Диссертация (Ординальные модели систем пропорционального представительства), страница 10

Максимальнаякоалиция за кандидата c j на этапе подсчета i определяется следующимобразом max c j ,Vi , Ci    max c j ,Vi 1 , Ci 1    max Ci 1 \ Ci ,Vi 1 , Ci 1  ,(21)если нет выигрывающей коалиции, и max c j ,Vi , Ci    max c j ,Vi 1 , Ci 1    max Ci 1 \ Ci ,Vi 1 , Ci 1  \  Ci 1 \ Ci ,Vi 1 , Ci 1 ,(22)где  Ci 1 \ Ci ,Vi 1 , Ci 1   qn, s  , если на последней итерации некоторыйкандидат был избран.В методе Грегори только бюллетени из последней передачидолжны передаваться последующим кандидатам.

Таким образом,выигрывающая коалиция должна полностью включать максимальнуюкоалицию с предыдущей итерации68 max c j ,Vi 1 , Ci 1    c j ,Vi , Ci  ,(23)где  c j ,Vi , Ci   qn, s .Разберемпримерс3кандидатамии5избирателями,иллюстрирующий сокращение множества кандидатов и избирателей приизбрании кандидата. Начальный профиль предпочтений представлен втаблице 17.Таблица 17 – Профиль предпочтенийИзбиратели1 2 3 4 5a a a b cc b c c bb c b a aПервые предпочтенияВторые предпочтенияТретьи предпочтенияПри s=2 для победы необходимо набрать 2 голоса, q=2.

Кандидат aимеет выигрывающую коалицию из избирателей {1, 2} (в таблице 18выделенаподчеркиванием) и поэтому объявляется победителем.Бюллетени этих избирателей и кандидат a исключаются из профиляизбирателей.предпочтенийВтаблицеизбирателей,18спредставленкоторымизмененныйработаетпрофильпроцедуранаследующем этапе.Таблица 18 – Измененный профиль предпочтенийИзбиратели3 4 5c b cb c bПервые предпочтенияВторые предпочтенияОстались избиратели {3, 4, 5} и кандидаты {b, c}. За счетисключения кандидата a бюллетень 3 перешел от кандидата a ккандидату c. В профиле имеется выигрывающая коалиция за кандидата c(избиратели{3,5}),гарантирующаяегопобеду.Процедуразаканчивается, кандидаты {a, c} являются победителями голосования.69Методы, реализующие правило передачи голосов, различаются поспособу выбора выигрывающей коалиции, который определяет, какиеголоса сохранятся у кандидата, а какие будут переданы и окажутвлияние на выбор победителя и выигрывающей коалиции на следующемэтапе.Определениевыигрывающейкоалициивлияетнавсюпоследующую траекторию передачи голосов, поэтому способ выборавыигрывающей коалиции на каждом этапе надо продумать заранее.Некоторые естественные требования позволяют ограничить классметодов.3.1.2 Аксиомы и теорема о представленииВ этом разделе дана новая система аксиом, показана ихнезависимость и доказана теорема о представлении.

Аксиомы дляметода выбора выигрывающей коалиции следующие:1.Независимость от предыстории.Для любого этапа i, если вместо продолжения подсчета начатьпроцедуру как бы с самого начала, но сохраняя текущеераспределение голосов, выбор коалиции не должен измениться.2.Независимость от последующих предпочтений.Изменение тех предпочтений избирателей, которые ещё не былиучтены в процедуре, то есть всех последующих, кроме первыхпредпочтений на данном этапе, не должно влиять на выборвыигрывающей коалиции.Эта аксиома может быть рассмотрена как аналог аксиомынезависимости от посторонних альтернатив (НПА) Эрроу [27].Действительно, согласно НПА коллективный выбор междуальтернативами a и b не должен зависеть от предпочтений междуальтернативами a и c, b и d, c и d, и так далее.

Аксиома 2 требует,чтобы выбор коалиции на i-той итерации учитывал только первые70предпочтения индивидуальных предпочтений на этой итерации.Традиционный метод Грегори со случайным отбором бюллетенейестественно не рассматривает последующие предпочтения иудовлетворяет данной аксиоме.3.Анонимность.Независимость от имен избирателей.4.Нейтральность.Независимость от имен альтернатив.Необходимым условием выполнения аксиомы 1 является пересчетквоты на каждом этапе по формулеViqi    1.sE1iЕсликвотунепересчитывать,(24)тонанекоторомэтапепервоначальная квота и квота, посчитанная по количеству голосов имест на текущем этапе, не будут равны, что, естественно, нарушитаксиому 1. Множество избирателей, как и количество оставшихся мест краспределению меняются только в момент избрания очередногокандидата. На тех этапах процедуры, в которых не произошло избраниякандидата, квота не меняется. Непередаваемые голоса учитываются приподсчетеквоты.существенныхОказывается,измененийвчтопересчетпроцедуру,такквотыкакневноситквотаможетуменьшиться только 1 раз за всю процедуру на 1.Лемма 3.

Квота, посчитанная по формуле (24), не может увеличиться нина каком этапе процедуры.Доказательство. По определению квоты количество кандидатов, равноечислу мест, может набрать квоту, но большее количество кандидатов неможет, т.е.71s  Ei Vi s  Ei  1 .qi(25)Допустим, что после избрания на этапе i очередного кандидатаквота увеличилась.

Это означает, что старая квота приводила кизбранию большего количества кандидатов, чем s  Ei  1,Vi  qiqiViqi s  Ei, s  Ei  1 ,что противоречит условию (25).Таким образом, на каждом этапе квота может только уменьшатьсяили не измениться, т.е.qi  q 0  0 .■Теорема 3. Для квоты, посчитанной по формуле (24) на последнем этапеVlпроцедуры ql    1 , выполняется  1  ql  q0  0 .sE1lДоказательство. По лемме 3 на каждом этапе квота может толькоуменьшаться или не изменитьсяqi  q 0  0 .Покажем, что она не может уменьшиться более чем на 1 за всюпроцедуру.

Общее изменение квоты с начала процедуры равно  V0 Viqi  q 0  . s  Ei  1  s  1Накаждомэтапе,когдапроизошломножество избирателей сокращается, тогда72избраниекандидата, V0   jJ q j   V0 qi  q 0  , s  Ei  1   s  1iгде J i — множество этапов до этапа i, которые закончились избраниемкандидата,J i  Ei .Без знака округления вниз до ближайшего целого выражениеувеличится менее чем на 1. Таким образом, целая часть разности непревышает разности целых частей V0   jJ q jV qi  q 0   0 ,s  1 s  Ei  1i Ei  V0  s  1  Ei  q0  s  1 jJ q j  q0 qi  q 0  .sE1s1iiИспользуя определение q0 , получим E i  V0 V V  Ei   0  1   0     jJ q j  q0  s 1 s 1 s  1 qi  q0  ,s  Ei  1iгде фигурные скобки обозначают операцию x  x  x .

Так какJ i  Ei , получим  jJqi  q0  i V   q0  q j  1   0    s  1  .s  Ei  173Обозначим последний этап, когда выполнено  j Jтогда, начиная с этапа d+1, выражение i, за этап d, V   q0  q j  1   0    s  1   неs  Ei  1убывает.Рассмотрим процедуру, в которой этап d будет этапом 0, т.е.начинающуюся в условиях этапа d. В такой постановке будутраспределяться s  Ed мест при q'0  qd  q0 . Так как это продолжениепрежней процедуры, квоты не изменились и значение q'i d  qi осталосьпрежним, Vd  V ' 0 . Для этой процедуры будет верно  jJ 'id V0 q' 0 q' j 1     s  E d  1    q'i  d q' 0 .s  E d  E 'i  d  1В сумме, стоящей в числителе, только первое слагаемоеотрицательно. Оно равноV0q' 0 q' j 1    1. s  E d  1Таким образом,  jJ '1  id V0 q' 0 q' j 1    sE1d   q'i  d q' 0 .s  E d  E 'i d  1Получаем74 1  qi  q 0  0 ,что верно и для последнего этапа  1  ql  q0  0 .■Теорема 4.

Единственным методом, удовлетворяющим аксиомам 1-4,будет метод со случайным равновероятным на каждом этапе способомвыбора выигрывающей коалиции с пересчетом квоты на каждом шаге поформуле (24).Доказательство.Таккаквыборнезависитотпоследующихальтернатив (аксиома 2) и на каждом этапе выбор эквивалентен выборуна нулевом этапе (аксиома 1), не имеющем предыстории, то избирателиотличаются только именами и первой в предпочтениях альтернативой наi-том шаге. Из анонимности (аксиома 3) следует, что каждыйизбиратель, а, следовательно, и каждая коалиция априори (до началапроцедуры) имеет равные шансы быть выигрывающей, из аксиомы 1первый и последующие этапы не должны различаться, следовательно,равные независимые шансы сохранятся на каждом этапе. Единственныйметод, создающий равные шансы — это равновероятный на каждомэтапе способ выбора коалиции.

Чтобы величина выигрывающейкоалиции не зависела от этапа, квоту необходимо и достаточнопересчитывать по формуле (24). Таким образом, единственный метод,удовлетворяющий аксиомам 1-3, — это случайный равновероятный накаждом этапе способ выбора выигрывающей коалиции с пересчетомквоты на каждом шаге по формуле (24). По построению этот методявляется нейтральным (аксиома 4). ■По сути, описанный метод — это взвешенный включающий методГрегори в вероятностной версии с пересчетом квоты на каждом этапе.Очевидно, что случайный метод выбора выигрывающей коалицииможет приводить к различным результатам выборов.75Если ввести дополнительное ограничение на детерминированныйвыбор выигрывающей коалиции, то согласно теореме 4 не существуетметода, удовлетворяющего аксиомам 1-4.Так как на некотором этапе может создаться ситуация, прикоторойнесколькокандидатовнаберутквоту,тонеобходимоопределить правило, по которому будет определяться очередностьизбрания этих кандидатов.

Следующие 2 аксиомы отражают требованияк правилу определения выигрывающего кандидата:5. Наследование.Если из множества кандидатов, набравших квоту, выбранкандидат x, то этот кандидат должен быть выбран в любомподмножестве кандидатов, включающем данного кандидата.6. Независимость от других кандидатов.Правило выбора кандидата из множества кандидатов, набравшихквоту должно зависеть только от информации о предпочтениях техизбирателей, которые ставят этих кандидатов на первое место.Таким образом, метод, определенный теоремой 4, являетсяправилом выбора выигрывающего кандидата. Существует многоспособов выбора выигрывающего кандидата из множества кандидатов,набравших квоту, также удовлетворяющих аксиомам 1-6. Например,выбор кандидата с наибольшим числом голосов или наименьшимчислом голосов.Покажем, что аксиомы 1, 2, 3 независимы в том смысле, чтоможно построить примеры, нарушающие только одну аксиому из трёх.Приведем примеры методов, нарушающих в отдельности аксиомы 1, 2, 3при выполнении остальных аксиом.Метод 1.Случайным образом раздаются номера избирателям один раз нанулевом этапе.

Лексикографическим способом пронумеровываются76коалиции. Выбираем коалицию с наименьшим номером. Выполняютсяаксиомы 2, 3, 4, но нарушается 1.Метод 2.Накаждомупорядочиваютсяэтапепересчитываетсяальтернативы.Коалицияквотаислучайнообразуетсяизтехизбирателей, у которых следующая по предпочтениям альтернативанаиболее близка к избранной. При неразличимости коалиций поданному критерию, выбираем среди этих коалиций равновероятно.Выполняются аксиомы 1, 3, 4, но нарушается 2.Метод 3.Посуществующимименамизбирателейлексикографическиупорядочим коалиции. На каждом этапе пересчитываем квоту ивыбираем коалицию с наименьшим номером. Выполняются аксиомы 1,2, 4, но нарушается 3.Метода,удовлетворяющегоаксиомам1,2,3,нонеудовлетворяющего аксиоме 4, не существует.

Это следует из теоремы 4.Покажем, что метод Грегори, как в постановке со случайнымотбором выигрывающей коалиции, так и с пропорциональным отбором,не удовлетворяет аксиоме 1.Пусть после распределения излишка кандидата a образоваласьследующая ситуация5 голосов b  c  d (перешло от a),10 избирателей b  d ,10 избирателей c ,10 избирателей d .Квота равна 14. Избирается кандидат b, по методу Грегори 1 голоспереходит кандидату c.Если бы такая ситуация сложилась на первом этапе, то голосавыбирались равновероятно среди всех бюллетеней, а именно с77вероятностью 5/15 перераспределялись голоса первой группы и свероятностью10/15—второй.Выборголосовдляпередачиследующему кандидату изменился. Таким образом, метод Грегори неудовлетворяет свойству независимости от предыстории (аксиома 1).