Лекции по алгебре

lekciipo algebrelEKTOR a w mIHAL<W—1..KURS, 1 POTOK, 2001 GODwERSIQ KOMPLEKTA LEKCIJ: 1.6 finalw KOMPLEKTE LEKCII: 7–10,13,16-17,19pOSLEDNEE OBNOWLENIE: 28.11.2001|TOT TEKST SKA^AN S SAJTA:http://mmresource.narod.ru/wSE LEKCII NABIRALISX PO KONSPEKTAM LEKTORA,NO TEM NE MENEE \TO WOWSE NE ISKL@^AET OPE^ATKII PROSTO O[IBKI! eSLI WY ^TO-TO TAKOE OBNARUVITE,PI[ITE NA mmresource@narod.ruuSPE[NOJ WSEM SESSII :-)1lEKCIQ 7lekciqlINEJNOE PROSTRANSTWO Mm,n (R)http://mmresource.narod.ru/7.1OKTQBRQ 2001 G.PRQMOUGOLXNYH MATRIC RAZMERA m × n.~EREZ M (R) OBOZNA^IM SOWOKUPNOSTX WSEH PRQMOUGOLXNYH MATRIC NAD R FIKSIROWANNOGO RAZMERA m×nDLQ KRATKOSTI OBOZNA^ENIQ, M (R) = M (R) — SOWOKUPNOSTX WSEH KWADRATNYH (n, n)-MATRIC). kAK DLQPROSTRANSTWA STROK R = M (R) I DLQ PROSTRANSTWA STOLBCOW Rb = M (R), TAK I DLQ DLQ M (R)OPREDELENY OPERACII SLOVENIQ MATRICC = A + B (c = a + b DLQ KAVDOGO MESTA (i, j))I UMNOVENIQ MATRICY NA ^ISLO c ∈ RD = cA (d = ca DLQ KAVDOGO MESTA (i, j)).kAK I DLQ SOWOKUPNOSTI STROK R = M (R), TAK I DLQ M (R) NEPOSREDSTWENNO PROWERQETSQ WYPOLNENIEWSEH AKSIOM I-III LINEJNOGO PROSTRANSTWA (W ^ASTNOSTI: NEJTRALXNYM \LEMENTOM W M (R) BUDET NULEWAQMATRICA 0 S NULQMI NA WSEH MESTAH; −A = (−1)A).eSLI A = (a ) ∈ M (R) I B = (b ) ∈ M (R), TO MY OPREDELILI IH PROIZWEDENIEm,n(nnn,nn1,nijijijnn,1m,nijij1,nm,nm,nijr,mijm,nAB = U = (uij ) ∈ Mr,n (R),POLAGAQ u = P a b (T.E.

\LEMENT MATRICY AB, STOQ]IJ NA PERESE^ENII i-J STROKI I j-GO STOLBCAPOLU^AETSQ ”UMNOVENIEM” i-J STROKI (DLINY m) MATRICY A I j-GO STOLBCA (DLINY m) MATRICY B).tAKIM OBRAZOM, USLOWIE WOZMOVNOSTI PEREMNOVITX DWE PRQMOUGOLXNYE MATRICY A I B ZAKL@^AETSQ WTOM, ^TO DLINA STROK LEWOGO MNOVITELQ A SOWPADAET S DLINOJ STOLBCOW PRAWOGO MNOVITELQ B.milik klk=1pRIMERYPROIZWEDENIQAB.µ¶ µ WY^ISLENIQ¶ µ¶1)10m12) ( k1 ,3)pUSTX1 n1 m+n=, m, n ∈ Z.0 101 l1.. .

. , kn )  ..  = (k1 l1 + . . . + kn ln ) ∈ M1 (R).ln1 0 ... 00 1 ... 0Er =  ... ... . . . ...  ∈ Mr (R) (EDINI^NAQ MATRICA RAZMERA r × r), A ∈ M0 0...r,m (R),TOGDA E A = A,r1w ^ASTNOSTI, ESLI E = E , A ∈ M (R), TO EA = A = AE.oBOZNA^IM ^EREZ E MATRICU, W KOTOROJ NA PERESE^ENII i-J STROKI I j-GO STOLBCA STOIT 1, A NA WSEHOSTALXNYH MESTAH STOIT 0. tOGDA W M (∈ R) IMEEM:½E , ESLI j = kE E =0 (NULEWAQ MATRICA) , ESLI j 6= k½1, ESLI j = k(ILI E E = δ E , GDE δ =— SIMWOL kRONEKERA).0, ESLI j 6= kAEm = A.4)nnijnilijijkljkilkljkwAVNYE SLEDSTWIQ:sLEDSTWIE 1.

tAK KAK PRI n ≥ 2 W M (R) EE = E 6= 0 = E E , TO:UMNOVENIE MATRIC NEKOMMUTATIWNOB IME@TSQ DELITELI NULQ (NENULEWYE \LEMENTY, PROIZWEDENIE KOTORYH RAWNO NUL@).zADA^A. nAJTI W M (R) WSE DELITELI NULQ. tO^NEE, DOKAZATX, ^TO DLQ A ∈ M (R) SLEDU@]IE USLOWIQRAWNOSILXNY:1) AX = 0 DLQ 0 6= X ∈ M (R);2) Y A = 0 DLQ 0 6= Y ∈ M (R);n11121212111a)1 )nnnn3) |A| = 0.2lEKCIQ 7http://mmresource.narod.ru/sLEDSTWIE 2. pUSTX i 6= j, c ∈ R, I e= E + cE ∈ M (R) (W \TOJ MATRICE, W OTLI^IE OT EDINI^NOJMATRICY, NA MESTE (i, j) WNE DIAGONALI STOIT 1). qSNO, ^TO |e | = 1.2A) eSLI e ∈ M (R) I A ∈ M (R), TO MATRICA A = e A POLU^AETSQ IZ MATRICY A \LEMENTARNYMIPREOBRAZOWANIQMI STROK 1-GO TIPA A = A + cA .2B) eSLI e ∈ M (R) I A ∈ M (R), TO MATRICA A = Ae POLU^AETSQ IZ MATRICY A \LEMENTARNYMIPREOBRAZOWANIQMI STOLBCOW 1-GO TIPA Ab = Ab + cAb .sLEDSTWIE 3.

pUSTX i 6= j I t — MATRICA, POLU^ENNAQ IZ EDINI^NOJ MATRICY E ∈ M (R)PERESTANOWKOJ i-J I j-J STROK (ILI, ^TO TO VE SAMOE, PERESTANOWKOJ i-GO I j-GO STOLBCOW). qSNO, ^TO |t | = −1.3A) eSLI t ∈ M (R) I A ∈ M (R), TO MATRICA A = t A POLU^AETSQ IZ MATRICY A \LEMENTARNYMPREOBRAZOWANIEM STROK 2-GO TIPA: A = A , A = A .3B) eSLI t ∈ M (R) I A ∈ M (R), TO MATRICA A = At POLU^AETSQ IZ MATRICY A \LEMENTARNYMPREOBRAZOWANIEM STOLBCOW 2-GO TIPA: Ab = Ab , Ab = Ab .sLEDSTWIE 4. pUSTXcijcijmcijm,n0imm,nijncijcij0ij0j0jcijiijijmij0jjiji0m,n0imij0m,n0imm0jjijiλ1 0d(λ1 , .

. . , λm ) =  ...0λ2............00...00 ∈ Mm (R) —.. . λmDIAGONALXNAQ MATRICA S \LEMENTAMI λ , λ , . . . , λ ∈ R NA DIAGONALI.qSNO, ^TO |d(λ , . . . , λ )| = λ λ · . . . · λ .4A) eSLI d(λ , . . . , λ ) ∈ M (R) I A ∈ M (R), TO111m21 2mmmmm,nλ 1 A1 λ 2 A2 d(λ1 , . . . , λm )A =  ...  —λ m AmMATRICA, POLU^AEMAQ IZ MATRICY A UMNOVENIEM STROK A , . . .

, A , SOOTWETSTWENNO, NA ^ISLA λ , . . . , λ4B) eSLI d(λ , . . . , λ ) ∈ M (R) I A ∈ M (R), TO MATRICA11nnmm.1m,n¡b1Ad(λ1 , . . . , λn ) = λ1 Ab2λ2 A...bnλn A¢—MATRICA, POLU^AEMAQ IZ MATRICY A UMNOVENIEM STOLBCOW Ab , . . . , Ab , SOOTWETSTWENNO, NA ^ISLA λ , . . .

, λ .w ^ASTNOSTI, UMNOVENIE SLEWA MATRICY A NA MATRICU d(1, . . . , λ = c, . . . , 1), c 6= 0, RAWNOSILXNOPRIMENENI@ K STROKAM MATRICY A \LEMENTARNOGO PREOBRAZOWANIQ 3-GO TIPA A = cA (UMNOVENIE SPRAWANA MATRICU TAKOGO TIPA DA<T PRIMENENIE \LEMENTARNOGO PREOBRAZOWANIQ 3-GO TIPA K STOLBCAM MATRICY A).zAME^ANIE. qSNO, ^TO λE = d(λ, . .

. , λ) I (λE)A = λA = A(λE) DLQ E = E , A ∈ M (R), T.E. SKALQRNAQMATRICA λE PERESTANOWO^NA S L@BOJ DRUGOJ MATRICEJ IZ M (R).zADA^A. pUSTX Z(M (R)) = {A ∈ M (R)|AB = BA ∀B ∈ M (R)} tOGDA A ∈ Z(M (R)) W TOM I TOLXKO WTOM SLU^AE, KOGDA A = λE , λ ∈ R.sLEDSTWIE 5 (MATRI^NAQ ZAPISX SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ).dLQ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ1n1i0ininnnnnnnn a11 x1 + .

. . + a1n xn = b1...am1 x1 + . . . + amn xn = bmx1., X =  .. xn,WOZMOVNA MATRI^NAQ ZAPISX AX= B, GDE A = (a ) — (m, n)-MATRICA KO\FFICIENTOWb.— STOLBEC NEIZWESTNYH, B =  ..  ∈ M (R) — STOLBEC SWOBODNYH ^LENOW. tAKIM OBRAZOM STOLBEC   kkbb... ..

 ∈ M (R) — RE[ENIE SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ, ESLI A  ..  =  .. .ij1m,11m11knbm1,nkn3lEKCIQ 7http://mmresource.narod.ru/tEOREMA (OB ASSOCIATIWNOSTI PROIZWEDENIQ MATRIC).pUSTX A = (a ) ∈ M (R), B = (btOGDA (AB)C = A(BC).dOKAZATELXSTWO 1. pUSTXijij )r,m∈ Mm,n (R), C = (cij ) ∈ Mn,p (R).U = AB = (uij ) ∈ Mr,n (R),V = BC = (vij ) ∈ Mm,p (R),S = (AB)C = U C = (sij ) ∈ Mr,p (R),T = A(BC) = AV = (tij ) ∈ Mr,p (R).tAK KAK uilmP=aik bkl , vkj =k=1nPbkl clj ,l=1TOsij =tij =nXl=1mXuil clj =aik vkj =n XmXl=1 k=1m XnXaik bkl cljaik bkl cljk=1 l=1k=1DLQ WSEH (i, j), T.E.

S = T (S U^<TOM PEREMENY PORQDKA SUMMIROWANIQ).dOKAZATELXSTWO 2. pUSTX W DIAGRAMME¤C bn B bm A brb p −→RR −→ R −→ RCBALINEJNYE PREOBRAZOWANIQ A, B, C OPREDELENY, SOOTWETSTWENNO, MATRICAMIASSOCIATIWNOSTI PROIZWEDENIQ OTOBRAVENIJ)A, B, C.tOGDA (W SILU(AB)C = A(BC).wY^ISLQQ MATRICU \TOGO LINEJNOGO PREOBRAZOWANIQ (W SILU TEOREMY O MATRICE PROIZWEDENIQ LINEJNYHPREOBRAZOWANIJ), POLU^AEM, ^TO(AB)C = A(BC).¤sLEDSTWIE. sOWOKUPNOSTX KWADRATNYH (n × n)-MATRIC M (R) OTNOSITELXNO OPERACII UMNOVENIQQWLQETSQ MONOIDOM (T.E.

OPERACIQ UMNOVENIQ OPREDELENA NA M (R), ASSOCIATIWNA I OBLADAET NEJTRALXNYM\LEMENTOM E = E ).tEOREMA (O DISTRIBUTIWNOSTI UMNOVENIQ MATRIC).pUSTX C = (c ) ∈ M ; A = (a ), B = (b ) ∈ M (R); D = (d ) ∈ M (R). tOGDA C(A + B) = CA + CBW M (R); (A + B)D = AD + BD W M (R).dOKAZATELXSTWO. dEJSTWITELXNO, DLQ L@BOGO MESTA (i, j) IMEEMnnnijr,mijijr,nm,nijn,pm,pmXcik (akj + bkj ) =k=1nX(ail + bil )dlj =l=1mXcik akj +mXk=1nXk=1nXl=1k=1ail dlj +cik bkjbil dlj ,^TO DOKAZYWAET NA[I UTWERVDENIQ. ¤sLEDSTWIE.

dLQ L@BYH KWADRATNYH MATRIC A, B, C ∈ M (R) IMEEMn(A + B)C = AC + BCC(A + B) = CA + CB.4lEKCIQ 7http://mmresource.narod.ru/iTOGOWAQ TEOREMA OB ALGEBRE MATRIC.sOWOKUPNOSTX PRQMOUGOLXNYH MATRIC M (R) RAZMERA m×n NAD R (W ^ASTNOSTI, KWADRATNYE MATRICYOBRAZUET OTNOSITELXNO OPERACII SLOVENIQ ABELEWU (KOMMUTATIWNU@) GRUPPU, T.E.OPERACIQ SLOVENIQ ASSOCIATIWNA;OPERACIQ SLOVENIQ KOMMUTATIWNA (T.E. A + B = B + A DLQ WSEH A, B ∈ M (R));SU]ESTWUET NEJTRALXNYJ \LEMENT 0 (NULEWAQ MATRICA);DLQ KAVDOJ MATRICY A ∈ M (R) SU]ESTWUET PROTIWOPOLOVNYJ \LEMENT −A = (−a ), T.E. A +I.Mn (R))1)10 )2)3)(−A) = 0 = (−A) + A.m,nm,nm,nijoPERACII UMNOVENIQ MATRICY A NA ^ISLO c ∈ R, A → cA, W MII.1) 1 · A = A;2) (c1 c2 )A = c1 (c2 A).m,n (R)oPERACII SLOVENIQ I UMNOVENIQ NA ^ISLA c ∈ R W MIII.1) c(A + B) = cA + cB;2) (c1 + c2 )A = c1 A + c2 A.m,n (R)UDOWLETWORQ@T USLOWIQM:UDOWLETWORQ@T USLOWIQM:tAKIM OBRAZOM, I, II, III OZNA^A@T, ^TO M (R) — LINEJNOE PROSTRANSTWO.IV.

s OPERACIQMI SLOVENIQ A + B I UMNOVENIQ AB SOWOKUPNOSTX KWADRATNYH MATRIC M (R) QWLQETSQKOLXCOM, T.E.1) PO SLOVENI@ — ABELEWA GRUPPA;2) PO UMNOVENI@ MATRIC — MONOID, T.E.2A) UMNOVENIE MATRIC ASSOCIATIWNO, T.E. (AB)C = A(BC) DLQ L@BYH A, B, C ∈ MT (R);2B) EDINI^NAQ MATRICA E QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM DLQ OPERACII UMNOVENIQ, T.E. AE = EA = ADLQ WSEH A ∈ M (R);3) oPERACII SLOVENIQ I UMNOVENIQ MATRIC UDOWLETWORQ@T ZAKONAM DISTRIBUTIWNOSTI:3A) (A + B)C = AC + BC;3B) C(A + B) = CA + CB.V. s OPERACIQMI SLOVENIQ A+B I UMNOVENIQ AB MATRIC I OPERACIQMI UMNOVENIQ cA MATRICY NA ^ISLOc ∈ R KWADRATNYE MATRICY M (R) QWLQ@TSQ ALGEBROJ, T.E.1) KOLXCOM (OTNOSITELXNO SLOVENIQ I UMNOVENIQ MATRIC);2) LINEJNYM PROSTRANSTWOM (OTNOSITELXNO SLOVENIQ MATRIC I UMNOVENIJ MATRICY NA ^ISLO)I DOPOLNITELXNO:3) (cA)B = c(AB) = A(cB) DLQ c ∈ R, A, B, C ∈ M (R).dOKAZATELXSTWO SWOJSTWA V.3.