Диссертация (Ординальные модели систем пропорционального представительства), страница 11

Припропорциональном определении бюллетеней для перераспределенияметод Грегори также в этом примере будет нарушать аксиому 1.Включающий метод Грегори тоже нарушает аксиому 1, но взвешенныйвключающий метод Грегори дополненный пересчетом квоты на каждомшаге будет удовлетворять аксиоме 1.Метод Грегори со случайным отбором бюллетеней для передачиудовлетворяет свойству независимости от последующих предпочтений(аксиома 2), так как изменение профиля предпочтений никак неповлияет на вероятности выбора выигрывающей коалиции. Аналогично,вероятностныевариантыусложненныхметодовГрегорибудутудовлетворять аксиоме 2.Метод Грегори с пропорциональным отбором бюллетеней дляпередачи не удовлетворяет свойству независимости от последующихпредпочтений (аксиома 2).

Рассмотрим следующий пример. Пусть,количество избирателей и мест таково, что квота равна 6. В таблице 19приведена ситуация на первом этапе голосования относительнопредпочтений избирателей голосующих за кандидата a. Остальныеголоса таковы, что кандидат a набирает максимум голосов.Таблица 19 – Выбор выигрывающей коалицииПервые предпочтенияВторые предпочтенияГолоса за кандидата a12345678aaaaaaaaccccddddОстальные голоса……Вторые предпочтения (относительно кандидатов c и d) ещё неучтены процедурой. Процедура выбирает выигрывающую коалицию из786 некоторых бюллетеней, составляющих квоту (голоса {1, 2, 3, 6, 7, 8},выделены подчеркиванием), пропорционально вторым предпочтениям.Так как бюллетеней, в которых на вторых местах стоят кандидаты c и d,соответственно, равное количество, то и в коалиции они должны бытьпредставлены поровну.

Пример такой коалиции представлен в таблице19. Голоса 4 и 5, передаются соответственно кандидатам c и d. Но если вэтих бюллетенях поменять вторые предпочтения, то в предыдущейкоалиции распределение вторых мест не пропорционально, что можноувидеть из таблицы 20.Таблица 20 – Изменение вторых предпочтенийПервые предпочтенияВторые предпочтенияГолоса за кандидата a12345678aaaaaaaadcccсdddОстальные голоса……После изменения вторых предпочтений выигрывающая коалициядолжна измениться, что отражено в таблице 21. Это демонстрируетнарушение аксиомы 2.Таблица 21 – Выбор выигрывающей коалицииПервые предпочтенияВторые предпочтенияГолоса за кандидата a12345678aaaaaaaadcccсdddОстальные голоса……Аналогичные рассуждения верны и для усложненных методовГрегори, так как на первом этапе они не различаются.3.2 Случай дробных голосовРассмотрим пример, в котором у выигравшего кандидата есть 4голоса в свою поддержку. Один из этих бюллетеней составляет излишеки должен быть передан последующим кандидатам.

Можно сделать этосовершенно пропорционально, передав четверть каждого голоса, можно79предать половину бюллетеня№1иполовину бюллетеня№2.Естественно, существует бесконечное множество способов выборабюллетеня для передачи. Таким образом, случай дробных голосовобобщает подход с неделимыми голосами.3.2.1 ФормализацияПри голосовании каждый избиратель имеет по одному голосу.Далее при передаче голосов необходимо выбрать некоторое количествобюллетеней, но в принципе можно передавать не целые голоса, аразделять каждый голос или некоторые из них между кандидатами. Еслипозволить передавать дробное число голосов, то можно расширитьмножество методов, реализующих правило передачи голосов.Оставшиеся голоса на i этапе будут обозначаться векторомvi  vi1 ,...,vin  , где 0  vi  1 .

Единица обозначает ‘полный’ голос,v0  1,...,1.Характеристическийwij  wij1 ,...,wijn  ,гдевекторwijk  0,1коалиции0  wijk  1.—Единицаэтовекторобозначаетпринадлежность к коалиции k-того избирателя на этапе i за j-тогокандидата, кроме того, если vik  0 , то и wijk  0 .Пустьwijmax— максимальная коалиция, т.е. все остальныеизбиратели голосуют за других кандидатов.Коалиция будет выигрывающей, если число голосов (скалярноепроизведение указанных векторов) будет равно квотеvi  wij  qn, s  .Описание процедуры правила передачи голосов.80(26)Вначалепроцедурыопределяетсяквота.Квотаможет n определяться, как и в случае с целыми голосами, как, q0   1 но s  1 n может определяться как q0    , где   0 — произвольное s  1малое число.

Кроме того, на нулевом этапеi : 0 , E0 : Ø.Этап i  0 .а) Если существует выигрывающая коалиция wij для некоторогокандидатаc j , то кандидатc j , поддержанный этой коалицией,объявляется избранным. ТогдаEi 1 : Ei  c j .Если Ei 1  s , тоvi 1,k : vik  1  wijk  ,Ci 1 : Ci \ c j ,i : i  1,переход к началу нового этапа,иначе процедура передачи голосов заканчивается.б) Если выигрывающей коалиции не существует, то алгоритмпродолжается следующим образом.Если s  Ei  Ci , то все кандидаты объявляются избраннымиEi 1 : Ei  Ci и процедура завершается. В противном случае, т.е. еслиs  Ei  C iкандидатc j  Ciснаименьшимпроигравшим иEi 1 : Ei ,81vi  wijmax объявляетсяvi 1 : vi ,Ci 1 : Ci \ c j ,i : i  1,переход к началу нового этапа.3.2.2 Теорема о представленииКроме равновероятного метода аксиомам 1, 2, 3 удовлетворяетвзвешенный включающий метод Грегори с пересчетом квоты (есликвотаопределяетсятакжекаквслучаесцелымиголосамиViqi    1 , то она изменится не более чем на 1, если какsE1iViqi     , то не более чем на   0 ) распределяющий излишекsE1iравномерно, т.е.

распределяющий равную долю каждого голоса.Взвешенный включающий метод Грегори распределяет равные доликаждого голоса, а именно из каждого голоса полного или неполногооставляет в выигрывающей коалиции ту часть k-того голоса, которуюсоставляет доля квоты во всей выигрывающей коалицииwijk qimaxijw vi(27)Такая постановка определяет включенность в коалицию внезависимости от последующих предпочтений (аксиома 2) и не зависит отэтапа (аксиома 1). Учет всех избирателей в равной доле создаетанонимную процедуру (аксиома 3).Теорема 5. В постановке с дробными голосами существует метод,удовлетворяющий аксиомам 1-3, но не удовлетворяющий аксиоме 4.82Доказательство.

Построим этот метод. Метод будет различные условиядля победы некоторого кандидата x и любого другого кандидата.Все выигрывающие коалиции описываются формулой (26) приусловии, что wijk  wijkmax . Если побеждает кандидат x, то будем выбиратьвыигрывающую коалицию равновероятно из множества всех возможныхвыигрывающих коалиций. Если побеждает любой другой кандидат, тобудем определять выигрывающую коалицию по формуле (27), т.е.передавать равные доли каждого голоса.Решение по этому методу явно зависит от имени кандидатов, чтонарушает аксиому 4. При пересчете квоты на каждой итерации поформуле (24) этот метод будет удовлетворять аксиоме 1.

При любомпобедившем кандидате выбор не зависит от имён избирателей ипоследующих предпочтений, т.е. удовлетворяет аксиомам 2 и 3. Такимобразом, построен метод, удовлетворяющий аксиомам 1, 2, 3, нонарушающий аксиому 4. ■Требование выполнения всех аксиом 1-4 образует класс методов,комбинирующих равновероятное распределение и передачу равныхдолей, независимо ни от чего или в зависимости от распределенияголосов в первых предпочтениях.Метод Мика [90, 91], как и другие методы, построенные на егооснове, не подпадают под описанную в данном разделе формализациюправила передачи голосов, так как основными принципами работы этихметодов являются передача голосов уже победившим кандидатам,уменьшение квоты из-за непередаваемых голосов с соответствующимпересчетом голосов уже победивших кандидатов, то есть постоянноеизменение выигрывающих коалиций уже победивших кандидатов.Метод Мика в силу своей сложности не получает распространения и в83настоящее время используется только на выборах в Новой Зеландии[114].3.3 ВыводыВ главе построено обобщение различных методов, реализующихправило передачи голосов на практике, в виде формальной процедуры.Существующие методы можно рассматривать как частные случаи этойпроцедуры.

Аксиоматика этих методов по своей сути не устанавливаетни одной из компонент определения победителей – ни имен кандидатов,ни имен избирателей, ни имен коалиций, ни номера итерации. Это снеобходимостью приводит к случайному отбору коалиций на каждомшаге, что и отражено в теореме 4.Предложен новый метод, основанный на правиле передачиголосов, и построено его аксиоматическое описание. Этот метод названвзвешенным включающим методом Грегори, дополненным пересчетомквоты на каждом этапе, с передачей голосов с равной вероятностью,либо с передачей равных долей голосов, если процедура позволяетпередавать дробное число голосов.

Произведено аксиоматическоеобоснование данного метода.Несмотря на «локальный» характер аксиомы независимости отпоследующих предпочтений, пересчет квоты не вносит существенныхизменений в процедуру, причем значение квоты практически неизменяется. По теореме 3 квота за всю процедуру подсчета можетизмениться не более чем на 1 в сторону уменьшения.

Оказывается, чтоесли квота не пересчитывается, то реализация процедуры на шаге iотличается от реализации на нулевом шаге. Иначе говоря, процедура взависимости от номера итерации «работает» по-разному. Именножелание избежать этой «зависимости от пути» привело к формулировкеаксиомы «независимости от предыстории».84Отметим, что пересчет квоты в реальных выборах с большимколичеством избирателей не сыграет существенной роли, но, очевидно,увеличит прозрачность процедуры, так как сотрет различия междупервым и последующими этапами подсчета голосов.85Глава4.Теоретико-игровоепредставлениезадачипропорционального представительстваНа выборах в совет директоров акционерной компании стоитзадача определения среди кандидатов заранее известного числапобедителей, которые потом станут членами совета.

Таким образом,возникает проблема пропорционального представительства. Суть еёзаключается в том, чтобы структура совета директоров соответствоваластруктуре владения акционерным капиталом компании, т.е. основныеигрокидолжныбытьпредставленывсоветепропорциональноколичеству их акций.Совет директоров акционерного общества осуществляет общееруководство деятельностью общества. Чтобы представлять интересывсех акционеров совет директоров избирается на общем собранииакционеровипроцедуравыборовзафиксированавстатье66Федерального закона «Об акционерных обществах» от 26.12.1995 г.

№208-ФЗ[26].Согласнопункту3статьи66данногозаконаколичественный состав совета директоров (наблюдательного совета)общества определяется уставом общества или решением общегособрания акционеров, но не может быть менее чем пять членов.Согласно пункту 4 той же статьи выборы членов совета директоров(наблюдательного совета) общества осуществляются кумулятивнымголосованием.Прикумулятивномголосованиичислоголосов,принадлежащих каждому акционеру, умножается на число лиц, которыедолжны быть избраны в совет директоров (наблюдательный совет)общества, и акционер вправе отдать полученные таким образом голосаполностью за одного кандидата или распределить их между двумя иболее кандидатами.86Выборы в совет директоров представляют интерес, потому что ониотличаютсяотпредставительства,фундаментальноеклассическойширокозадачипропорциональногорассмотреннойисследованиезадачивлитературе:пропорциональногораспределения мест в Палате Представителей США проведено в [43],различныеметодыпропорциональногопредставительстватакжерассмотрены в [3].