Диссертация (Математическое моделирование переориентации орбитального космического аппарата со сферическим солнечным парусом), страница 13

Определив tп как кандидата намомент времени переключения, выясняется, что не для любого t  tпудается обеспечить ресурсами u'экв . Это может быть обусловленовходом конструкции в положение со значительным затенением, когдадолжно быть выполнено переключение.Возможность случая 1 может быть проверена нахождениемточек пересечения кривой возможных в каждый момент времениэквивалентных управлений uэкв tп   U  tп  с кривой U  приt  tп .

При наличии более одной точки пересечения следует выбратьточку с наиболее поздним переключением. Таким образом, длякривых эквивалентных управлений, отвечающих всем этим точкам,нужно проверить превышение кривой U  во все последующее времяманевра. Если же ни одна из этих точек не подходит, нужно отыскатьдругое наибольшее время переключения, которое будет обеспечено,т.е. переходим к решению проблемы случая 2. Простым решением,приводящимкнекоторойпотереоптимальности,являетсяиспользование попыток подбора tiп  Сitп , 0  Сi  1 с уменьшениемСi 1 в случае непригодности кривой c переключением в t  tiп .Например,можноуменьшатьtпназначениев10%отпервоначального и проверять вновь полученную кривую управленияна гарантированное обеспечение ресурсами на все время маневра.94После определения k при рассмотрении режима идеальногоскольжения с использованием  i  mi tg   для i соответствующего4главной оси, получимi mi ktg  / 41  tg 2  / 40(4-17)В принятых предположениях вращения строго вокруг оси,преобразуем к видуd k sin  / 20dt2(4-18)Используя разделение переменных, запишем решение ОДУ  4arctg e  kt / 2  CЛегконайтиианалитическую(4-19)формулудляэквивалентногоуправления от угла  в режиме идеального скольжения.

В силусделанных упрощенийu эквi   J i mi M   J i k 2 mik2 J i mi1  tg  / 4  sin  , t  tп164 1  tg 2  / 44.3(4-20)Пример поворота вокруг главной осиРассмотрим первый пример маневра модельного паруса изглавы 2, параметры которого приведены в таблице 4-1.Таблица 4-1 – Параметры паруса, используемые в примере маневраJ1, кг×м2J2, кг×м2J3, кг×м2d, мR, мL, м6506756750,11595Пусть в начальном положении он повернут относительно оси Zабсолютной системы координат на 45°, то есть начальное значениекватерниона равно qˆ 0  0,0, sin  / 8, cos / 8T .Пока траектория не приблизилась достаточно к нулевой точке,компоненты u1 и u2 должны быть малы по сравнению с u3 , ииспользуются лишь для компенсации незначительного несоответствияM и u по первой и второй координате.

Для uп  1t s   2 t sgn( s )при i  1, 2 примем 1i t   0 , а  2i  106 . При действии функцииsat ( s ,  s ) вместо sgn(s ) величина 10 6 будет верхней границей длямодулей компонент u1 и u2 . Пусть для u3 так же 13 t   0 . Параметр 23   23 t  и до переключения выбирается максимально возможнымпо модулю. После переключения M 3 будет несколько не совпадать сu 3 , поэтому к эквивалентному управлению так же следует добавить6достаточный для компенсации постоянный коэффициент  23  10 ,умноженный на sat ( s3 ,  s ) . Параметр  s для функции sat si ,  s ключевой роли не играет: в случае возникновения переключений снеприемлемой частотой он может быть увеличен в процессе. Врассматриваемом примере использовано  s  107 .Результаты численного моделирования маневра показаны сРис.

4-2 по Рис. 4-8.На Рис. 4-2 сплошной линией показана зависимость компонентымомента M 3 t  от времени, пунктирной линиисоответствуетмаксимальный доступный момент U  t  при переключении в текущеевремя t . Точечной линии соответствует u экв t  , которое было быреализовано согласно алгоритму в случае переключения во время t .До t  2550с наблюдается характерный рост M 3 t  , вызванный96выходом из тени первоначально затененных пикселей в процессеповорота. При t  2780cuэкв t  достигает границы U  t  ипроисходит переключение. Далее uэкв t  асимптотически стремится кнулю с течением времени.10Момент M3 , [Н×м]×10-486420-2-4-6-8-10010002000300040005000600070008000900010000t, [c]Рисунок 4-2.

Сплошной линией показан график зависимости вращающегомомента от времени, пунктирной линией график границы Ut  от времени,точечной линии показан график uэкв t  от времениНа Рис. 4-3 показаны аналогичные графики в зависимости отугла поворота  в радианах с началом в 0  0,785 . В силу (21),график uэкв t  после переключения является частью синусоиды итолько визуально кажется прямой линией из–за небольшого значения на данном участке. На Рис.

4-4 и Рис. 4-5 представлены значениядля параметра k и оценка времени t f попадания в окрестность 3  0,0001 в случае переключения в текущий момент времени t .После переключения при t  2780 с эти величины больше не97изменяются: k  0,0022 и t f  15700 c . Данный расчет был остановленна t  10000c , и было достигнуто  3  0,0002 .106420-2-4-6Момент M3 , [Н×м]×10-48-8-100.80.70.60.50.40.30.20.10Угол θ, [рад]Рисунок 4-3. Сплошной линией показана зависимость вращающего момента отугла поворота  , пунктирной линией график границы Ut  от  , точечнойлинии показана зависимость uэкв t  от Коэффициент k(t)×10-32.521.510.50010002000300040005000600070008000900010000t, [c]Рисунок 4-4.

Зависимость переменного коэффициента k от времени988000070000tf , |σ3|<0.0001, [c]600005000040000300002000010000010001500200025003000t, [c]Рисунок 4-5. Оценка времени попадания в окрестность  3  0,0001Рис. 4-6 и Рис. 4-7 отражают изменение во времени параметров 3  tg  / 4 и компоненты угловой скорости  3 соответственно, истремление их к нулю при t   .0.25Параметр σ30.20.150.10.050010002000300040005000600070008000900010000t, [c]Рисунок 4-6. Зависимость компоненты  3 от времени99Угловая скорость ω3 , [рад/c]×10-40-0.5-1-1.5-2-2.5-3010002000300040005000600070008000900010000t, [c]Рисунок 4-7.

Зависимость компоненты угловой скорости 3 от времениЗаслуживает внимания и график изменения параметра s3 наРис. 4-8. До переключения он был определен равным нулю. Сразупосле переключения наблюдается резкий рост s3 . Объясняется этотем, что погрешность между M и целевым вращающим моментомприводит к отклонению от поверхности скольжения s3  0 . Функцияsat s3 ,  s оказывается“нечувствительна”котклонениюдоопределенного уровня, но затем останавливает дальнейший рост ивозвращает движение на поверхность s3  0 . Отметим еще, что приuэкв tп  U  были задействованы все имеющиеся ресурсы.

Поэтомуможет оказаться, что при введении в модель неидеальностейпогрешность между M и u будет невозможно сразу жекомпенсировать использованием  23 . Для решения этой проблемыследует делать переключение не по достижении uэкв tп  U  , аоставляязапасуправляющихвоздействий,достаточныйдлякомпенсации.10010.8Параметр S3×10-70.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-12000300040005000600070008000900010000t, [c]Рисунок 4-8.

Изменение компоненты s3 с течением времени.4.4Принцип подбора параметров для произвольных маневровс неопределенностями и внешними возмущениямиПосле рассмотрения примера поворота вокруг главной оси,перейдем к маневрам общего вида с учетом неопределенностей инемоделируемых возмущений.Построим управление для системы (4-1) вида  u t   u экв  u п    J  JM     2 sgn( s ) (4-21)Допустим, что имеется некоторая верхняя оценка для параметраk , и основанная ней оценка максимально возможных компонент u эквi ,i  1, 2, 3 .

Подберем  2i настолько большими, так чтобы в течениевсего маневра 2i  u'эквi  Li(4-22)Реализовать хорошее приближение к этому управлению можетоказаться невозможным из–за нехватки ресурсов пикселей. Используяалгоритм приближения к целевому вектору, получим M  u с0    1 , и результирующий момент M отклоняется на некоторый101угол от целевого u .

Угол этот будет тем больше, чем большекоэффициенты  2i . В то же время, чем больше выбраны  2i , тембольшимпоабсолютнойвеличинеоказываетсявекторM .Производная функции Ляпунова имеет вид      V s   s T   J  d  JM      J  JM     2 sgn(s ) (4-23)При предложенном выборе  2i , и возможности в принципеобеспечить ресурсами управление u экв  d , выполняется     sgn   J  d  JM      J  JM     2 sgn(s )   sgn(s)Таким образом, получаемое приближение момента от пикселейпозволяет гарантировать условие отрицательности производнойфункции Ляпунова (4-10).В первой части маневра следует стремиться использоватьмаксимально возможный по модулю вращающий момент. Еслиначальная ориентация определяется поворотом на угол  вокруг осиm  m1 , m2 , m3  , то на компоненты  2 наложим условия 2imJ i i для i, j  1, 2, 32 j m j J j(4-24)Чтобы выбрать  2i , одно из них можно взять на основе оценкидлямаксимальнойпикселями.компоненты ui ,ОстальныеПреимуществомбудутприближениякоторуюопределятьсякцелевомуможносоздатьусловием(4-24).моменту,заведомопревышающему допустимый момент, является выполнение маневра смаксимальнымиспользованиемресурсовпикселей.Главнымнедостатком использования слишком больших коэффициентов  2iможет стать “chattering” – эффект после достижения поверхностискольжения хотя бы по одной из координат.