàöèé â * ⊗ Q èç Ê-òåîðèé Ìîðàâû, ÷òî ìîäóëü îïåðàöèé [()* ⊗Q, {}* ⊗Q] íàä êîëüöîì {}⊗Q ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíûì ìîäóëåì ðàíãà801.

Âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ ïîðîæäàþùóþ ýòîãî ìîäóëÿ , òîãäà å¼ îáðåçàíèÿ,î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ îáðàçóþùåé {} ⊗ Q -ìîäóëÿ àääèòèâíûõ îïåðàöèé â ⊗ {}⊗Q . Íàïîìíèì, ÷òî ìîäóëü öåëî÷èñëåííûõ àääèòèâíûõ îïåðàöèé[()* , ⊗ {}] òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíûì {} -ìîäóëåì ðàíãà 1.Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ÷èñëî ∈ Q , ò.÷. ÿâëÿåòñÿ öåëî÷èñëåííîéè îáðåçàíèå ýòîé îïåðàöèè ( ) ÿâëÿåòñÿ ïîðîæäàþùåé öåëî÷èñëåííûõàääèòèâíûõ îïåðàöèé.Âî-âòîðûõ, îïðåäåëèì îïåðàöèþ êàê áåñêîíå÷íóþ {}⊗Q -ëèíåéíóþêîìáèíàöèþ îïåðàöèé . Äëÿ êàæäîãî ìû îïðåäåëÿåì ïî èíäóêöèè.Íà -îì øàãå èíäóêöèè ìû ñòðîèì àääèòèâíóþ îïåðàöèþ : () → {}* ⊗ Q , ò.÷.

ëåæèò â -îì ÷ëåíå ôèëüòðàöèè ×åðíà, å¼ îáðåçàíèå ÿâëÿåòñÿ ïîðîæäàþùåé öåëî÷èñëåííûõ àääèòèâíûõ îïåðàöèé è äåéñòâóåò öåëî÷èñëåííî íà ïðîèçâäåíèè ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ ïî ìîäóëþ èäåàëà (ñì. ðàçäåë ).База индукции.  êà÷åñòâå 0 ìîæíî âçÿòü îïåðàöèþ .Шаг индукции.Îïðåäåëèì ÷èñëî := min{| ÿâëÿåòñÿ öåëî÷èñëåííîé} , ò.å. îïåðàöèÿ èìååò çíàìåíàòåëè íå áîëåå ñðåäè ìîíîìîâ â ñòåïåíè .Åñëè = 0 , òî ìû ìîæåì îïðåäåëèòü +1= .Ïðåäïîëîæèì, ÷òî > 0 .

Ñ ïîìîùüþ äðóãîé èíäóêöèîííîé ïðîöåäóðû ìû áóäåì óìåíüøàòü . Ãðóáî ãîâîðÿ, îïåðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ "öåëî÷èñëåííîé ïî ìîäóëþ +1 ", è å¼ îáðåçàíèÿ (ïðàâèëüíûì îáðàçîì îïðåäåë¼ííûå) ( ) mod çàíóëÿþòñÿ ïðè < .  òî æå âðåìÿ -îå îáðåçàíèå ïî ìîäóëþ ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðóåìîé îïåðàöèåé è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðîïîðöèîíàëüíàîáðåçàíèþ îïåðàöèè . Òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì íàéòè ∈ {} , ò.÷. − èìååò çíàìåíàòåëè íå áîëåå, ÷åì −1 , â -îì ÷ëåíå ôèëüòðàöèè íà ïðîèçâåäåíèÿõ ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ.Ôîðìóëèðóÿ ýòî ðàññóæäåíèå áîëåå ñòðîãî, ñîãëàñíî Òåîðåìå 2.5.8 îïåðàöèÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ðÿäàìè ∈ {} ⊗ Q[[1 , . . .

, ]] äëÿ ≥ 0 . Íàïèñàííûå âûøå óñëîâèÿ íà îïåðàöèþ ïåðåôîðìóëèðóþòñÿ â òåðìèíàõ ýòèõ ðÿäîâ êàê òî, ÷òî ðÿä èìååò ïîðÿäîê íå ìåíåå (âû÷èñëÿåìûé81îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ ), à òàêæå ∈ {}[[1 , . . . , ]] mod +1 .Îáîçíà÷èì ÷åðåç = ∈ {}[[1 , . . . , ]]/ +1 , â ÷àñòíîñòè, = 0for ≥ + 1 ïî íåïðåðûâíîñòè. Çàìåòèì, ÷òî mod èìååò ñòåïåíü íåìåíåå , ïîñêîëüêó áûëè öåëî÷èñëåííû â ñòåïåíÿõ ìåíåå . Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîãî÷ëåíû mod îïðåäåëÿåò îïåðàöèþ ()* → ⊗ {}/ .Ýòà îïåðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðóåìîé, à òàêæå ñîãëàñíî Ïðåäëîæåíèþ 2.10.10îíà ïðîïîðöèîíàëüíà îáðåçàíèþ îïåðàöèè .