Диссертация (Ординальные модели систем пропорционального представительства), страница 12

Основное отличие этой задачи состоит в том, чтовладельцы пакетов акций могут делить свои голоса между кандидатами.Этим они могут выразить свою степень предпочтения междукандидатами, в то время как на обычных выборах избиратель можетуказать только наилучшего для себя кандидата.Более широкие возможности для отражения своих предпочтениймогут повлечь и более широкие возможности для стратегическихдействий.

В данной работе под стратегическими действиями понимаетсяне демонстрация неискренних предпочтений, как иногда предполагаетсяв литературе, а различные варианты использования своих голосов.Участники голосования выбирают не только за кого проголосовать, но икакую часть голосов отдать за того или иного кандидата. При этомразличные варианты голосования могут соответствовать одним и тем жепредпочтениям. Например, как стратегия «делить голоса между двумякандидатами»,такистратегия«делитьголосамеждутремякандидатами» может не противоречить стремлению иметь как можнобольше мест в совете директоров. Какая из стратегий будет болееуспешной, зависит от выбора стратегии другим игроком.

Исследованиюэтого вопроса и посвящена данная глава.В данной главе проведен анализ стратегического голосования приголосовании пакетами акций на выборах совета директоров акционернойкомпании. Первый раздел описывает теоретико-игровую модель, а вовтором разделе модель используется при расчете на реальных данных87стратегий голосования основных акционеров крупной компании, третийраздел, содержащий выводы, завершает главу.4.1 Формальная модель и основные результатыN кандидатов борются за право занять место в совете директоровкомпании.

Определяются S (N>S) победителей. Каждый из Mизбирателей (акционеров) имеет голоса vi , i  1, M , которые можетделить между кандидатами. В модели голоса бесконечно делимы. Напрактике бывают некоторые ограничения, но при большом количествеакций это предположение достаточно правдоподобно.Голосование происходит одновременно, то есть никто не должензнать предварительного итога, несмотря на то, что на практикераспространено голосование по почте и эти заявки могут быть внесеныдо начала собрания акционеров.Первые S кандидатов, набравшие наибольшее число голосов,объявляются победителями.Рассмотрим голосование при наличии крупных игроков, которыесвоими действиями влияют на итог голосования.

Они хотят провести всовет директоров как можно больше «своих» представителей. ПустьCi — множество кандидатов игрока i, аEi  Ci— множествокандидатов игрока i, которые выбраны в совет директоров. Если всегоголосов V, то для того, чтобы гарантированно провести одногокандидата, необходимо набратьV 1.S 1Этоминимальноеколичество(28)голосов,которыенемогутодновременно набрать S+1 кандидатов. Если не все избирателиучаствовали в голосовании, эта величина становится несколько ниже, но88до конца голосования эта величина не известна. Будем считать, что всеигроки участвуют в голосовании. У каждого из игроков достаточно«своих» кандидатов, чтобы заполнить совет директоров.Множествомстратегийявляетсямножествораспределенийголосов между всеми возможными кандидатами X i   xi :  xij vi  ,jX i  R N .

Выигрыш игроков — число представителей в советедиректоров  i xi , xi   si , si  Ei ,si S . Множество наилучшихiответов на профиль стратегий других игроков обозначим какbi xi   X i .Эта игра отражает проблему стратегического распределенияресурсов, но отличается от игры Блотто, широко исследованной вданной области [68]. По аналогии с игрой Блотто можно рассматриватькаждое место в совете директоров как отдельное поле «сражений», ноосновное отличие игры, рассмотренной в данной главе, в том, что всовете директоров нет места №1 или №2, акционеры сталкиваются наобщем поле «сражений», где определяются с S победителями.Приведем пример, в котором Игрок 1 имеет 120 голосов, а игрок 2– 100 голосов. Игроки борются за 7 мест в совете директоров.

ЕслиИгрок 1 разделил голоса между пятью кандидатами, т.е. проголосовал(24, 24, 24, 24, 24), то одним из наилучших ответов Игрока 2 будетразделение голосов между четырьмя кандидатами (25, 25,25, 25), чтоприведет к избранию четырёх кандидатов Игрока 2; избрания более 4-хкандидатов при данной стратегии Игрока 1 Игрок 2 добиться не может.Покажем, что если некоторая стратегия x i является наилучшим, тостратегияразделенияголосовпоровнумеждукандидатами является также наилучшим ответом.89победившимиТеорема 6.

Если для некоторого xi  xi1 ...xin   bi xi ,  i xi , xi   si , то, vi , если j  Ei, Ei  s i .xi '  xi1 '...xin '  bi xi  , где xij '   si 0, если j  EiДоказательство. Рассмотрим некоторый наилучший ответ xi  bi xi  ,при котором игрок получает si представителей. Если он при даннойстратегии отдавал голоса более чем si кандидатам, то стратегия отдатьэти голоса прошедшим si кандидатам будет тоже наилучшим ответом,таккакприэтомколичествопредставителейне уменьшится.Минимальное количество голосов, отданное за прошедшего в советдиректоров кандидата — min min xij , а min xij – минимальное количествоijEijEiголосов, отданных игроком i за выигравшего кандидата, котороеоказалось достаточным для прохождения в совет директоров.

Так какvi minxij , то при стратегии xi '  xi1 '...xin ' тоже будет избрано sijEsiiкандидатов. ■Покажем, что стратегия, когда каждый игрок делит свои голосапоровнумеждунекоторымколичествомкандидатов,являетсяравновесной по Нэшу при выборе оптимального количества кандидатов,за которых надо голосовать.Теорема 7. Если существует некоторое равновесие по Нэшу x1 ,...,xm  сраспределением местs ,...,s ,1mто существует равновесие по Нэшу vi, если j  Eix1 ' ,...,xm ' , при котором xij '   si, где Ei  si . 0, если j  EiДоказательство. Рассмотрим некоторое равновесие по Нэшу, в которомигроки выбирают стратегииmin min xijijEi—x ,...,x ,минимальное1mполучая выигрышиколичество90голосов,s ,...,s .1отданноеmзапрошедшего в совет директоров кандидата.

Количество голосовmin x1 j  min min xij оказалось достаточно для Игрока 1, чтобы получитьjE1jEiiместо и при любом индивидуальном отклонении остальных игроков v1 , если j  E1сохранить его. По теореме 6 x1 ' b1 x1  , где x1 j '   s1.

Так 0, если j  E1какvimin xij не уменьшилось и индивидуальное minxij , то minijEjEsiiiотклонение остальных игроков не приведет к увеличению их выигрыша,так как в равновесии x1 ,...,xm  остальные игроки при отклонении ненабирали min min xij . Следовательно, x1 ' , x2 ..., xm  будет равновесием поijEiНэшу с выигрышами s1 ,...,sm . Аналогично рассуждая, получим, чтоx ' ,...,x ' будет равновесием по Нэшу с выигрышами s ,...,s .■11mmПри этом равновесий может быть несколько.

Приведем пример, вкотором Игрок 1 имеет 120 голосов, а игрок 2 – 48 голосов. Игрокиборются за 7 мест в совете директоров. Так как среди оптимальныхответов есть стратегии разделения голосов поровну между несколькимикандидатами, то для нахождения равновесия рассмотрим толькостратегии деления голосов поровну между некоторым количествомкандидатов.(Игрок1можетгарантированнополучить5мест120  48 1  22 — число голосов, гарантирующее одно место),7 1поэтому стратегия разделения голосов между четырьмя кандидатамибудет строго доминироваться. Рассмотрим следующие стратегии Игрока1: разделить голоса между 5, 6, 7 кандидатами. Так как Игрок 2 можетгарантированно получить два места, то в качестве возможных успешныхстратегий рассмотрим следующие стратегии: разделение голосов междудвумя и между тремя кандидатами.91Таблица 22 – Матрица игрыИ1 \ И22 кандидата3 кандидата5 кандидатов(5,2) NE(5,2)6 кандидатов(5,2) NE(6,1)7 кандидатов(5,2) NE(7,0)NE обозначает равновесие по НэшуПо сути, это антагонистическая игра двух игроков, в которой вчистых стратегиях найден гарантированный выигрыш.

Имеется триравновесия Нэша (среди стратегий с делением голосов поровну междунекоторым количеством кандидатов):1. Стратегия Игрока 1 — (24, 24, 24, 24, 24), стратегия Игрока 2 —(24, 24);2. Стратегия Игрока 1 — (20, 20, 20, 20, 20, 20), стратегия Игрока 2— (24, 24);3.

Стратегия Игрока 1 — (17.1, 17.1, 17.1, 17.1, 17.1, 17.1, 17.1,),стратегия Игрока 2 — (24, 24).Покажем, что равновесное распределение мест единственно инаходится с помощью метода д’Ондта распределения мест в задачепропорционального представительства (метод д’Ондта описан в разделе1.1.2).Теорема 8. Распределение мест, полученное с помощью метода д’Ондтаsd1,...,smd  — единственное равновесное по Нэшу распределение мест,при этом равновесие образуется профилем стратегийxd1,...,xmd , где vid d , если j  Eiпри Eid  sid .x   sid 0, если j  EidijДоказательство. Покажем, что x1d ,...,xmd  образует равновесие по Нэшу.Единственным возможным отклонением, которое потенциально может92принести выгоду игроку, это разделение голосов междуsid  1кандидатами. Так как S  sid мест достаются кандидатам, за которыхотдано более чем q d голосов, где и q d — квота, посчитанная методомд’Ондта (см.

раздел 1.1.2), тоvividи отклонение не принесетqsidsid  1дополнительного места.Покажем, что другое распределение мест не может бытьравновесным.s1Рассмотримнекотороераспределениемест' ,...,sm '  s1d ,...,smd  . По теореме 7 такое распределение может бытьравновесным, если поддерживается профилем стратегий x1 ' ,...,xm ' , где vi , если j  Ei 'xij '   si ' 0, если j  Ei 'приEi '  s i ' .Таккакнайдетсяигрок,получивший больше, чем в распределении, найденном методом д’Ондта,то minivi q d . Рассмотрим игрока h, для которого s h '  s hd .