Диссертация (Динамическая оптимизация стилизованных портфелей акций с применением копул), страница 5

Но, какотмечает Травкин (2015) далеко не с каждым из этих вариантов удобноработать. В работе Bedford & Cooke (2002) предложен вариант с графическимпредставлением КПК, получивший название «правильных деревьев» (regularvines).Kurowicka & Cooke (2006) представили два конкретных случая«правильных деревьев» – D-Vine и C-Vine. Вопрос использования vine-копул25для построения оптимального инвестиционного портфеля решался в рядеработ (Deng et al(2011), Low et al(2013)).,…,Совместная плотность распределения n случайных величинможетбыть разложена без потери общности по следующей формуле:()= (,…,)× (|)× (|)× …× (,|,…,)Каждая условная плотность в произведении может быть далее разложена сиспользованием копулы.

К примеру, второй множитель можно представить ввиде:()=с ( (|),()) ×()Таким образом, разложив каждый множитель, и используя структуру C-Vine,формулу совместной плотности можно представить в следующем виде (Denget al(2011)):(,…,=)( ),(| ,…|,…,, (| ,…,, (|))Для структуры D-Vine:(=,…,)( ),(| ,…|,…,Где предельные условные распределения,…,))( | ) для каждого j можнопредставить как:( | )=С,|(, ( |))26Где– это вектор,элемента– отдельный элемент вектора, а– это векторбез.Оптимальныепараметрысовместногораспределенияподбираютсяспомощью функции максимального правдоподобия для C-Vine:,| ,…,(,|,,…,, (,,|,,…,,)Для D-Vine:,|,…,(,|,,…,,,(,|,,…,Как отмечается в работе Deng et al. (2011), при вычислении оптимальныхпараметров в формулах выше, стоит сначала оценить оптимальныепараметры для каждой пары в конструкции, и использовать их как начальныеданные.Deng et al.

(2011) также отмечают, что D-Vine и C-Vine подходят для разныхнаборов данных. Так в структуре C-Vine подразумевается наличие одногоключевого элемента, который определяет поведение остальных. Если такогоэлемента нет, то для исследования лучше использовать D-Vine. В случаеданной работы оценивается взаимосвязь доходностей различных акций идепозитарных расписок, эмитенты которых представлены в различныхсекторах экономики, соответственно, выявить какую-то ключевую акцию,которая представляется определяющей поведение остальных, расходится слогикой.

Поэтому для данного исследования также уместнее использоватьструктуру D-Vine.Важно отметить, что Vine-копулы позволяют использовать в одной структуреразличные модели копул. Однако, для сохранения фокуса исследования настилизованной оптимизации данное исследование приводится на примере27,)только одной модели - обратной копулы Гумбеля.

Вопрос сравнениябольшего количества моделей копул и структур парных копул вынесен зарамки данного исследования.Помимо конструкций парных копул, дляпостроения многомерных копул так же могут использоваться иерархическиекопулы (к примеру, Пеникас (2014)), но вопрос их применимости длярешения задачи стилизованной оптимизации так же вынесен за рамкиданного исследования.1.1.3 Оценка взаимосвязи доходностей финансовых инструментовОдно из наиболее часто встречающихся приложений копул заключается в ихиспользовании для оценки уровня взаимосвязи.

Для финансовых активов,которыеявляютсяобъектомданногоисследования,дополнительнаямотивация к использованию копул возникает еще и из накопившихсядоказательств того, что доходности финансовых активов, как правило, неимеютэллиптическогораспределения.Наиболееочевидныйпример,подтверждающий это, заключается в том, что активы демонстрируют болеесильную взаимосвязь в периоды кризисов и обвалов фондового рынка, чем впериоды восстановления и роста. Одно из первых конкретных исследований,которые говорят в пользу «ненормальности» распределения доходностейфинансовых активов, было подготовлено Mills (1927).

Более поздние работы,среди которых Erb et al. (1994), Longin и Solnik (2001), Ang и Bekaert (2002),Ang и Chen (2002), Bae et al. (2003), также указывают на то, что доходностифинансовых инструментов демонстрируют взаимосвязь, которая не можетбыть в полной мере отражена эллиптической копулой. В этом ключе,использование обычного коэффициента корреляции, не смотря на егобольшую распространённость, представляется не уместным, так каккоэффициентслучайныхкорреляциивеличин.подразумеваетКрометого,нормальностькорреляцияраспределениябольшогоколичестваслучайных величин, как правило, описывается матрицей корреляций, вкоторой проставлены коэффициенты попарной корреляций, что оставляет28невозможным изучение наличия более сложной нелинейной взаимосвязимежду тремя и более случайными величинами.

Построение многомернойкопулы решает эту проблему, и в этом смысле Vine-копулы существенноупрощают трудоемкость задачи.Другой мотивацией для использования копул в оценке уровня взаимосвязиявляется их гибкость в отношении исходных данных, что уже упоминалосьранее. Каких-либо ограничений на распределение исходных данных нет.Для оценки уровня взаимосвязи используются специальные коэффициентыранговой корреляции τ-Кенделла и ρ-Спирмена, которые зависят отпараметра копулы, и преобразуют его в число, лежащее в интервале либо [-1,1] либо [0, 1], в зависимости от конкретной используемой модели копулы.Таким образом, для обоих коэффициентов легко провести аналогию спривычнымкоэффициентомкорреляции,заисключениемтого,чтоотдельные модели копул не позволяют выявить отрицательную корреляцию(то есть значения коэффициентов τ-Кенделла и ρ-Спирмена лежат вдиапазоне [0, 1]).

Важно отметить еще одно отличие коэффициентовранговой корреляции от обычного линейного коэффициента корреляции.Различные пары случайных величин, у которых будет совпадать значениепараметра копулы (а, следовательно, и значения коэффициентов τ-Кенделлаи ρ-Спирмена) не обязательно будут показывать одинаковый коэффициенткорреляции. Это различие формируется из принципиальной разницы вприродевзаимосвязей,которыеоцениваютсякопулойиобычнымкоэффициентом корреляции.

Копула позволяет выявлять нелинейнуювзаимосвязь между активами, что в свою очередь позволяет получить болееисчерпывающую модель оценки взаимосвязи.Далее приводится ряд определений, необходимых для большего пониманиякоэффициентов ранговой корреляции.Определение. (McNeil et al (2005))29Пусть ()и(,) это две серии наблюдений случайных x1 и x2. Тогда,величины x1 и x2 признаются конкордантными (от англ.

«concordance») приусловии выполнения следующего неравенства()×(−−)>0Дискордантными (от англ. «disconcordance») случайные величины x1 и x2считаются при выполнении неравенства()×(−−)<0Из определения следует, что конкордантные величины изменяются в одномнаправлении от наблюдения к наблюдению (то есть либо одновременноувеличиваются, либо уменьшаются). Дискондартные величины наоборотизменяются в противоположных направлениях. Основываясь на данныхпонятиях можно дать определения коэффициентам ранговой корреляции τКенделла и ρ-Спирмена.Определение.

(McNeil et al (2005))Пусть x1 и x2 – две независимо распределённые случайные величины. Тогда τ-Кенделла для них может быть вычислена по формуле( ,) = ℙ[(где величиныи−)×(−) > 0] − ℙ[(−)×(−) < 0]являются независимыми копиями x1 и x2.Таким образом, τ-Кенделла в действительность представляет собой разницумежду вероятностью конкордации и вероятностью дискордации двухслучайныхвеличин.Таккакданноеисследованиеподразумеваетиспользование копул для оценки взаимосвязи, уместно также привестиопределение коэффициента в терминах копулы.30Определение.

(McNeil et al (2005))Пусть x1 и x2 – две независимо распределённые случайные величины а C –копула, которая является функцией их совместного распределения. Тогда τ Кенделла для этих двух величин может быть вычислена по формуле( ,)=4С( ,)( ,)−1[ , ]В действительности, если учитывать, что интегралв данной формулеявляется математическим ожиданием случайной величины,~ (0,1) ссовместнымраспределениеC,(,), гдето формулу можносущественно упростить:( ,)=4 ( (,)) − 1Далее приводятся определения другого коэффициента ранговой корреляции,о котором говорилось ранее, ρ-Спирмена.Определение. (McNeil et al (2005))Пусть x1 и x2 – две независимо распределённые случайные величины.

Тогдаρ-Спирмена для них может быть вычислена по формулеρ( ,) = 3{ℙ[(Где ( ,)и( ,−)×(−) > 0] − ℙ[(−)×(−) < 0]}) – это независимые копии (x1, x2).ρ-Спирмена так же как и τ-Кенделла можно определить в терминах копулы.Определение. (McNeil et al (2005))31Пусть x1 и x2 – две независимо распределённые случайные величины, а C –копула, определяющая их совместное распределение. Тогда ρ-Спирменаможет быть вычислена по формулеρ( ,) = 12( ,) − 3 = 12[ , ]( ,)−3[ , ]По аналогии с формулой τ-Кенделла, формулу для ρ-Спирмена также можноупростить до неинтегральной формы:ρ( ,) = 12 ()−3Стоит отметить, что из определений τ-Кенделла и ρ-Спирмена следует, чтоэто возрастающие функции от копул.

Оба коэффициента ранговойкорреляции могут изменяться в пределах интервала [-1,1], но если речь идето копулах, то для каждого отдельного вида этот интервал может бытьдругим, к примеру, для семейства Архимедовых копул, которые улавливаюттолько положительную корреляцию этот интервал находится в границахмежду 0 и 1.Как видно из определений, коэффициенты ранговой корреляции τ-Кенделлаиρ-Спирменаимеютприродунесколькоотличнуюотлинейногокоэффициента корреляции. Они являются более гибкими и учитываютвзаимосвязь, которая упускается линейной корреляцией, предполагающейнормальность распределения исследуемых случайных величин.Данные коэффициенты не используются напрямую в работе, которая непризвана численно оценить взаимосвязь активов, тем не менее, их раскрытиеспособствует лучшему пониманию преимуществ копул в сравнении сдругими инструментами, позволяющими оценивать риск портфеля.321.1.4 Оптимизация инвестиционного портфеляОсновополагающим трудом в направлении оптимизации инвестиционногопортфеля можно считать работу Markowitz (1952).

По сути это первая работа,в которой предлагается комплексная процедура построения инвестиционногопортфеля на основе некоторых оценок риска, ожидаемой доходности ивзаимосвязи активов. Как правило, для оценки этих показателей традиционноиспользуютсястандартноеотклонение,математическоеожиданиеикорреляция соответственно (более подробное описание приводится в Sharpe(1978)). На основе этих оценок составляется так называемая эффективнаяграница портфеля, которая представляет собой множество комбинаций рискаи доходности портфеля, таких, что нельзя улучшить один из показателей, неухудшив при этом другой. Другими словами эффективные портфели – этопортфели, которые при заданном уровне риска предлагают наибольшуюдоходность, либо при заданной доходности предлагают наименьший риск.Используяэффективнуюграницуможновыбратьпортфель,соответствующий предпочтениям инвестора, которые, как правило, зависятот степени его восприимчивости к риску.