Диссертация (Зеркальная симметрия для простых эллиптических особенностей с действием группы)

Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå àâòîíîìíîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèåâûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿÍàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåòÂûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêèÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÓÄÊ 515.179.2Áàñàëàåâ Àëåêñåé Àíäðååâè÷Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿäëÿ ïðîñòûõ ýëëèïòè÷åñêèõ îñîáåííîñòåéñ äåéñòâèåì ãðóïïû01.01.06 ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, àëãåáðà è òåîðèÿ ÷èñåëÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈßíà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëüäîêòîð ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÑ.Ê.

Ëàíäî.Ìîñêâà, 2016ÎãëàâëåíèåÃëàâà 1.Ââåäåíèå1Ãëàâà 2.Ãèïîòåçû çåðêàëüíîé ñèììåòðèè5Ãëàâà 3.Ãëîáàëüíàÿ çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ äëÿ ïðîñòûõ ýëëèïòè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé17Ãëàâà 4.Òåîðèÿ ÃðîìîâàÂèòòåíà ýëëèïòè÷åñêèõ îðáèôîëäîâ29Ãëàâà 5.Ôðîáåíèóñîâû ñòðóêòóðû îðáèôîëäîâûõ À è Á ìîäåëåé ËàíäàóÃèíçáóðãà43Ãëàâà 6.Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ òèïà CYLG äëÿ îðáèôîëäîâîé ìîäåëè ËàíäàóÃèíçáóðãàÃëàâà 7.Òåîðèÿ ÃðîìîâàÂèòòåíà îðáèôîëäà47P12,2,2,2è ãóðâèöôðîáåíèóñîâûìíîãîîáðàçèÿ59Ãëàâà 8.Çàìåíà ïðèìèòèâíîé ôîðìû îðáèôîëäîâîé ìîäåëè ËàíäàóÃèíçáóðãà73Ãëàâà 9.Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ òèïà LGLG äëÿ ïàðûÁèáëèîãðàôèÿ(Ẽ8 , Z3 )83101ÃËÀÂÀ 1ÂâåäåíèåÀêòóàëüíîñòü òåìû èññëåäîâàíèÿ.Çåðêàëüíàÿñèììåòðèÿ,èäåÿêîòîðîéïðèøëàèçíà÷àëüíîèçôèçèêè,ÿâëÿåòñÿâíàñòîÿùåå âðåìÿ áîëüøèì è èíòåðåñíûì ðàçäåëîì ìàòåìàòèêè.

Îïðåäåëÿåìàÿ èçíà÷àëüíîêàêñîîòâåòñòâèåìåæäóîáúåêòàìèìíîãîîáðàçèÿìè Êàëàáèßó (ñì.[îäíîãî30, 8]),èòîãîæåòèïà,êàêíàïðèìåðäâóìÿâ íàñòîÿùåå âðåìÿ çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿîáîáùåííî ôîðìóëèðóåòñÿ êàê íåêîòîðàÿ ñâÿçü ìåæäó îáúåêòàìè, èìåþùèìè ðàçëè÷íîåïðîèñõîæäåíèå, è ïîðîé îïðåäåëåííûìè ðàçëè÷íî (ñì. [48, 23, 46]).Îäíàêî æå â ëþáîé èç ôîðìóëèðîâîê çåðêàëüíîé ñèììåòðèè âàæíàÿ ðîëü îòâåäåíàòåîðèèîñîáåííîñòåé.Èäåîëîãè÷åñêè,çåðêàëüíàÿñèììåòðèÿÿâëÿåòñÿñîîòâåòñòâèåììåæäó Àìîäåëüþ è Áìîäåëüþ íåêîòîðîé ñóïåðñèììåòðè÷åñêîé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ.8, 49]),Ñîãëàñíî ïîäõîäó ôèçèêîâ (ñì.

[ñåìåéñòâî íàä áàçîéS,ñïåöèàëüíûõ òî÷åês ∈ S.ò.÷.Áìîäåëü äîëæíà ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê íåêîòîðîåçåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ èìååò ìåñòî òîëüêî äëÿ íåêîòîðûõÊàæäàÿ ñïåöèàëüíàÿ òî÷êà çàäàåò ñâîþ ôàçóñóïåðñèììåòðè÷åñêîé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ.N = 2Áìîäåëü â òàêîé òî÷êå äîëæíà áûòüçåðêàëüíî ñèììåòðè÷íîé íåêîòîðîé Àìîäåëè, ïðè÷åì îäíîé è òîé æå ãëîáàëüíîé Áìîäåëè ìîãó ñîîòâåòñòâîâàòü ðàçëè÷íûå Àìîäåëè.Ðóàíà [Ìû áóäåì ñëåäîâàòü ïîäõîäó Êèîäî10], êîòîðûå ïðåäëîæèëè ìàòåìàòè÷åñêè ñòðîãóþ ïðîãðàììó ãëîáàëüíîé çåðêàëüíîéñèììåòðèè ñ Áìîäåëüþ, ïîñòðîåííîé ïî íåêîòîðîé îñîáåííîñòè.

 òàêîì ñëó÷àÿ ãëîáàëüíàÿÁìîäåëü íàçûâàåòñÿ Áìîäåëüþ ËàíäàóÃèíçáóðãà (ñì.47]).[ ôèçèêå ìîãóò èìåòüïðèëîæåíèÿ â ïåðâóþ î÷åðåäü òå ïðèìåðû çåðêàëüíîé ñèììåòðèè, â êîòîðûõ ÀìîäåëüçàäàåòñÿòåîðèåéÃðîìîâàÂèòòåíàíåêîòîðîãîìíîãîîáðàçèÿÊàëàáèßó.Çåðêàëüíàÿñèììåòðèÿ òàêîãî òèïà íàçûâàåòñÿ êðàòêî çåðêàëüíîé ñèììåòðèé òèïà CYLG.Ïîñëåäíèå èññëåäîâàíèÿ â ôèçèêå ïðåäïîëàãàþò áîëåå îáùåå ïîíèìàíèå ÁìîäåëåéËàíäàóÃèíçáóðãà, ó÷èòûâàþùåå òàêæå èõ ãðóïïó ñèììåòðèé (ñì. [20]).Òàêèå Áìîäåëèíàçûâàþòñÿ îðáèôîëäîâûìè. Îäíàêî æå (ìàòåìàòè÷åñêîå) îïðåäåëåíèå îðáèôîëäîâûõ Áìîäåëåé ÿâëÿåòñÿ îòêðûòîé ïðîáëåìîé.Ñòåïåíü ðàçðàáîòàííîñòè òåìû èññëåäîâàíèÿ. ñëó÷àå ïðîñòûõ ýëëèïòè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ òèïà CYLG áûëà43, 34, 35, 27].ïðåäúÿâëåíà â [Äðóãèì òèïîì çåðêàëüíîé ñèììåòðèè, óñòàíîâëåííûì â1òåõ æå ñòàòüÿõ, ÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ òèïà ËàíäàóÃèíçáóðã ËàíäàóÃèíçáóðã.

Äëÿ ïàðûèG(W, G),ãäå ìíîãî÷ëåíWçàäàåò èçîëèðîâàííóþ îñîáåííîñòü, åãî ãðóïïà ñèììåòðèé, Àìîäåëü ËàíäàóÃèíçáóðãà áûëà ïîñòðîåíà â [16].Àìîäåëè òàêîãî òèïà èçâåñòíû â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïîä èìåíåì òåîðèé Ôàí-Äæàðâèñ-ÐóàíÂèòòåí (ñîêðàùåííî FJRW).  îòëè÷èå îò Áìîäåëåé, êîòîðûå ñòðîÿòñÿ ñ ïîìîùüþ òåîðèèîñîáåííîñòåé, òåîðèè FJRW íå ÿâëÿþòñÿ ãëîáàëüíûìè è äàæå èõ ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèéîïðåäåëÿåòñÿ îòëè÷íûì îáðàçîì.Ðàáîòàïîïîñòðîåíèþîðáèôîëäîâûõôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ è Ì.

Êðàâèòöîì â [ÁìîäåëåéâåëàñüÐ.Êàóôìàíîì26] ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ.â24][ñÎäíàêî æåëèøü ïåðâûå øàãè ïî íàïðàâëåíèþ ê çåðêàëüíîé ñèììåòðèè áûëè ñäåëàíû â ýòèõ ðàáîòàõ.Ñîâåðøåííî èíîé ïîäõîä, ïðèâåäøèé, âïðî÷åì, ê òåì æå çåðêàëüíûì ãèïîòåçàì, ÷òî áûëèñôîðìóëèðîâàíû Êàóôìàíîì ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, áûë ïðåäëîæåí Â. Ýáåëèíãîì èÀ. Òàêàõàøè â [15].Öåëè è çàäà÷è äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû.Îñíîâíîé öåëüþ äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå ãëîáàëüíîé çåðêàëüíîé ñèììåòðèè äëÿîðáèôîëäîâûõ ìîäåëåé ËàíäàóÃèíçáóðãà.Íàó÷íàÿ íîâèçíà.Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ÿâëÿþòñÿ íîâûìè. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè âêëþ÷àþòñëåäóþùèå:(1) ÀêñèîìàòèçàöèÿôðîáåíèóñîâàìíîãîîáðàçèÿîðáèôîëäîâûõÀèÁìîäåëåéËàíäàóÃèíçáóðãà,(2) Òåîðåìà î åäèíñòâåííîñòè ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ, óäîâëåòâîðÿþùåãî àêñèîìàìîðáèôîëäîâîé Áìîäåëè ËàíäàóÃèíçáóðãà ïàðû(Ẽ8 , Z3 )(3) Òåîðåìà î çåðêàëüíîé ñèììåòðèè òèïà CYLG äëÿ ïàðû(Ẽ8 , Z3 ),(4) Òåîðåìà î çåðêàëüíîé ñèììåòðèè òèïà LGLG äëÿ ïàðû(Ẽ8 , Z3 ).Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü.Ïðåäëîæåííàÿ â äàííîé äèññåðòàöèè àêñèîìàòèçàöèÿ îðáèôîëäîâûõ À è Áìîäåëåé,ïîäêðåïëåííàÿ äîêàçàííûìè ïðèìåðàìè çåðêàëüíîé ñèììåòðèè äëÿ ïàðûáûòüèñïîëüçîâàíàôîðìóëèðîâêå.äëÿäîêàçàòåëüñòâàãèïîòåçûçåðêàëüíîé(Ẽ8 , Z3 ),ñèììåòðèèâååìîæåòïîëíîéÒàêæå ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû èìåþò áîëüøóþ öåííîñòü äëÿ ïîñòðîåíèÿýêâèâàðèàíòíîé òåîðèè ïëîñêèõ ñòðóêòóð Ñàèòî, íå ñóùåñòâóþùåé ïî íàñòîÿùåå âðåìÿ.Ìåòîäîëîãèÿ è ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñäåëàòü ñîîòâåòñòâèå çåðêàëüíîé ñèììåòðèè ìàòåìàòè÷åñêè ñòðîãèì,ìûáóäåìðàññìàòðèâàòüÀìîäåëèèÁìîäåëèâîáùåìêëàññåôðîáåíèóñîâûõìíîãîîáðàçèé, êîòîðûå áûëè ïðåäëîæåíû è äåòàëüíî èçó÷åííû Á.À.

Äóáðîâèíûì.  ðàçíûõ2ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ àâòîðîì èñïîëüçóþòñÿ òåîðèÿ ìîäóëÿðíûõ ôîðì è ýëëèïòè÷åñêèõêðèâûõ, òåîðèÿ ÷èñåë è àñïåêòû àëãåáðàè÷åñêîé íåçàâèñèìîñòè, à òàêæå êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿîñîáåííîñòåé.Ñòåïåíü äîñòîâåðíîñòè è àïðîáàöèÿ ðåçóëüòàòîâ.Îñíîâíûåðåçóëüòàòûäèññåðòàöèèäîêëàäûâàëèñüíàñëåäóþùèõêîíôåðåíöèÿõèñåìèíàðàõ:•4th Workshop on Combinatorics of moduli spaces, cluster algebras and topological recursion, ã. Ìîñêâà, 2631 Ìàÿ 2014 ã.,•Symposium on singularities and their topology, ã. Ãàííîâåð, 1417 Èþëÿ 2014 ã.,•Íàó÷íîèññëåäîâàòåëüñêèéñåìèíàðGeometryandMathematicalPhysics,óíèâåðñèòåò ã.

Àìñòåðäàì, 9 Äåêàáðÿ 2014 ã.,•Oberwolfach Workshop Mirror Symmetry, Hodge Theory and Dierential Equations,Îáåðâîëüôàõ, 1925 Àïðåëÿ 2015 ã.,•Íàó÷íîèññëåäîâàòåëüñêèéñåìèíàðÕàðàêòåðèñòè÷åñêèåïåðåñå÷åíèé, ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêè ÂØÝ, 20152014 ãã..3êëàññûèòåîðèÿÃËÀÂÀ 2Ãèïîòåçû çåðêàëüíîé ñèììåòðèèÄëÿ òîãî, ÷òîáû ñäåëàòü ñîîòâåòñòâèå çåðêàëüíîé ñèììåòðèè ìàòåìàòè÷åñêè ñòðîãèì,ìû äîëæíû ðàññìàòðèâàòü Àìîäåëè è Áìîäåëè êàê ýëåìåíòû íåêîòîðîãî îáùåãî êëàññà.Òàêèì êëàññîì ÿâëÿþòñÿ ôðîáåíèóñîâû ìíîãîîáðàçèÿ, ïðåäëîæåííûå è äåòàëüíî èçó÷åííûåÁ.À.

Äóáðîâèíûì. ïîëíîé îáú¼ìå òåîðèÿ ôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé èçëîæåíà â11, 12, 19, 32],êëàññè÷åñêèõ êíèãàõ [40],ñòàòüå Ê.Ñàèòî [ñì.òàêæå å¼ ñîâðåìåííîå41].ïåðåîñìûñëåíèå â [Ôðîáåíèóñîâû ìíîãîîáðàçèÿ.äëÿ âñåõ òî÷åêp ∈ MÏóñòüM íåêîòîðàÿ îòêðûòàÿ îáëàñòü âíà êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâåíåâûðîæäåííàÿ áèëèíåéíàÿ ôîðìàTp MêMâ òî÷êåpCn .Ïóñòüîïðåäåëåíàηp ,ηp : Tp M × Tp M → C.ÏóñòüTp Mt1 , . . . , t n íåêîòîðûå êîîðäèíàòû íàâ êàæäîé òî÷êåp ∈ M;M.Âåêòîðàηijîáîçíà÷èì ÷åðåç∂/∂tiîáðàçóþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâàêîìïîíåíòû áèëèíåéíîé ôîðìûηâ ýòîìáàçèñå.Ðàññìîòðèì êîìïëåêñíîçíà÷íóþ ôóíêöèþïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿôóíêöèÿX(2.1)p,qη ij :=PÏóñòüEp,qM. äàëüíåéøåì áóäåìåñëè äëÿ êàæäûõ4 ôèêñèðîâàííûõ èíäåêñîâñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîX ∂ 3F∂ 3F∂ 3F∂ 3Fη pq=η pq,∂ti ∂tj ∂tp∂tq ∂tk ∂tl∂ti ∂tk ∂tp∂tq ∂tj ∂tlp,qηpq δ pi δ qj .M , çàäàííîå â êîîðäèíàòàõ ñëåäóþùèì îáðàçîì:n X∂∂E :=dk tk+ rk, dk , rk ∈ Q;∂t∂tkkk=1 íåêîòîðîå âåêòîðíîå ïîëå íàçäåñü ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òîrk 6= 0òîëüêî åñëèýéëåðîâûì ïîëåì.

Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðíîìó ïîëþ(2.2)íàïðåäñòàâëåíà ñõîäÿùèìñÿ ðÿäîì ïî t1 , . . . , tn . Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òîF(t) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ WDVVi, j, k, l, 1 ≤ i, j, k, l ≤ nãäåFF = F(t1 , . . . , tn )E,dk = 0.FÝòî âåêòîðíîå ïîëå íàçûâàåòñÿèìååò êîíôîðìíóþ ðàçìåðíîñòüåñëè âåðíî ñëåäóþùåå:E · F = (3 − d)F +êâàäðàòè÷íûå ÷ëåíû.5d∈QÏóñòü òàêæå äëÿ âñÿêèõ äâóõ èíäåêñîâi, jâåðíî:∂ 3F.∂t1 ∂ti ∂tjηij =Îïðåäåëåíèå. ÔóíêöèÿF , óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïðèâåäåííûì âûøå óñëîâèÿì, íàçûâàåòñÿôðîáåíèóñîâûì ïîòåíöèàëîì êîíôîðìíîé ðàçìåðíîñòèFÑ ïîìîùüþ ôóíêöèèàëãåáðû.Ïóñòückij (t) :=p cijp (Pckij (t)d.îïðåäåëèì íà êàñàòåëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû óìíîæåíèÿTp Mñòðóêòóðó◦ : Tp M × Tp M → Tp M ,ò.÷.t)η pk , ãäåcijk (t) :=Ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòûckij (t)∂ 3F,∂ti ∂tj ∂tk1 ≤ i, j, k ≤ n.îïðåäåëÿþò êîììóòàòèâíîå óìíîæåíèå ïî ïîñòðîåíèþ, â òîâðåìÿ êàê àññîöèàòèâíîñòü àëãåáðû ñ òàêèì óìíîæåíèåì ýêâèâàëåíòíà òîìó, ÷òî ôóíêöèÿF(t)óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ WDVV.Áèëèíåéíàÿ ôîðìàηâìåñòå ñ óìíîæåíèåìíà êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå êηÎïðåäåëåíèå.ñòðóêòóðóÍàáîðnìåðíîãîðàçìåðíîñòüþM◦çàäàþò ñòðóêòóðó ôðîáåíèóñîâîé àëãåáðûâ êàæäîé òî÷êå∂∂ ∂◦,∂ti ∂tj ∂tkη , ◦,=ηïîñòðîåííûép ∈ M:∂∂ ∂,◦∂ti ∂tj ∂tkïîMÊàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî êàêîîðäèíàòûtâ íà÷àëå êîîðäèíàò.ôðîáåíèóñîâóôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ íàìíîãîîáðàçèÿ,M.×èñëîMíàdïîòåíöèàëóFçàäàåòíàçûâàåòñÿ êîíôîðìíîéïëîñêèìèêîîðäèíàòàìè.t íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì ñîñòîÿíèéôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ.Èíîãäàìûèìååìóäîâëåòâîðÿþùóþòîëüêîóðàâíåíèþíåêîòîðîìó ýéëåðîâó ïîëþM.E,ëèøüWDVVôóíêöèþèóñëîâèþF,çàäàþùóþêâàçèîäíîðîäíîñòèïëîñêóþïîìåòðèêó,îòíîøåíèþêíî áåç ñâîéñòâà àíàëèòè÷íîñòè è áåç ÿâíîãî ïðîñòðàíñòâà òàêèõ ñëó÷àÿõ ôóíêöèÿFìîæåò âñå ðàâíî îïðåäåëÿòü ñòðóêòóðó ôðîáåíèóñîâàìíîãîîáðàçèÿ (èëè æå ðîñòîê), êîòîðóþ ìû áóäåì íàçûâàòü ôîðìàëüíîé.

Ïðèìåðû òàêèõôðîáåíèóñîâûõìíîãîîáðàçèéâîçíèêàþò,íàïðèìåð,èçòåîðèéÃðîìîâàÂèòòåíà,äëÿêîòîðûõ àíàëèòè÷íîñòü ïîòåíöèàëà ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì âîïðîñîì.Îáîçíà÷åíèå 2.1. Ñòðóêòóðà àëãåáðû íàckij |t=0 ,Tp M , çàäàííàÿ ñòðóêòóðíûìè êîíñòàíòàìèíàçûâàåòñÿ ôðîáåíèóñîâîé àëãåáðîé â íóëå è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåçóêàçàíèå íà òî÷êóp ∈ MT M |t=0ìîæåò áûòü îïóùåíî, åñëè ìû ïîëàãàåì, ÷òîêîîðäèíàòàìè â îêðåñòíîñòè òî÷êèp).6t(ãäåÿâëÿþòñÿÑèììåòðèè óðàâíåíèÿ WDVV. Ïóñòü ôóíêöèÿWDVV. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿC ∈ GL(n, C)F(t)ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿt̃ = C t,è çàìåíû ïåðåìåííûõôóíêöèÿF(t̃)òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ WDVV.

Òàêèå çàìåíû ïåðåìåííûõ ìû áóäåì íàçûâàòüñèììåòðèÿìè óðàâíåíèÿ WDVV.Ðàññìîòðèì äâà ôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèÿ, ïîòåíöèàëû êîòîðûõ ñâÿçàíû ñèììåòðèåéóðàâíåíèÿWDVV.6∈ O(n, C)CÄëÿñïàðèâàíèå,ñîâïàäàåò ñî ñïàðèâàíèåì, îïðåäåëåííûì ïîòåíöèàëîìîïðåäåëåííîåF(t̃),ôóíêöèåéíåF(t), è äâå ôðîáåíèóñîâû ñòðóêòóðûðàçëè÷àþòñÿ!  äàëüíåéøåì ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèå èçîìîðôèçìà ôðîáåíèóñîâûõìíîãîîáðàçèé ñ òî÷êè çðåíèÿ ñèììåòðèé óðàâíåíèÿ WDVV.Îïðåäåëåíèå. Äâà ôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèÿèõ ïîòåíöèàëûF(t)èF 0 (t̃)MèM0íàçîâåì èçîìîðôíûìè, åñëèñâÿçàíû ëèíåéíîé çàìåíîé ïåðåìåííûõt̃ = C t ñ C ∈ O(n, C):F(t) = F 0 (C t).Çàìåòèì,÷òî ñèììåòðèè óðàâíåíèÿ WDVV íå ñâîäÿòñÿ ê òåì,êîòîðûå çàäàþòñÿ11]).ëèíåéíûìè çàìåíàìè ïåðåìåííûõ (ñì.