Диссертация (Зеркальная симметрия для простых эллиптических особенностей с действием группы), страница 3

, αN ) ∈ (C∗ )N | W (α1 x1 , . . . , αN xN ) = W (x) .•Îïðåäåëèì îïåðàòîðJW := (e2πiq1 , . . . , e2πiqN ).Ïîðîæäåííàÿ èì öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ ÷åðåçG0 := hJW i.11G0 :Íåñëîæíî çàìåòèòü,ìíîãî÷ëåíîâWèWTG0 ⊆ GW .÷òîÅñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü,÷òî îñîáåííîñòèÿâëÿþòñÿ â îïðåäåëåííîì ñìûñëå çåðêàëüíî ñèììåòðè÷íûìè. Îäíàêîäâå òàêèå îñîáåííîñòè ìîãóò èìåòü ðàçíûå ÷èñëà Ìèëíîðà, ÷òî äåëàåò íåâîçìîæíûì â îáùåìñëó÷àå äàæå èçîìîðôèçì ñîîòâåòñòâóþùèõ ëîêàëüíûõ àëãåáð. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ çåðêàëüíîéWñèììåòðèè ïàðû äâîéñòâåííûõ ìíîãî÷ëåíîâãäåGèGTèWTGT ãðóïïû ñèììåòðèé îñîáåííîñòåé, èäâîéñòâåííîé êGðàññìîòðèì ïàðû(W, G)è(W T , GT ),ÿâëÿåòñÿ â îïðåäåëåííîì ñìûñëåãðóïïîé. çàâèñèìîñòè îò ñòîðîíû çåðêàëüíîé ñèììåòðèè ìû áóäåì ðàáîòàòü ñ äâóìÿ ðàçíûìèòèïàìè ãðóïï ñèììåòðèé.Îïðåäåëåíèå.

ÃðóïïàG íàçûâàåòñÿ Àäîïóñòèìîéãðóïïîé ñèììåòðèé ìíîãî÷ëåíàW,åñëè:G0 ⊆ G ⊆ GW .ÃðóïïàHíàçûâàåòñÿ Áäîïóñòèìîé ãðóïïîé ñèììåòðèé ìíîãî÷ëåíàW,åñëè:H ⊆ SLW := GW ∩ SL(CN ).Äëÿ Àäîïóñòèìîé ãðóïïûGïîëîæèì:G̃ := G/G0 .(2.4)Îïðåäåëåíèå äâîéñòâåííîé ãðóïïû,ñèììåòðèèìåæäó(W, G)èêîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò ïðåäïîëîæåíèÿì çåðêàëüíîé(W T , GT ),áûëîâïåðâûåïðåäëîæåíîÁåðãëþíäîìè7Õåííèíãñîíîì â [ ].Îïðåäåëåíèå. Äëÿ âñÿêîé ïîäãðóïïûG ⊆ GWïîëîæèì:GT := Hom(GW /G, C∗ ).Ïðèìåð 2.4. Äëÿ âñÿêîé îáðàòèìîé îñîáåííîñòè ðàáîòå [Wâåðíî:(GW )T = {id}.26] Ì. Êðàâèòö äàë êîìáèíàòîðíîå ïîñòðîåíèå äâîéñòâåííîé ãðóïïû GT÷åðåçîáðàçóþùèå è ñîîòíîøåíèÿ, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî äîêàçàë ñëåäóþùåå âàæíîå ïðåäëîæåíèå.Ïðåäëîæåíèå 2.5 (Ëåììà 3.3 â [26]).Ïóñòüíåêîòîðîé Àäîïóñòèìîé ãðóïïîé ñèììåòðèé(GT )T = GandGWçàäàåò îáðàòèìóþ îñîáåííîñòü ñ.

Òîãäà âåðíî:GT ⊆ GW T ∩ SL(CN ).Òàêèì îáðàçîì, äâîéñòâåííàÿ ãðóïïà Àäîïóñòèìîé ãðóïïû ñèììåòðèé ÿâëÿåòñÿ Áäîïóñòèìîé äëÿ äâîéñòâåííîé îñîáåííîñòè.12Ïàðàïàðå(W T , GT )íîñèò â íàñòîÿùåå âðåìÿ èìÿ ÁåðãëþíäÕóáøÊðàâèòö äâîéñòâåííîé(W, G).Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü ìíîãî÷ëåíûWW0èGçàäàþò îáðàòèìûå îñîáåííîñòè, àÿâëÿþòñÿ èõ À è Áäîïóñòèìûìè ãðóïïàìè ñèììåòðèé ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ïàðûè(W 0 , H) íàçûâàþòñÿW(W, G)óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ÊàëàáèßóPqi = 1.Ïóñòü ìíîãî÷ëåíq1 , .

. . , q N .çàäàåò êâàçèîäíîðîäíóþ îáðàòèìóþ îñîáåííîñòü ñ âåñàìèòàêæå, ÷òîHîðáèôîëäîâûìè À è Á ìîäåëÿìè ËàíäàóÃèíçáóðãà ñîîòâåòñòâåííî.Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ñ òðèâèàëüíîé ãðóïïîé ñèììåòðèé.WèÏðåäïîëîæèì òàêîì ñëó÷àå ìíîæåñòâîíóëåé ìíîãî÷ëåíà ÿâëÿåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì Êàëàáèßó â íåêîòîðîì âçâåøåííîì ïðîåêòèâíîìïðîñòðàíñòâå. ÏóñòüG̃W ,êàê è âûøå (ñì. ôîðìóëó (2.4)), ôàêòîðãðóïïà ìàêñèìàëüíîéG0 .ãðóïïû ñèììåòðèé ïî ïîäðãóïïåîðáèôîëäàXW,GWÐàññìîòðèì òåîðèþ ÃðîìîâàÂèòòåíà ñëåäóþùåãî:XW,GW := {W = 0}/G̃W .10]).Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ íàçûâàþòñÿ ãèïîòåçàìè çåðêàëüíîé ñèììåòðèè (ñì. [Ãèïîòåçà 2.1 (çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ òèïà CYLG).

Ñ òî÷íîñòüþ äî ëèíåéíîé çàìåíûïåðåìåííûõ ïîòåíöèàë ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ òåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíà îðáèôîëäàXW T ,GW Tñîâïàäàåò ñ ïîòåíöèàëîì ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ îñîáåííîñòèïðèìèòèâíîé ôîðìûÇàìåòèì,÷òîôðîáåíèóñîâûõèçîìîðôèçìåζWñ âûáîðîìâ ñïåöèàëüíîé òî÷êå áàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ðàçâåðòêè.òàêîåñîîòíîøåíèåìíîãîîáðàçèé.çåðêàëüíîéÂûáîðñèììåòðèèìåæäóïîòåíöèàëàìèïðèìèòèâíîéòèïàCYLG,âëå÷åòζ,ôîðìûíàçûâàåòñÿèçîìîðôèçìèñïîëüçîâàííûéïðèìèòèâíîéâôîðìîéLCSL.Ãèïîòåçàôðîáåíèóñîâà2.2(çåðêàëüíàÿìíîãîîáðàçèÿäëÿñèììåòðèÿïàðûçàìåíû ïåðåìåííûõ åå ïîòåíöèàëìíîãîîáðàçèÿ îñîáåííîñòèWòèïà(W T , GW T ),AFWT ,GWT( t)LGLG).ò.÷.ñÑóùåñòâóåòòî÷íîñòüþñòðóêòóðàäîëèíåéíîéñîâïàäàåò ñ ïîòåíöèàëîì ôðîáåíèóñîâàñ âûáîðîì ïðèìèòèâíîé ôîðìûζâ ñïåöèàëüíîé òî÷êåáàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ðàçâåðòêè.Âûáîð ïðèìèòèâíîé ôîðìûζ,çàäàþùèé èçîìîðôèçì çåðêàëüíîé ñèììåòðèè òèïà LGLG, íàçûâàåòñÿ ïðèìèòèâíîé ôîðìîé â òî÷êå Ãåïïíåðà. îáåèõ ãèïîòåçàõ ïëîñêèå ñòðóêòóðû Ñàèòî âîçíèêàþò â êà÷åñòâå Áìîäåëåé, òîãäà êàêÀìîäåëè ðàçíÿòñÿ, ïîýòîìó òàêàÿ Áìîäåëü íîñèò íàçûâàåòñÿãëîáàëüíîé.Ñëåäóþùàÿãèïîòåçà ïðåäïîëàãàåò, ÷òî äâå (àïðèîðè ðàçëè÷íûå) Àìîäåëè îäíîé ãëîáàëüíîé Áìîäåëèîïðåäåëåííûì îáðàçîì ñâÿçàíû.13Ãèïîòåçà 2.3 (ñîîòâåòñòâèå CY/LG).

Ñóùåñòâóåò äåéñòâèå ãðóïïû íà ïðîñòðàíñòâåâñåõ ôðîáåíèóñîâûõ ñòðóêòóð, òàêîå, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî ýëåìåíòà ýòîé ãðóïïûRèìååòìåñòî ðàâåíñòâî:AR̂ · FWT ,GãäåR̂îáîçíà÷àåò äåéñòâèå ýëåìåíòàR= FXGWTWTW,G TW,íà ïîòåíöèàëå ôðîáåíèóñîâîé ñòðóêòóðû.Äåéñòâèå (íåêîòîðîé ãðóïïû) íà ïðîñòðàíñòâå âñåõ ôðîáåíèóñîâûõ ñòðóêòóð (à áîëååîáùî íà ïðîñòðàíñòâå êîãîìîëîãè÷åñêèõ òåîðèé ïîëÿ) áûëî ïîñòðîåíî À.Ãèâåíòàëåì18].â [â äåéñòâèòåëüíîñòè èìåííî äåéñòâèå ÃèâåíòàëÿñîîòâåòñòâèèCY/LG.ÎäíàêîïîñòðîåííîåR̂Ãèâåíòàëåìè ïðåäïîëàãàåòñÿ ïðèìåíèòüäåéñòâèåñëîæíîâû÷èñëåíèé è òðåáóåò çíàíèÿ êîãîìîëîãè÷åñêîé òåîðèè ïîëÿ öåëèêîì,ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ.äëÿÿâíûõà íå òîëüêî åå äàííîé ðàáîòå ìû ïîñòðîèì äðóãîå äåéñòâèå ãðóïïû íàïðîñòðàíñòâå ôðîáåíèóñîâûõ ñòðóêòóð îïðåäåëåííîãî êëàññà.

Ïðåäëîæåííîå íàìè äåéñòâèåâîçíèêàåò åñòåñòâåííî èç àíàëèçà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îäíàêî îíî íå ìîæåò áûòüíåòðèâèàëüíî ïðîäîëæåíî íà ïðîñòðàíñòâî âñåõ ôðîáåíèóñîâûõ ñòðóêòóð.Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ñ ïðîèçâîëüíîé ãðóïïîé ñèììåòðèé.WçàäàåòîáðàòèìóþÏðåäïîëîæèì òàêæå,îñîáåííîñòüñ÷òî ìíîãî÷ëåííåêîòîðîéWÀäîïóñòèìîéÏóñòü ìíîãî÷ëåíãðóïïîéñèììåòðèéóäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ÊàëàáèßóÐàññìîòðèì òåîðèþ ÃðîìîâàÂèòòåíà îðáèôîëäàPG.qi = 1 .XW,G :XW,G := {W = 0} /G̃.Ãèïîòåçàìíîãî÷ëåíàW2.4(çåðêàëüíàÿñèììåòðèÿòèïàñ Áäîïóñòèìîé ãðóïïîé ñèììåòðèéôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé äëÿ ïàðû(W, G),ñîîòâåòñòâóþùåéÔðîáåíèóñîâîéGÄëÿâñÿêîãîîáðàòèìîãîñóùåñòâóåò ñåìåéñòâî ñòðóêòóðôèêñèðóåìîå ïðèìèòèâíîé ôîðìîéζ∞Ñóùåñòâóåò òàêæå âûáîð ïðèìèòèâíîé ôîðìûïîòåíöèàëCYLG).ζG .â ñïåöèàëüíîé òî÷êå, òàêîé, ÷òîñòðóêòóðûñîâïàäàåòñòî÷íîñòüþäîëèíåéíîé çàìåíû ïåðåìåííûõ ñ ôðîáåíèóñîâûì ïîòåíöèàëîì òåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíàîðáèôîëäàÊàêXW T ,GT .èïðåæäå,âûáîðïðèìèòèâíîéôîðìû,óñòàíàâëèâàþùèéïðèâåäåííóþâûøåçåðêàëüíóþ ñèììåòðèþ, íàçûâàåòñÿ ïðèìèòèâíîé ôîðìîé â LCSL.Ãèïîòåçàìíîãî÷ëåíàW2.5(çåðêàëüíàÿñèììåòðèÿòèïàñ Áäîïóñòèìîé ãðóïïîé ñèììåòðèéôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé äëÿ ïàðû(W, G),LGLG).Gâñÿêîãîîáðàòèìîãîñóùåñòâóåò ñåìåéñòâî ñòðóêòóðôèêñèðóåìîå ïðèìèòèâíîé ôîðìîéÑóùåñòâóåò òàêæå ôðîáåíèóñîâà ñòðóêòóðà äëÿ ïàðû14Äëÿ(W T , GT )ζG .è âûáîð ïðèìèòèâíîéôîðìûζ∞â ñïåöèàëüíîé òî÷êå, òàêîé, ÷òî ïîòåíöèàë ñîîòâåòñòâóþùåé ôðîáåíèóñîâîéñòðóêòóðû ñîâïàäàåò ñ òî÷íîñòüþ äî ëèíåéíîé çàìåíû ïåðåìåííûõ ñ ôðîáåíèóñîâûìïîòåíöèàëîì ïàðû(W T , GT ).Ãèïîòåçà 2.6 (ñîîòâåòñòâèå CY/LG).

Ñóùåñòâóåò äåéñòâèå ãðóïïû íà ïðîñòðàíñòâåâñåõ ôðîáåíèóñîâûõ ñòðóêòóð, òàêîå, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî ýëåìåíòà ýòîé ãðóïïûRèìååòìåñòî ðàâåíñòâî:GWAR̂ · FWT ,GT = FXTWãäåR̂îáîçíà÷àåò äåéñòâèå ýëåìåíòàR,GT,íà ïîòåíöèàëå ôðîáåíèóñîâîé ñòðóêòóðû.Åñòåñòâåííûì êàíäèäàòîì íà ðîëü Àìîäåëè ËàíäàóÃèíçáóðãà ÿâëÿåòñÿ òåîðèÿ FJRW.Îäíàêî ýòà òåîðèÿ íå ðàññìàòðèâàåòñÿ íà äàííûé ìîìåíò êàê íåêîòîðûé êàíîíè÷åñêèé âûáîðÀìîäåëè è èìååò íåêîòîðûå ñóùåñòâåííûå íåäîñòàòêè.Èçîáðàçèì èäåþ ãëîáàëüíîé çåðêàëüíîé ñèììåòðèè ñëåäóþùåé äèàãðàììîé.ñòîðîíà À:?òåîðèÿ FJRWTT(W , G )0sòåîðèÿ ÃðîìîâàÂèòòåíà?pkXW T ,GT := {W T = 0}/G̃T∞ssñòîðîíà Á:ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèåÍåðàçðåøåííûå ïðîáëåìû.ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî äëÿ âñÿêîé ïàðûîðáèôîëäàXW,G(W, G)Îñíîâíîé ïðîáëåìîé ãëîáàëüíîé çåðêàëüíîé ñèììåòðèè(W, G)òîëüêî ëèøü Àìîäåëü òåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíàÿâëÿåòñÿ êîððåêòíî çàäàííîé.•Ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå Áìîäåëè ËàíäàóÃèíçáóðãà•ÍåñóùåñòâóåòïîíÿòèÿçàìåíûïðèìèòèâíîéôîðìûÃèíçáóðãà â ñëó÷àå íåòðèâèàëüíîé ãðóïïû ñèììåòðèé•Òåîðèÿ FJRW ñëîæíà äëÿ âû÷èñëåíèé.15G.(W, G)äëÿíå îïðåäåëåíî.ÁìîäåëèËàíäàóÃËÀÂÀ 3Ãëîáàëüíàÿ çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ äëÿ ïðîñòûõ ýëëèïòè÷åñêèõîñîáåííîñòåéÐàññìîòðèì ïðîñòûå ýëëèïòè÷åñêèå îñîáåííîñòèẼ6 , Ẽ7 , Ẽ8 ,çàäàííûå ñëåäóþùèìèïîëèíîìàìè:Ẽ6 : Wσ (x) = x31 + x32 + x33 + σx1 x2 x3 ,Ẽ7 : Wσ (x) = x41 + x42 + x23 + σx21 x22 ,(3.1)Ẽ8 : Wσ (x) = x61 + x32 + x23 + σx41 x2 .Âñå îíè èìåþò ñëåäóþùèé âèä:Wσ (x) = W (x1 , x2 , x3 ) + σφ−1ãäå• W (x1 , x2 , x3 ) = xa11 + xa22 + xa33óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ• φ−1 ∈ LW• σ∈CÏðîñòàÿqi := 1/ai ,q1 + q2 + q3 = 1, ýëåìåíò àëãåáðû ñòåïåíè1, êîìïëåêñíûé ïàðàìåòð.ýëëèïòè÷åñêàÿW (x1 , x2 , x3 )êâàçèîäíîðîäíûé ïîëèíîì ñ âåñàìèîáðàòèìWσ (x)îñîáåííîñòü(ñì.îïðåäåëåíèåíàçûâàåòñÿâîââåäåíèèîáðàòèìîé,íàñòð.ïðîñòàÿ ýëëèïòè÷åñêàÿ îñîáåííîñòü îïðåäåëÿåò ýëëèïòè÷åñêóþ êðèâóþåñëè11).Eσ ,ïîëèíîìÊàæäàÿíàçûâàåìóþýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé â áåñêîíå÷íîñòè, çàäàâàåìóþ ñëåäóþùèì îáðàçîì:Eσ := {x ∈ P2 (c1 , c2 , c3 ) | Wσ (x) = 0},ãäåΣci = d/ai ,àdÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì îáùèì ÷àñòíûì âåñîâìíîæåñòâî âñåõ òàêèõσ ⊂ C,ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ íàääëÿj -èíâàðèàíòà(3.2)Σ.÷òîEσíå îñîáà.Eσ :16σ 6Ẽ6 : j(σ) = − 3,σ + 2716(σ 2 + 12)3Ẽ7 : j(σ) =,(σ 2 − 4)24σ 3Ẽ8 : j(σ) = 1728 3.4σ + 2717Îáîçíà÷èì ÷åðåçÒàêèì îáðàçîì ìû èìååì ñåìåéñòâîK.

Ñàèòî ïðèâîäèò â ðàáîòå [ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîéa1 ,a2 ,a3 .39, Ðàçäåë 1.11] ÿâíûå ôîðìóëûÈñïîëüçóÿýòèôîðìóëû,ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîéEσ ,ðàññìîòðèì÷èñëîτ = τ (σ) ∈ H/SL(2, Z)êàêìîäóëüòàêîå ÷òî âûïîëíåíî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî:j(τ ) = j(σ).Ðàññìîòðèì òàêæå ñåìåéñòâî ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ, ïàðàìåòðèçîâàííîåH:E := {P2 (c1 , c2 , c3 ) × H | Wσ (x1 , x2 , x3 ) = 0} → H.(3.3)1.

Ïðèìèòèâíàÿ ôîðìà ïðîñòîé ýëëèïòè÷åñêîé îñîáåííîñòèÎáîçíà÷èì ÷åðåçSáàçîâîå ïðîñòðàíñòâî óíèâåðñàëüíîé ðàçâåðòêèWσ .ýëëèïòè÷åñêîé îñîáåííîñòèáûòü èäåíòèôèöèðîâàí ñσ.Ïîñêîëüêóφ−1 ∈ LWσ ,F (x, s)ïàðàìåòð ðàçâåðòêèïðîñòîés−1ìîæåòÒàêèì îáðàçîì, áàçîâîå ïðîñòðàíñòâî ðàçâåðòêè èìååò âèä:S = Σ × Cµ−1 .Ê.Ñàèòîáûëîýëëèïòè÷åñêîéçàìå÷åíîîñîáåííîñòèýëëèïòè÷åñêîé êðèâîéâ [34]).Eσâðàáîòåçàäàåòñÿ40],[÷òîâñÿêàÿîäíîçíà÷íîñïðèìèòèâíàÿïîìîùüþôîðìàíåêîòîðûõïðîñòîéäàííûõ(äåòàëüíîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ìîæåò áûòü íàéäåíî îáùåì ñëó÷àå (íå îáÿçàòåëüíî ýëëèïòè÷åñêîé îñîáåííîñòè) ïðèìèòèâíàÿ ôîðìàζ = ζ(s)çàâèñèò îò òî÷êès ∈ S. ñëó÷àå ýëëèïòè÷åñêîé îñîáåííîñòèWσïðÿìûìñëåäñòâèåì àêñèîìàòè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ ïðèìèòèâíîé ôîðìû è âûñøåãî ñïàðèâàíèÿ Ê.Ñàèòî ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî èç âñåõ êîîðäèíàòζ = ζ(s−1 ).s,s−1 :ïðèìèòèâíàÿ ôîðìà çàâèñèò òîëüêî îòÄðóãèì ïðÿìûì ñëåäñòâèåì âûøåóïîìÿíóòîé àêñèîìàòèêè ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òîïðèìèòèâíàÿ ôîðìà óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ ÏèêàðàÔóêñà ñåìåéñòâàáóäåì îáîçíà÷àòü ïðèìèòèâíóþ ôîðìóWσñ ïîìîùüþEσ .Äàëåå ìûω = ω(σ).Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå:ϕ(x, s) := (F (x, s), s).ϕ : C3 × S → C × S,Äëÿ êàæäûõλ ∈ Cès ∈ Säèñêðèìèíàíò îòîáðàæåíèÿìíîæåñòâXλ,säëÿ âñåõïîëîæèìXλ,s := ϕ−1 (λ, s).F : D = {(λ, s) | Xλ,s(λ, s) ∈ (C × S)\Dîñîáî}.Îáîçíà÷èì ÷åðåçD ⊂ C×SÒîãäà îáúåäèíåíèåX0âñåõçàäàåò ãëàäêîå ñëîåíèå, êîòîðîå íàçûâàåòñÿñëîåíèåì Ìèëíîðà.ÑëîèXλ,sìîãóò áûòü êîìïàêòèôèöèðîâàíû ïðèêëåèâàíèåì ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîéEσ .Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ 2ôîðìó:Ω :=Òàêàÿ 2ôîðìà ãîëîìîðôíà íàôîðìàXλ,s ,dx1 ∧ dx2 ∧ dx3.dWσíî èìååò ïðîñòûå ïîëþñà âäîëüresEσ Ω ÿâëÿåòñÿ ôîðìîé Êàëàáèßó ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé Eσ .18Eσ ⊂ X λ,s .Òîãäà 1Áîëåå òîãî, îíà èìååòñòåïåíü íîëü ïîsè, òàêèì îáðàçîì, çàâèñèò òîëüêî îòäëÿ ñåìåéñòâà öèêëîâAσ ∈ H1 (Eσ , Z)31]).s−1 = σ(ñì.