Диссертация (Математическое моделирование переориентации орбитального космического аппарата со сферическим солнечным парусом), страница 14

Для первой части маневра102в практических расчетах на компьютере для модельного паруса будетиспользоваться  2i mi J i3 10 3 , m 2j J 2jj 1mi J iчто более чем в 10 раз превышает max ui . Множительi3здесь m2j J 2jj 1вводится для движения к поверхности скольжения равномерно повсем координатам.По аналогии с вращением вокруг главной оси, в каждыймомент времени будем предполагать достижение поверхностискольжения. Но при маневре общего вида ненулевыми могут быть всекомпоненты угловой скорости, и в отличие от уравнения (4-15),уместно делать выбор 1   t T  t  i t k t   min  , i  1, 2, 3 ,i ti(4-25)и вычислять  u экв t     J  JM   , M   k t T 1E2.3 4 1  TИдея состоит в том, что если u экв t  близко границе допустимыхресурсами управлений U , то следуя формуле (4-25) принимаетсякоэффициент k , и при этом по крайней мере одно из si  0 .

Наступаетвторая часть поворота, и с этого времени уместно несколькоуменьшить коэффициенты  2 , приняв  2i  ui чтобы избежать“chattering” – эффекта. Затем к нулю будут приведены остальныекомпоненты s .Как и в случае вращения вокруг главной оси, могут возникнутьследующие ситуации:1031. Выход системы в более эффективное состояние в дальнейшеевремя маневра.

Это позволит найти более эффективную поверхностьскольжения в смысле минимизации времени на маневр.2. Выход u экв t  в дальнейшем из допустимого ресурсамимножества управлений U , по причине перехода в состояние сбольшой долей затененных пикселей. В этом случае нарушаетсярассматриваемый метод.3. Кроме того, при наличии неопределенностей, необходимо оставить ресурс для удержания движения вдоль s  0 . Исходя изоценки Li  0 для максимально возможного модуля этих неизвестныхвозмущений по каждой компоненте, в режиме скольжения должновыполняться  2i  Li .

Поэтому чтобы оставить запас, компонентыu экв t  следует выбирать не при достижении границы U , а придостижении некоторой ее окрестности.Сложность анализа этих ситуаций заключается в том, что из–засмещения под действием немоделируемых возмущений от расчетнойтраектории, граница U в каждый момент времени маневра не можетбыть точно определена заранее, ее можно только оценить.4.5Пример стабилизации КА при моделировании без учетанеопределенностей и внешних возмущенийРассмотрим очередной пример стабилизации модельного паруса(Таблица 4-1) без учета гравитации, а так же немоделируемыхвозмущений.

Пусть ось вращения составляет угол 45° с осью Z, угол30° с осью X и угол 60° с осью Y. Направляющий вектор этой оси m22  6,,имеет координаты m  442T. Начальная ориентация104заданаповоротомнаугол135°вокругоси,приэтомT 6  3  2  3  2  3    tg   ,tg  ,tg    .4164162 16  В первой части алгоритма цель заключается в созданиимаксимального действующего момента от пикселей по описанномупринципу.

При k  0,0016 было достигнуто u' экв  0,9 M , что былопринято как критерий приближения u экв к пределам границыдопустимых ресурсами управлений U .Рис. 4-9 – Рис. 4-15 приводят графики для параметров движенияв зависимости от времени с использованием параметра k  0,0016 дляопределения поверхности скольжения.

После достижения границыпереключения U , для избегания “chattering” – эффекта параметры  2iбылиуменьшеныс 2i  10  3 mi J i3до m 2j J 2jj 1 2i  8  10  5 mi J i3 m 2j J 2j, а для функции sat si ,  s  в течение всегоj 1маневра использовалось  s  10 6 .Первой достигает нуля Y – компонента поверхности скольженияв момент времени t  1200 с (Рис. 4-9).1056sРяд115sРяд22Компоненты S ×10-44sРяд3332100-110002000300040005000600070008000t, [c]Рисунок 4-9. Зависимость параметра s от времениПри t  1600 c нуля достигает компонента s2 , а при t  3000c поверхность скольжения s  0 достигается по всем координатам.Отклонение от si  0 для каждого i после достижения нуля по любойкоординате происходит не более чем на 3  10 7 .

Это достигнутоблагодаря запасу в ресурсах управления из–за переключениянесколько ранее достижения границы U , обеспечиваемой ресурсамиуправления ( u'экв  0,9 M ).На Рис. 4-10 – Рис. 4-12 приведены зависимости для компонентрезультирующего момента M от времени. При t  1600c все графикипретерпевают резкий скачок. По Y – координате достигаетсяповерхность скольжения s2  0 , и ресурсы перераспределяются длядостижения нуля по остальным координатам.

После попадания наповерхность скольжения и все оставшееся время маневра t  3000cвыполнено uэкв  M .1060.80.6M1 , [Н×м]×10-40.40.20010002000300040005000600070008000-0.2-0.4-0.6-0.8-1t, [c]Рисунок 4-10. Зависимость компоненты M 1 от времени0.60.4M2 , [Н×м]×10-40.20010002000300040005000600070008000-0.2-0.4-0.6t, [c]Рисунок 4-11. Зависимость компоненты M 2 от времени0.6M3 , [Н×м]×10-40.40.20010002000300040005000600070008000-0.2-0.4-0.6t, [c]Рисунок 4-12. Зависимость компоненты M 3 от времени107На Рис. 4-13 приведены зависимости компонент u экв отвремени.

Сравнивая с графиками Рис. 4-9 – Рис. 4-12 можно отметить,что после достижения поверхности скольжения по любой изi  1, 2, 3компонентвыполненоусловиеuэквi  M i.Этоподтверждает, что ресурсов управления всегда было достаточно,чтобы обеспечивать u экв .Компоненты uэкв , [Н×м]×10-40.60.5u экв1Ряд1u экв 2Ряд20.4u экв 3Ряд30.30.20.10010002000300040005000600070008000t, [c]Рисунок 4-13.

Зависимость компонент u экв от времениРис. 4-14 приводит графики изменения компонент угловыхскоростей. После 8000 секунд маневра удалось добиться   4,5  10 6рад/c, что почти в 90 раз меньше максимального модуля угловойскорости, отмеченной за весь маневр.При t=8000c   3 103 , и модуль вектора  уменьшился поотношению к своему начальному значению более чем в 230 раз.График изменения компонент  представлен на Рис. 4-15.1080Компоненты ω, [рад/c]×10-4-0.51Ряд1-1Ряд22-1.5Ряд33-2-2.5-3-3.5010002000300040005000600070008000t, [c]Рисунок 4-14. График изменения компонент угловых скоростей 0.50.45Ряд11Компоненты σ0.40.35Ряд220.33Ряд30.250.20.150.10.050010002000300040005000600070008000t, [c]Рисунок 4-15.

График изменения компонент параметра Рассмотренный пример подтверждает работу алгоритма приотсутствии неизвестных внешних возмущений. Отметим при этом, чтоудалось добиться эффективности по минимизации затрачиваемоговремени в случае поворота на большой угол: выбранная специальноутяжеленной конструкция паруса со спутником в центре былапереведена в близкую окрестность нулевой точки нескольким более,чем за 2 часа.1094.6Стабилизация КА с учетом неопределенностей в моментахинерции и внешних возмущенийДля того чтобы убедиться в робастности предлагаемого методапостроения управления, рассмотрим далее неопределенности вглавных моментах инерции, а так же внешние возмущения.

Всепараметры самого паруса вновь оставим как в предыдущем примере.При вычислении момента от действия гравитации примем в расчетахорбиту высотой 1000км.Пусть внешние возмущения d t  описываются выражением2  2 cost / 60 d t     1  sin t / 60    10  6 . 3  3 cost / 60 Из графика модуля вектора возмущений на Рис.

4-16 видно, чтоего минимальное и максимальное значения соответственно равныприблизительно 6  10 6 Н/м и 3,3  10 6 Н/м.Какбылоотмеченоранее,величинаразностимеждумоментами инерции имеет решающее влияние на управляемостьпаруса в условиях действия градиента гравитации. Если J1 , J 2 , J 3 –истинные значения моментов инерции, то примем ошибку в ихизмерении равной 1% от J1 , J 2 , J 3 в модели:J1  0,99 J1J 2  1,01J 2J 3  0,99 J 311076d , [Н×м]×10-6543210010002000300040005000600070008000t, [c]Рисунок 4-16. График изменения периодических внешних возмущенийМаксимальная разница между истинными главными моментамиинерции составляет J1  J 2  0,99 J1  1,01J 2  643,5  681,75  38,25 , вто время как по оценочным данным в моделиJ1  J 2  650  675  25Следуя формуле (2-4) из раздела 1, ошибка всего в 1% вызываетрост модуля Z – компоненты момента градиента гравитации в 1,5 раза.Алгоритм компенсации пикселями гравитационного момента будетоперировать неточными значениями в моментах инерции J1 , J 2 , J 3 .Этовызоветбольшуюпогрешностьприпостроениикомпенсирующего момента от пикселей, которая в сумме снемоделируемыми возмущениями d t  , а так же погрешностью из–заприближениякинтерпретированацелевомукакмоментунекийпикселями,общийусловноможетбытьнеизвестныйдействующий на систему момент.При расчете были использованы те же параметры k ,  2 и  sчто и в предыдущем случае отсутствия внешних возмущений.Конечное время расчета так же осталось прежним: t f  8000с.111НаРис.

4-17показано,какизменялся в процессепереориентации момент градиента гравитации M G , рассчитанный наоснове истинных моментов инерции. Сравнивая с графикамиРис. 4-10 ‒ Рис. 4-12можнозаключить,чтоданныевеличиныгравитационного момента в некоторых точках близки к величинамвращающего момента, который можно создавать пикселями впринципе.компоненты MG , [Н×м]×10-40.60.5M G1Series10.4MG2Series2M G3Series30.30.20.10.0-0.1-0.2-0.3010002000300040005000600070008000t, [c]Рисунок 4-17.